精品解析：黑龙江省哈尔滨市第一中学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

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高一数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集的定义求解即可.
【详解】集合，
故选：B.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解即可.
【详解】命题“”的否定是：.
故选：D
3. 设；，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值以及充分条件与必要条件的定义可得结果.
【详解】当时，显然成立，即若则成立；
当时，，即若则不成立；
综上得p是q充分不必要条件，
故选：A.
4. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶次根式下被开方数非负以及真数大于零列方程组，解之即得.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
则函数的定义域为.
故选：D．
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.
【详解】，，，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.
6. 在同一坐标系中，函数与（其中且）的图象的可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合指数函数、对数函数的图象与性质可得两函数图象经过的定点，验证即可得解.
【详解】指数函数的图象过点，对数函数的图象过点，
只有C选项符合，当，函数图象与C选项一致.
故选：C.
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数图象与性质的应用，属于基础题.
7. 在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数，其中是一个无理数）
A. 1085B. 2085C. 2869D. 8686
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知以内的素数的个数为，计算即可得到答案.
【详解】由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为，
则以内的素数的个数为
==
=2500，
故选:A.
8. 已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出函数，根据题意得出函数的性质，从而解决问题.
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，
所以
所以函数是定义在上的偶函数，
因为对，且有，
所以在上单调递增，
所以，
当时，则有，
所以，即，
所以在上单调递增，
因为是定义在上的偶函数，
所以在上单调递减，
因为，
所以即为，
所以，解得.
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C. 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则
D. 若是第一象限角，则是第一或第三象限角
【答案】BCD
【解析】
【分析】由象限角的定义判断选项A；扇形面积公式计算数据判断选项B；由三角函数的定义判断选项C；由第一象限角的范围，列不等式求所在象限判断选项D.
【详解】，是第二象限角，A选项错误；
若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形半径，该扇形的面积为，B选项正确；
角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，
则点到原点距离为5，， C选项正确；
若是第一象限角，即，则有，
当为偶数时，第一象限角；当为奇数时，是第三象限角，D选项正确.
故选：BCD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的定义域为，则的定义域为
B. 函数与函数为同一个函数
C. 函数（其中，且）的图象过定点
D. 函数单调递增区间是
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A项，求抽象函数定义域，必须将函数内看成整体进行范围代入计算即得；对于B项，判断同一函数，需从定义域和对应法则两个方面考虑确定；对于C项，函数过定点问题中，指数式，对数式，应使指数为0，真数为1即可求得；对于D项，求复合函数的单调区间，一般先求定义域，再将其换元成内外函数，在定义域内分别判断内外函数单调性，根据同增异减原则确定单调区间.
【详解】对于A选项，因的定义域为，要求的定义域，
需使，解得：，故A项正确；
对于B选项，函数的定义域为，
而中可由求得的定义域为，
即两个函数不是同一个函数，故B项错误；
对于C选项；由函数（其中，且）可知，
当且仅当，即时，，
函数图象经过定点，故C项正确；
对于D选项，判断的单调递增区间，
应先由解得：，令，
则在定义域内为减函数，而，
即函数在上递增，在上递减，
则函数的单调递增区间为，故D项错误.
故选：AC.
11. 已知函数，下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则是的整数倍
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数在单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】利用特殊值代入可得A错误；对于选项BC，利用带入检验法可得是函数的一条对称轴，是的一个对称中心，可知BC正确；由正弦函数单调性可得D错误.
【详解】对于A，若，可令，
可得，但不是的整数倍，即A错误；
对于B，将代入可得，取得最小值，
即可知直线是函数的一条对称轴，即B正确；
对于C，将代入可得，即可得是的一个对称中心，所以C正确；
对于D，若时，，
由正弦函数单调性可知，在上不是单调递增的，所以D错误.
故选：BC
12. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则或
C. D. 若有两个不同的零点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，分和两种情况求解，对于B，和两种情况解不等式，对于C，先求，再求，对于D，画出函数图象，根据图象求解.
【详解】对于A，当时，由，得，解得；
当时，由，得，解得，
综上或，故A错误，
对于B，当时，由，得，解得；
当时，由，得，解得，
综上，或，故B正确，
对于C，因为，
所以，故C正确，
对于D，的大致图象如图所示，有两个不同的零点，
等价于方程有两个不等的实根，
则等价于与的图象有两个不同的交点，
因为，所以由图象可得，故D正确，
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题选项D的解决关键是将的零点个数转化为与的图象的交点个数，从而数形结合即可得解.
