精品解析：四川省成都市锦江区卓越科技培训学校2023-2024学年高一上学期期末数学练习卷3

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注意事项：
1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4. 考试结束后，将本试卷带走答题卡交回.
第 I 卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知全集,集合,,则集合( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的基本运算求解即可.
【详解】全集,集合,
则集合,且
所以集合.
故选：C
2. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据任意角三角函数的定义直接求解即可.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
故选：C
3. 若函数，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数的奇偶性可排除BD，再根据时函数值的符号即可排除A.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故排除BD，
当时，，，所以，
故排除A，而C满足题意
故选：C.
4. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质比较大小作答.
【详解】函数在上单调递增，而，因此，
而，
所以.
故选：B
5. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据，满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将代入中直接求解即可
【详解】由题意得，
所以，，
所以，
故选：A
6. 若，且是方程的两实根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角平方和的关系即可结合韦达定理求解.
【详解】由于是方程的两实根，所以，
又，所以，
故，
由于，，所以，故，因此，所以，
故选：D
7. 已知函数的值域为，的值域为，则（ ）
A. 0B. 1C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解．
【详解】因为函数的值域为，
所以函数的值域为，
所以，解得，
因为的值域为,，
所以的最小值为9，所以，
解得，
所以．
故选：A．
8. 若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为的“稳定区间”，若区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】有题意可知，函数与在区间上同增或同减，先分和两种情况讨论，再在中根据同增和同减两种情况对函数进行分析讨论即可.
【详解】根据题意，，函数与在区间上的单调性相同.
当时，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增.
，则函数在上单调递减，在上单调递增.
①在上单调递增，则，解得.
②在上单调递减，则，不等式组无解.
综上所述：.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 函数为奇函数B. 函数在定义域上为减函数
C. 函数的值域为D. 当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】先求出，再根据幂函数图象性质解决即可.
【详解】设幂函数为
将代入解析式得，故，所以，
定义域为，
因为，故函数为奇函数，故A正确；
函数在上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；
显然的值域为，故C错误；
当时，，
即满足，故D正确
故选：AD
10. 已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若.则
【答案】ABD
【解析】
【分析】可以使用基本不等式，对于任意实数 ，，当且仅当 时取等号，可以判断A；
可以使用基本不等式，对于任意正实数 ，，当且仅当 时取等号，可以判断B；
可以通过作差，再利用不等式性质可以判断C；
利用不等式的性质可以判断D.
【详解】对于A：
等价于等价于，当且仅当 时取等号，对于任意实数 都成立，故A正确；
对于B：
由于 ，所以 ，当且仅当，即时取等号，对于任意实数 都成立，故B正确；
对于C：
由于 ，实数的符号不确定，故的符号也不确定，故C错误；
对于D：
由于 ，则，又因为，所以，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，下列四个结论中，正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称D. 函数在上单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦函数的性质，结合函数解析式，研究函数的周期、对称轴对称中心和单调区间.
【详解】函数，最小正周期，A选项正确；
由，解得函数的图象的对称轴方程为，
当时，得函数的图象关于直线对称，BC选项错误；
时，，是正弦函数的单调递增区间，所以函数在上单调递增，D选项正确.
故选：AD
12. 已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A. 函数的零点的个数为2
B. 实数的取值范围为
C. 函数无最值
D. 函数在上单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.
【详解】因为函数，可得函数图像如图：
由图知函数有2个零点，故A选项正确；
函数没有最值，故C选项正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；
由于方程有4个不同的实数根，
令则有4个不同的实数根，
因为恒成立，
设两个不等的实根为，
由韦达定理知：，
则异号，由图可知：，
所以，解得，故B选项正确；
故选：ABC
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】因为“，使得”是假命题，
所以“，使得”是真命题，
所以，解得，
故答案为: .
14. 若，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】将配凑成基本不等式形式，然后利用基本不等式，求出其最小值，得到答案.
【详解】因为，
所以
所以
.
