精品解析：黑龙江省佳木斯市三校联考2023-2024学年高一上学期期末数学试题

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1．答题前请粘贴好条形码，填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
2．本试卷分第I卷 （选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.
第 I 卷（选择题）
一、单选题（每小题 5 分）．
1. 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）
①；②；③；④.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定集合的元素，然后根据元素与集合、集合与集合的关系逐一判断即可．
【详解】因为，，，
对于①，显然正确；
对于②，，是集合与集合之间的关系，显然用不对；
对于③，，根据空集是任何集合的子集知正确；
对于④，，．根据子集的定义知正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查元素与集合、集合与集合的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．
2. “”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】分式不等式等价于，则其解集为，
据此可知“”是“”的充要条件.
本题选择C选项
点睛：解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．
3. 已知是第二象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由是第二象限角，得；再由同角三角函数基本关系求解，即可得出结果.
【详解】因为是第二象限角，所以，
又，所以，因此，
即，所以.
故选：B.
4. 已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】函数是奇函数，当时，，
.
故选：A.
5. 已知函数则（ ）
A. B. 1C. 2D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】求分段函数的函数值，将自变量代入相应的函数解析式可得结果.
【详解】，
故选：C
6. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算性质计算即可.
【详解】解：.
故选：C.
7. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数和对数函数单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.
【详解】，，，
因此，.
故选：A.
8. 玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解
【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，，
该扇形玉雕壁画面积
（）．
故选：D．
二、多选题（每小题 5 分）．
9. （多选）下列命题是“，”的表述方法的是（ ）
A. 有一个，使得成立B. 对有些，成立
C. 任选一个，都有成立D. 至少有一个，使得成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据特称命题的定义即可得正确答案.
【详解】命题“，”中表示有些、有的、存在的意思，是特称命题，故选项ABD正确；
选项C中任选一个，表示对所有的是全称命题，故选项C不正确；
故选：ABD
10. 下列结论成立的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，运用举反例的方法，可判断；
对于B，由只有不等式同向才有可加性可判断；
对于C，由，得，根据不等式的同向可加性可判断；
对于D，由，得，根据不等式的正数同向可乘性可判断.
【详解】对于A，取，，，此时，但，故A不成立；.
对于B，，，，得不出，故B不成立；
对于C，，，又，，故C成立；
对于D，，，，即，故D成立.
故选:CD.
【点睛】本题考查运用不等式的性质判断不等式是否成立，关键在运用不等式的性质时，需严格满足所需的条件，属于基础题.
11. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】CD
【解析】
【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；
对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；
对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；
对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.
故选：CD
12. 关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 其最小正周期为
B. 其图象由向右平移个单位而得到
C 其表达式可以写成
D. 其图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A；由可判断B；利用诱导公式可判断C；令，求出对称中心可判断D
【详解】选项A，，故函数的最小正周期为，选项A正确；
选项B，函数，其图象由向右平移个单位而得到，选项B错误；
选项C，函数，故选项C正确；
选项D，令，解得，故函数图像的对称中心为，令，为，故图象关于点对称，选项D正确
故选：ACD
第 Ⅱ 卷（非选择题）
三、填空题（每小题 5 分）.
13. 已知集合，，且，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.
【详解】解：因，，，
所以，解得，
故答案为：0
【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.
14. 不等式的解集是_______．（结果用集合或区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】不等式的解集，即为不等式的解集，根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】解：不等式的解集，
即为不等式的解集，
解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
15. 已知= ，则 =_____.
【答案】##0.6
【解析】
【分析】寻找角之间的联系，利用诱导公式计算即可
【详解】
故答案为：
16. 已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的两段都单调递增，时最大值小于或等于时的下界列不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】当时，对称轴为，
因为函数在上是增函数，
则，解得，
故答案为：.
四、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题各12分.）
17. 化简求值：
（1）；
（2）已知.求的值.
【答案】（1）；
（2）4.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解；
（2）先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可.
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
.
18. 已知集合，.
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数的取值集合.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由指数、对数不等式可得、，再由补集、交集的定义即可得解；
（2）转化条件为，由集合间的关系即可得解.
【详解】（1）由题意，，，
∴，
∴；
（2）∵，∴，
①当时，，此时；
②当时，，则；
综上，的取值范围是.
19. 已知函数．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）当时，恒成立．求实数的取值范围．
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域,然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可.
（2）该题参数已经分离，所以只需要利用对数函数的性质求出取值范围，从而可求出的取值范围，由于不等式左侧的最小值取不到，则可以取该值.
【小问1详解】
由函数，得，
即，解得或，
所以函数的定义域为，关于原点对称．
又，
，
所以是奇函数；
【小问2详解】
恒成立，则，
即在恒成立，
令，
因为在上单调递增，
当时，，
所以时，，
则实数的取值范围是．
20. 设函数.
（1）求证:增函数
（2）若为奇函数，求实数a的值，并求出的值域.
【答案】（1）证明见解析；（2）1，.
【解析】
【分析】
（1）利用定义法证明为增函数，先假设，然后计算并化简，通过分析与的大小关系，确定出的大小关系，由此证明出单调性；
（2）先根据为奇函数，得到，由此求解出的值，然后结合不等式以及指数函数的值域求解出的值域.
【详解】（1）∵的定义域为，∴任取且，
则，
∵，∴，，∴，
即，所以不论a为何实数总为增函数；
（2）∵为奇函数，∴，即，
∴，解得：，∴．
由以上知，∵，∴，
∴，∴，
所以的值域为．
【点睛】思路点睛：用定义法证明函数单调性的步骤：
（1）设：设两个自变量，并给定大小关系；
（2）作差：计算；
（3）变形：将的结果化简至容易判断出正负；
（4）判号：根据的化简结果并结合的大小，判断出的正负；
（5）下结论：说明的单调性.
21. 已知函数.
（1）求的最小正周期及最大值；
（2）求的单调递减区间.
【答案】（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦函数的周期公式可求得函数的最小正周期，利用正弦函数的有界性可求得函数的最大值；
（2）解不等式，即可得出函数的单调递减区间.
【详解】（1），
所以，函数的最小正周期为，最大值为；
（2）解不等式，可得，
因此，函数的单调递减区间为.
22. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现．某珍稀水果树的单株产量即（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】（1）
（2）4千克时，利润最大480元.
【解析】
【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式；
（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可.
【小问1详解】
由已知；
【小问2详解】
由（1）得，
即由二次函数的单调性可知，当时，，
由基本不等式可知当时，，
当且仅当时取得最大值，
综上，当时取得最大利润，最大利润为480元.