第Ⅱ卷 非选择题（90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用同角商数关系求解即可.
【详解】因为，所以，
故答案为：
14. 函数在上的最大值为4，则实数的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正切函数单调性求出最大值即可得解.
【详解】函数上单调递增，
则当时，，
因此，解得，
所以实数为.
故答案为：.
15. 若函数（为常数），已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】构造并判断为奇函数，利用奇函数性质求函数值.
【详解】令，则且定义域为R，
所以为奇函数，则，故，
所以.
故答案为：
16. 已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法，令，进而得到，再通过的取值范围与对称轴之间的关系，结合该函数的单调性和最小值之间的关系，即可计算求出
【详解】令，则当时，，，对称轴为；当，即时，在上单调递增，，
解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，，解得：（舍）；综上所述：.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求时函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦函数的周期公式即可得解；
（2）利用正弦函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以的最小正周期为.
【小问2详解】
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值；
所以时函数的值域为.
18. 已知集合，，.
（1）若，求实数a取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.
【详解】（1）若，则，得；
（2）由，得，即，
所以，，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，
即，解得.
即实数a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键．
19. 已知幂函数．
（1）若的定义域为R，求的解析式；
（2）若为奇函数，，使成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，求解的值，并验证定义域即可求解；
（2）由（1）可知，，使成立，即，使成立，令，则，判断函数的单调性并求最值即可求解
【小问1详解】
因为是幂函数，
所以，
解得或，
当时，，定义域为，符合题意；
当时，，定义域为，不符合题意；
所以；
【小问2详解】
由（1）可知为奇函数时，，
，使成立，即，使成立，
所以，使成立，
令，则，
且，则
，
因为，
所以，
所以，即，
所以在上是减函数，
所以，
所以，解得，
所以实数k的取值范围是
20. 在①的图象过点，②，③是奇函数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知的最小正周期为，______.
（1）求函数的解析式；
（2）求的单调递增区间.
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）由已知得，则，若选①，代入点的坐标求出的值即可求出函数的解析式；若选②，利用诱导公式以及特殊角的三角函数求出的值即可求出函数的解析式；若选③，根据对称性求出的值即可求出函数的解析式；
（2）结合（1）中求出的解析式，根据正弦函数的单调性，整体代入进行求解即可．
【小问1详解】
由已知得，则，于是
若选①：因为图象过点，所以，即，
又因为，所以，故．
若选②：因为，所以，
又因为，所以，
故．
若选③：因为是奇函数，
所以，
则图象关于点对称，所以，
即，又因为，
所以，故．
【小问2详解】
由（1）知得，
由，，
即，
故的单调递增区间为
21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：.设分配给植绿护绿项目的资金为x（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为（单位：百万元）.
（1）将表示成关于x的函数；
（2）为使生态收益总和最大，对两个生态项目的投资分别为多少？
【答案】（1）
（2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元
【解析】
【分析】（1）由题意列式化简即可；
（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.
小问1详解】
若分配给植绿护绿项目的资金为x百万元，则分配给处理污染项目的资金为百万元，
∴.
【小问2详解】
由（1）得
（当且仅当，即时取等号），
∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y最大.
22. 已知函数在时有最大值和最小值，设.
（1）求实数的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得的值.
（2）结合换元法、分离常数法化简不等式，结合二次函数的性质求得的取值范围.
（3）利用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围.
【小问1详解】
函数时不合题意，
所以为，所以在区间上是增函数，
故，解得.
【小问2详解】
由已知可得，则，
所以不等式，
转化为在上恒成立，
设，则，即，在上恒成立，
即，
当时，取得最小值，最小值为，则，即.
所以的取值范围是.
【小问3详解】
方程可化为：，，
令，则方程化为，，
∵方程有三个不同的实数解，
∴画出的图象如下图所示，
所以，，有两个根､，且或，.
记，
则，即，此时，
或得，此时无解，
综上.
【点睛】研究复杂的方程的根、函数的零点问题，主要考虑化归与转化的数学思想方法，将不熟悉、陌生的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中，将方程有三个解的问，转化为指数型函数、二次型函数的知识来进行求解.