当且仅当时，即时，等号成立.
所以答案为
【点睛】本题考查基本不等式求和最小值，属于简单题.
15. 若函数满足，则称函数为“类期函数”．已知函数为“－2类期函数”，且曲线恒过点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得，令即可求出定点.
【详解】由题可知，
，
令得，，
故，，
所以曲线恒过点.
故答案为：
16. 已知函数，若函数有7个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数零点定义，结合换元法、数形结合思想进行求解即可.
【详解】函数的图象如下图所示：

令，函数可化为，
函数有7个零点，等价于方程有7个不相等的实根，
当时，可有三个不相等的实根，
当时，可有四个不相等的实根，
当时，可有三个不相等的实根，
设的两根为，且，
若，方程无零根，不符合题意，
若，，由题意可知：
，
若，则有，此时，
这时，显然不满足，
综上所述：实数的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是把函数零点问题转化为方程的实根问题，运用数形结合思想.
四、解答题：本题共6小题，共70分.1第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、 证明过程或浈算步骤.
17. 已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，当时，，
因为全集，则或，或，
因此，或.
【小问2详解】
易知集合为非空集合，
因为是的必要不充分条件，则，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
18. 已知
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式即可化简；
（2）根据求出sinα，利用诱导公式结合统计三角关系运算求解﹒
【小问1详解】
由题意可得：．
【小问2详解】
因为，则，
且，则，
所以．
19. 已知是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；
（2）作出函数的图象，从而得函数的单调递增区间，根据题意列不等式，即可得答案.
【小问1详解】
解：设，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因函数是定义在上的奇函数，可得，
所以函数在上的解析式为.
【小问2详解】
解：作出函数的图象，如图所示，
由函数图象可知，在上单调递增，
要使函数在区间上单调递增，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
20. 某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果在前消除了10%的污染物，请解决下列问题：
（1）后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到）？（参考数据：，）
【答案】（1）10h后还剩下81%的污染物
（2）33h
【解析】
【分析】（1）根据时得到时，然后将代入中得到，解得，即可得到，然后将代入求即可；
（2）令，然后列方程求即可.
【小问1详解】
由可知，当时，；当时，，于是有，解得，那么.所以，当时，，即10h后还剩下81%的污染物.
【小问2详解】
当时，有，解得，即污染减少50%大约需要花33h.
21. 给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为. 在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定.
已知二次函数满足，且______
（1）求的解析式；
（2）若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由代入解析式可解得，选①，只有一个交点则该交点为顶点；选②，由根与系数的关系列方程求解即可.
（2）原命题转化成有且仅有一个正实根，其中，讨论的符号，结合二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
因为二次函数满足，
，
所以，解得，所以，对称轴为.
选①，因为函数的图象与直线只有一个交点，所以，解得，
所以的解析式为.
选②，设、是函数的两个零点，则，且，可得，
由根与系数的关系可知，，
所以，解得，
所以的解析式为.
【小问2详解】
因为函数有且仅有一个零点，
令，所以关于的方程有且仅有一个正实根，
因为，所以有且仅有一个正实根，
当，即时，方程可化，解得，不符合题意；
当，即时，函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点，
所以方程恒有一个正实根；
当，即时，要使得有且仅有一个正实根，则有
，解得.
综上，实数的取值范围为.
22. 定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．
（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．
【答案】（1）见解析； （2）； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值．
【详解】（1）任意,,
因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数．
（2）.
因为是“距”增函数，所以恒成立，
因为,所以在上恒成立，
所以，解得，因为,所以.
（3）因为，，且为“2距”增函数，
所以时，恒成立，
即时，恒成立，
所以，
当时，，即恒成立，
所以, 得;
当时，，
得恒成立，
所以,得,
综上所述，得.
又，
因为,所以，
当时，若，取最小值；
当时，若，取最小值.
因为在R上是单调递增函数，
所以当，的最小值为；当时的最小值为，
即 .
【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．