精品解析：江西省上饶市广丰区私立康桥中学2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题

江西省广丰区康桥中学高一数学期末考试模拟卷一、（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）1. 已知函数的值域为，的值域为，则（ ）A. 0 B. 1 C. 3 D. 5【答案】A【解析】【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解．【详解】因为函数的值域为，所以函数的值域为，所以，解得，因为的值域为,，所以的最小值为9，所以，解得，所以．故选：A．2. 已知集合，，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】，所以.故选：B.3. 已知集合，则中合数的个数为（　　 ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用集合的并集运算与合数的定义即可得解.【详解】因为，所以，则中的合数为20和24.故选：C.4. 如果一个方程或不等式中出现两个变量，适当变形后，可使得两边结构相同，此时可构造函数，利用函数的单调性把方程或不等式化简.利用上述方法解决问题：已知实数，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对结合和变形，得到不等式，构造函数，利用单调性化简得到答案.【详解】由，变形可知，则，利用换底公式等价变形，得，令，因为，在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以，即，排除C，D；其次，因为，得，即，即，同样利用的单调性知，，又因为，得，即，所以故选：B5. 函数在上有零点是的（ ）A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】当在上有零点时，不一定有，如在有有零点，但，时，在上也未必有零点，如，在上，，即，但在上无零点，因此题中应是既不充分也不必要条件，故选：D6. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，借助媒介数比较大小即得.【详解】由，得，由，得，即，而，所以.故选：B7. 下列哪一组的函数与是同一函数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同判断各项即可.【详解】A：定义域为R，定义域为，不为同一函数；B：定义域为R，定义域为，不为同一函数；C：定义域和对应法则都相同，是同一函数；D：显然定义域不同，不是同一函数.故选：C8. 下列关于幂函数的说法正确的是（ ）A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 以上皆不是【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解.【详解】由函数，可得函数的定义域为，关于原点对称，又由，所以函数为偶函数.故选：B.二、（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的.正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）9. 已知函数，函数有四个不同的零点，且，则（ ）A. 的取值范围是 B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用分段函数性质画出函数的图象，再结合函数与方程的思想可知函数与函数的图象有四个不同的交点，可得，即A错误；利用可得BC正确，再由基本不等式可得D正确.【详解】画出函数的图象如下图（实线部分）所示：函数有四个不同的零点，即函数与函数的图象有四个不同的交点，结合图象可知，可得A错误；又，根据图象可知，即满足，因此，即，所以，可得，即B正确；由图易知是关于对称，所以，即C正确；结合BC选项可知，当且仅当，即时等号成立，但，故等号不成立，即D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程基本思想，并充分利用数形结合画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题.10. （多选）下列判断正确的有（　　）A. 若，则B. 若，则C. D. 【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的基本性质和幂函数、指数函数的单调性逐项判断.【详解】对于A：时不成立，故A错误；对于：若，则，于是，故B正确；对于C：易知函数在R上增函数，所以，故C正确；对于D：易知函数在上增函数，所以，故D错误．故选：BC.11. 已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ）A. 当，有1个零点 B. 当时，有3个零点C. 当时，有9个零点 D. 当时，有7个零点【答案】AD【解析】【分析】设，即有，再按和讨论并作出函数图象，数形结合即可判断得解.【详解】由，得，则函数的零点个数即为解的个数，设，则，二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，当时，在上单调递减，且，如图，由，得，解得，由，得，解得，因此函数的零点个数是1，A正确，B错误；当时，，作出函数的图象如图， 由图象知有3个根，当时，，解得；当时，，解得，当时，，若，则，若，则，此时共有3个解；当时，，此时有1个解，，即有2个解，当时，，此时有1个解，即无解，因此当时，函数的零点个数是7，D正确，C错误.故选：AD【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.12. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“”的否定是“，使得”B. 