精品解析：上海市通河中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

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考试说明：1、满分：100分；考试时间：90分钟
2、试题答案全部做在答题纸上．
一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．
1. 椭圆的焦距为__________．
【答案】
【解析】
分析】利用椭圆方程求出，，然后求解，即可得到结果．
【详解】解：椭圆，，，则．
椭圆的焦距为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．
2. 表面积为的球的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出半径，再利用公式可求体积.
【详解】，
故答案为：.
3. 已知数列是各项为正的等比数列，，，则其前10项和 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得数列的公比为，则，即可得到结果.
【详解】因为数列是各项为正的等比数列，则其公比，
又，，则，即，
所以数列为常数数列，且，
所以.
故答案为：
4. 已知事件与事件互斥，且，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】因为随机事件与互斥，且，，
所以.
故答案：.
5. 若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正实数______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据顶点到它的准线距离为即可得到方程，解出即可.
【详解】，因为为正实数，则，则，
故答案为：2.
6. 某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为__．
【答案】
【解析】
【分析】先利用频率分布直方图求得成绩低于60分的频率，进而求得该校成绩低于60分的学生人数.
【详解】图中成绩低于60分的频率为，
则该校成绩低于60分的学生人数为（人）
故答案为：
7. 已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥侧面积公式求出圆锥的母线长，利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式可求出结果.
【详解】设圆锥的母线长为，
因为圆锥的底面半径，
所以圆锥的侧面积，依题意可得，解得，
所以圆锥高，
所以该圆锥的体积.
故答案为：.
8. 若双曲线经过点，则此双曲线的渐近线夹角的为______．
【答案】
【解析】
【分析】将点代入双曲线，求出，然后求出渐近线方程，根据渐近线的斜率判断
【详解】将点代入双曲线得，解得，
所以双曲线，所以双曲线的渐近线为，
设的倾斜角为且，则，，
所以两条渐近线的夹角为，所以，
所以由得.
故答案为：
9. 若数列满足，则的通项公式是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解.
【详解】因为，
所以，，…，，，
所以
，，
又也满足上式，所以.
故答案为：.
10. 在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．
【答案】
【解析】
【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．
【详解】设三棱柱的底面积为，高为，
则，
再设到底面的距离为，则，得，
所以，
则到上底面的距离为，
所以三棱锥的体积为．
故答案为1．
【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为，本题是中档题．
11. 已知无穷等比数列满足：，则的通项公式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，再利用无穷等比数列和的公式得到与，解方程组即可得解.
【详解】因为无穷等比数列，，则，①，
所以是首项为，公比为的等比数列，
又，则②，
由①②可得，③，
由②③可得，，,
故的通项公式为.
故答案为：.
12. 已知直线和直线，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】先设出点的坐标，表示出点到直线和直线的距离之和；再利用几何意义求解得出答案.
【详解】
设点的坐标为
则动点到直线的距离为；动点直线的距离为.
所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和为
令，即
则的几何意义是过点的直线在轴上的截距.
因为点在曲线上.
所以当直线与曲线相切时有最值.
因为曲线是以圆心，为半径的圆.
则，解得或
所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为.
故答案为：
二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13~14题每题3分，第15~16题每题4分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分．
13. 直线倾斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线倾斜角的定义进行判断即可.
【详解】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是，
因此直线倾斜角的取值范围为，
故选：C
14. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
15. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率计算即得.
【详解】记3名男同学为，2名女同学为，从5名同学中任选2名的结果有：
，共10个，
选出的2名同学中至少有1名女同学的事件含有的结果有，共7个，
所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.
故选：B
16. 关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（ ）
A. ①、②都正确B. ①正确 ②错误C. ①错误 ②正确D. ①、②都错误
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式判断①的正确性，利用不等式的性质判断②的正确性.
【详解】对于①，由平方可得，．因为，
所以．又因为，
当且仅当时等号成立，故①错误；
对于②，由知，，，两边平方可得．
因为，所以，
即曲线在直线的下方，
因此所围图形的面积不大于，故②正确.
故选：C
【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
三、解答题（本大题共有5题，满分44分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
17. 随机抽取某校甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：），获得身高数据如下：
甲班：170 179 162 168 158 182 179 168 163 171
乙班：159 173 179 178 162 181 176 168 170 165
（1）计算甲班的样本方差；
（2）求乙班数据的分位数．
【答案】（1）57.2；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平均数与方差的计算公式即可得解；
（2）利用百分位数的定义求解即可.
【小问1详解】
依题意，设甲班的样本平均数为，方差为，
则，
所以
【小问2详解】
将乙班数据从小到大重新排列得：159，162，165，168，170，173，176，178，179，181，
又，所以乙班数据的分位数为第3位数，即.
18. 在长方体中（如图），，，点是棱的中点.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体是否为鳖臑？并说明理由.
【答案】（1）
（2）是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）作交于，联结，即可得到为异面直线与所成角，再根据三角形的性质求出，即可得解；
（2）首先可得，即可得到为直角三角形，在由线面垂直、面面垂直的性质得到平面，即可得到，即为直角三角形，即可判断；
【小问1详解】
解：作交于，联结，因为是棱的中点.
所以为的中点，
则为异面直线与所成角，
因为，所以，
因为正三角形，即，
异面直线与所成角为.
【小问2详解】
解：是棱上的中点，则､均为等腰直角三角形，
故，所以为直角三角形，
由平面，面，所以平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，
所以为直角三角形，
因为平面，平面，所以，，所以､均为直角三角形，
故四面体四个面均为直角三角形为鳖臑.
19. 已知数列的前n项和为，其中．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】19. ，；
20.
【解析】
【分析】（1）利用之间的关系进行求解即可；
（2）利用裂项相消法进行求解即可.
【小问1详解】
因为当时，有，
所以当时，有，
两式相减，得，
当时，由，适合，
所以，；
【小问2详解】
因为，；
所以，
因此.
20. 如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，
（1）试确定m的值，使直线AP与平面所成角为；
（2）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，有？证明你的结论．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的公式求出m的值；
（2）假设在线段上存在这样的点Q，设点Q的横坐标为x，则，由，即，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，，，，，
，，，
由，,知，为平面的一个法向量．
设AP与平面所成的角为，
则，解得
故当时，直线AP与平面所成角为．
【小问2详解】
假设在线段上存在这样的点Q，
设点Q的横坐标为x，则，，
依题意，得，即，
，解得，
当Q为的中点时，满足题设的要求．
21. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆上有一动点，求的取值范围；
（3）设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在点，使得，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出可得答案；
（2）设动点，求出，根据的取值范围可得答案；
（3）设直线与椭圆方程联立，可得其判别式，化简得①，
利用韦达定理求出点坐标可得，利用得，设直线方程为与椭圆方程联立，要使得存在点可得其判别式，化简得②，由①②式求出的范围可得答案.
【小问1详解】
由题意，得，所以，
则椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
设动点，
，
，
所以的取值范围为；
【小问3详解】
显然直线的斜率存在，所以可以设直线，联立得到，
整理，得，
则，
则，
又直线与椭圆交于两点：，
化简得，则①，
，如果，则，
设直线，
整理得，
要使得存在点，则，
整理得②，
由①②式得，，
则，解得，
所以当时，不存在点，使得.
【点睛】关键点点睛：第三问的解题关键点是分别设直线、直线方程与椭圆方程联立，利用其判别式化简求出的范围.