精品解析：辽宁省沈阳市重点学校联合体2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题

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（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．
4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 椭圆的短轴长为（ ）
A. B. C. D.
2. 的展开式中含的项是（ ）
A. B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（ ）
A. B. C. 10D. 13
4. 电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ）
A B. 27C. D. 6
5. 若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（ ）
A. 4B. 10C. 2或10D. 4或12
6. 已知(均为有理数),则的值为（ ）
A. 90B. 91C. 98D. 99
7. 已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（ ）
A. 90种B. 120种C. 160种D. 190种
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知直线，则（ ）
A. 是直线的法向量
B. 直线倾斜角为
C. 直线与直线平行的充要条件是
D. 直线在两坐标轴上的截距相等
10. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ）
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 在上的投影的数量为
11. 设，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C：，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）

A. 长轴长为4，短轴长为B.
C. 轴，且D. 四边形内切圆过焦点，
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 圆和圆的位置关系是______．
14. 6人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．
15. 如图，在正六边形中，则以,为焦点，且经过点的双曲线的离心率_________．
16. 如图，正方体的棱长为2，P是过顶点的圆上的一点，为的中点．当直线与平面所成的角最大时，点的坐标为______；直线与平面所成角的正弦值的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）已知，计算：；
（2）解方程：．
18. 如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若.
（1）以为基底表示；
（2）若，求值.
19. 圆：内有一点，过的直线交圆于，两点.
（1）当为弦中点时，求直线的方程；
（2）若圆与圆：相交于，两点，求的长度.
20. 已知的展开式的所有二项式系数之和为64．
（1）求该二项式及其展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项．
21. 如图，且且且平面．
（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；
（2）求二面角平面角的正弦值；
（3）若点在线段上，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离．
22. 已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线：交于点.
（1）求，的方程；
（2）设A是与在第一象限的公共点，作直线l与的两支分别交于点M，N，使得.求证：直线MN过定点.