若集合中只有一个元素，则C. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为D. “”是“”的充分不必要条件【答案】CD【解析】【分析】因为命题的否定一定要否定结论，故A错误；B中方程应该对是否为0进行讨论，有两个结果，故B错误；根据一元二次不等式的解法确定C的真假；根据充要条件的判定对D进行判断.【详解】对A：命题“”的否定是“，使得”，故A错误；对B：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；对C：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确；对D：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立.故选：CD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数在上有2个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组并求解即得.【详解】依题意，，解得，所以的取值范围是.故答案为：14. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为__________.【答案】【解析】【分析】依题意可知函数是在上单调递增的奇函数，再由结合单调性和奇偶性即可求得的解集.【详解】由任意，有可得，函数在上单调递增，又根据奇函数性质可得，且在上单调递增；所以当时，，可得；当时，，可得；综上可得的解集为.故答案为：15. 当，则的最小值为______.【答案】##【解析】【详解】对原式变形后借助基本不等式即可得.【点睛】时，，，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.16. 如果已知摄氏度C来求华氏度F，可以用温度经验公式来表示.已知华氏温度来求摄氏温度，需要使用的公式为______.【答案】【解析】【分析】将公式化为华氏度F表示摄氏度C即可.【详解】由题设，将公式化为华氏度F表示摄氏度C，即.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．计算下列各题：17. 计算下列各题：（1）；（2）．【答案】（1）-2 （2）【解析】【分析】运用指数幂、对数运算公式计算即可.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.18 设，．（1）判断的奇偶性，并证明；（2）写出的单调区间（直接写出结果）；（3）若当时，函数的图象恒在函数的上方，求a的取值范围．【答案】18. 奇函数，证明见解析 19. 增区间是，减区间是 20. 【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断； （2）利用复合函数的单调性求解；（3）令，转化为在上恒成立求解.【小问1详解】解：时，显然恒成立；时，，所以的定义域是R，又，即，所以是奇函数．【小问2详解】增区间是，减区间是．证明如下：任取，且，则，易知在R上递增，且，则，所以，即，所以在R上单调递减，，当，即时，单调递增，由复合函数的单调性知：递增；当，即时，单调递减，由复合函数的单调性知：递减，所以增区间是，减区间是.【小问3详解】令，则，即在上恒成立，令，设，对称轴为，所以在上单调递减，从而，所以的取值范围是．19. 已知函数是定义在R的奇函数，且当时，. （1）现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出函数的完整图象；（2）根据图象写出函数的单调区间及时的值域.【答案】（1）作图见解析 （2）减区间为和，增区间为，值域为【解析】【分析】（1）根据奇函数的图象关于原点成中心对称，补全图象即可；（2）由图象可知函数的单调区间和值域.【小问1详解】是定义在R上的奇函数，所以图象关于原点中心对称，且，故函数的完整图象如图所示： 小问2详解】由图象可知，函数的单调减区间为和，增区间为，当时,的值域为.20. 已知函数（，且）.（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性并予以证明；（2）当时，求使的取值范围.【答案】（1）定义域为；为奇函数，证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于可求出定义域，根据奇偶性的定义可判断奇偶性；（2）根据对数函数的单调性求解即可.【小问1详解】要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.，，，函数是奇函数；【小问2详解】函数的定义域为，要使，即， ，，解得，当时，使的取值范围为.21. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）判断函数能否作为公司奖励方案的函数模型，并说明理由；（2）已知函数能作为公司奖励方案的函数模型，求实数a的取值范围.【答案】（1）不能，理由见解析 （2）【解析】【分析】（1）由题意验证、是否同时成立即可.（2）首先由恒成立，转换为最大值，由此可算出的一个范围，进一步在此基础上，由恒成立，通过转换即可得解.【小问1详解】不能，理由：对于函数模型，当时，是单调递增函数，则，显然恒成立，若函数恒成立，则，解得.不一定成立.故函数模型不符合要求.【小问2详解】当时，单调递增，最大值，.设恒成立，则恒成立，即.，当且仅当时取等号，.，.综上，a的取值范围为.22. 已知函数的定义域为集合，集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接代入计算，再根据交集含义即可；（2）由题得到，再对分类讨论即可.【小问1详解】由题意得集合， 当时，， 所以．【小问2详解】因为“”是“”的必要条件，则， 因为不等式等价于，所以：当时，，因此，即； 当时，，结论显然成立； 当时，，结论显然成立， 综上，的取值范围是．