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精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市高级中学2024届高三上学期1月月考数学试题
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总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设z=(-1+4i)(i2020+ai)(a∈R)，则“-A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 集合，，若，则由实数组成的集合为
A. B. C. D.
3. 具有A、B、C三种性质的总体，其容量为63，将A、B、C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A、B、C三种元素分别抽取的个数是( )
A. 12、6、3B. 12、3、6
C. 3、6、12D. 3、12、6
4. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A B. C. D.
5. 已知点在椭圆：上，直线：，则“”是“点到直线的距离的最小值是”的
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则
A. 的最正周期为，最大值为．B. 的最正周期为，最大值为．
C. 的最正周期为，最大值为．D. 的最正周期为，最大值为．
8. 已知等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前项的积为，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.
9. 如图，已知圆锥OP的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（ ）
A. 外接球的表面积为
B. 设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C. 过点作平面截圆锥的截面面积的最大值为2
D. 设圆锥有一内接长方体，该长方体下底面在圆锥底面上，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该长方体体积的最大值为
10. 设抛物线C：的顶点为O，焦点为F，准线为l：是抛物线上异于O的一点，过P作于Q，则（ ）
A. B. 线段的垂直平分线经过点P
C. 以为直径的圆与y轴相切D. 以为直径的圆与准线相切
11. 已知函数，若恰有3个零点，则的可能值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
12. 甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（ ）
A. 小明得6分的概率为
B. 小明得分低于6分的概率为
C. 小明得分不少于3分的概率为
D. 小明恰好得3分的概率为
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 已知平面向量､的夹角为，且，，则与的夹角等于___________.
14. 光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为，则______．
15. 在平面直角坐标系中,直线与圆相交于,两点,则弦的长等于______.
16. 在数列{an}中，已知a1＝1，，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2019＝______
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.
17. 某地在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出光线如图中阴影部分所示，已知，路宽，单位为.，.
（1）当时，求四边形的面积；
（2）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.
18. 已知函数，若数列满足：．
（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式．
（2）设数列满足：，求数列的前项的和.
19. 某地在治沙过程中为检测某种固沙方法效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图（见图）.
（1）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；
（2）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记.根据以上直方图，完成列联表：
并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？
（3）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异.
附：
20. 如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，.点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
21. 设F1､F2分别是椭圆的左､右焦点，E是椭圆C的上顶点，是等边三角形，短轴长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A，B分别为椭圆左右顶点，位于轴两侧的P，Q分别是椭圆C和圆上的两个动点，且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与轴交于M，N，证明：.
22. 已知函数．
（1）若，求函数单调区间；
（2）若，且在区间上恒成立，求a的取值范围；
（3）若，判断函数的零点的个数．标记
不标记
合计
坡腰
坡顶
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设z=(-1+4i)(i2020+ai)(a∈R)，则“-
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 集合，，若，则由实数组成的集合为
A. B. C. D.
3. 具有A、B、C三种性质的总体，其容量为63，将A、B、C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A、B、C三种元素分别抽取的个数是( )
A. 12、6、3B. 12、3、6
C. 3、6、12D. 3、12、6
4. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A B. C. D.
5. 已知点在椭圆：上，直线：，则“”是“点到直线的距离的最小值是”的
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则
A. 的最正周期为，最大值为．B. 的最正周期为，最大值为．
C. 的最正周期为，最大值为．D. 的最正周期为，最大值为．
8. 已知等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前项的积为，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.
9. 如图，已知圆锥OP的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（ ）
A. 外接球的表面积为
B. 设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C. 过点作平面截圆锥的截面面积的最大值为2
D. 设圆锥有一内接长方体，该长方体下底面在圆锥底面上，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该长方体体积的最大值为
10. 设抛物线C：的顶点为O，焦点为F，准线为l：是抛物线上异于O的一点，过P作于Q，则（ ）
A. B. 线段的垂直平分线经过点P
C. 以为直径的圆与y轴相切D. 以为直径的圆与准线相切
11. 已知函数，若恰有3个零点，则的可能值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
12. 甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（ ）
A. 小明得6分的概率为
B. 小明得分低于6分的概率为
C. 小明得分不少于3分的概率为
D. 小明恰好得3分的概率为
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 已知平面向量､的夹角为，且，，则与的夹角等于___________.
14. 光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为，则______．
15. 在平面直角坐标系中,直线与圆相交于,两点,则弦的长等于______.
16. 在数列{an}中，已知a1＝1，，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2019＝______
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.
17. 某地在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出光线如图中阴影部分所示，已知，路宽，单位为.，.
（1）当时，求四边形的面积；
（2）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.
18. 已知函数，若数列满足：．
（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式．
（2）设数列满足：，求数列的前项的和.
19. 某地在治沙过程中为检测某种固沙方法效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图（见图）.
（1）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；
（2）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记.根据以上直方图，完成列联表：
并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？
（3）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异.
附：
20. 如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，.点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
21. 设F1､F2分别是椭圆的左､右焦点，E是椭圆C的上顶点，是等边三角形，短轴长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A，B分别为椭圆左右顶点，位于轴两侧的P，Q分别是椭圆C和圆上的两个动点，且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与轴交于M，N，证明：.
22. 已知函数．
（1）若，求函数单调区间；
（2）若，且在区间上恒成立，求a的取值范围；
（3）若，判断函数的零点的个数．标记
不标记
合计
坡腰
坡顶
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
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