山东师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份山东师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知空间向量,且,则m的值为( )
A.B.C.6D.
2．已知等比数列各项均为正数,公比,且满足,则( )
A.8B.4C.2D.1
3．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
4．抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
5．如图,在四面体OABC中,,,,,P为线段OA的中点,则等于( )
A.B.C.D.
6．若圆上恰有两个点到直线的距离为1,则半径r的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的左､右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案,会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知,为直角顶点,设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为,令为数列的前项和,则( )
A.8B.9C.10D.11
二、多项选择题
9．已知椭圆的离心率为,则m的值可能为( )
A.B.C.5D.25
10．已知数列的前n项和为,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则当时,是等比数列
C.若数列为等差数列,,,则
D.若数列为等差数列,,,则时,最大
11．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内,到两个定点A,B距离之比是常数的点M的轨迹是圆.若两定点,动点M满足,则下列说法正确的是( )
A.点M的轨迹围成区域的面积为
B.面积的最大值为
C.点M到直线距离的最大值为
D.若圆上存在满足条件的点M,则半径r的取值范围为
12．在棱长为1的正方体中,E为侧面的中心,F是棱的中点,若点P为线段上的动点,则下列说法正确的是( )
A.PE的长最小值为
B.的最小值为
C.若,则平面PAC截正方体所得截面的面积为
D.若正方体绕旋转角度后与其自身重合,则的值可以是
三、填空题
13．已知直线:,,当时,m的值为____________.
14．已知等差数列的公差为1,且是和的等比中项,则前20项的和为___________.
15．如图,把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角,则折纸后异面直线AB,CD所成的角为_____________.
16．已知F为抛物线的焦点,过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,抛物线在点A,B处的切线分别为和,若和交于点P,则的最小值为____________.
四、解答题
17．已知圆C的圆心在直线上,且与直线相切于点.
(1)求圆C的方程;
(2)若过点的直线l被圆C截得的弦AB的长为4,求直线l的方程.
18．在数列中,,当时,其前n项和满足.
(1)求证：是等差数列;
(2)设,求的前n项和.
19．已知椭圆C的中心是坐标原点O,它的短轴长,焦点,点,且
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P,Q两点,且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,若存在,求出直线PQ的方程;不存在,说明理由.
20．如图所示,在梯形ABCD中,,,四边形ACFE为矩形,且平面ABCD,.
(1)求证：;
(2)点M在线段BF（不含端点）上运动,设直线BE与平面MAC所成角为,当时,确定此时点M的位置.
21．已知等差数列的首项为2,公差为8.在中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,,···,,···是从中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列,,,令,求数列的前n项和.
22．已知圆,点,点G是圆F上任意一点,线段EG的垂直平分线交直线FG于点T,点T的轨迹记为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知曲线C上一点,动圆,且点M在圆N外,过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A,B.
（i）求证：直线AB的斜率为定值;
（ii）若直线AB与交于点Q,且时,求直线AB的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：因为空间向量,且
.
故选：B.
2．答案：C
解析：因为,由等比数列的性质可得：,
又因为数列各项均为正数,所以,因为公比,则,
故选：.
3．答案：A
解析：直线的斜率,故其倾斜角为.
4．答案：D
解析：由得,故抛物线的准线方程为.
故选：D.
5．答案：D
解析：由已知
,
故选：D.
6．答案：C
解析：如图,与直线平行的距离为1的直线有2条：,
圆的圆心是,
依题意及图：圆C与必有2个交点,与相离,
圆心C到的距离,;
故选：C.
7．答案：A
解析：因为点P在双曲线的右支上,由双曲线的定义可得,
又,所以,即,则,
因为双曲线中,,
即,则,即,
又双曲线的离心率大于,所以.
故选：A.
8．答案：C
解析：由,
可得,,···,,
所以,
所以,
所以前n项和,
所以,
故选：C.
9．答案：BC
解析：可化为.
当时,,椭圆的离心率为,解得;
当时,,椭圆的离心率为,解得.
故选：BC.
10．答案：AD
解析：对于选项A：,,
,又,
则时也符合,故若,则,故选项A正确;
对于选项B：当,时,,此时,
数列不是等比数列,故选项B错误;
对于选项C：数列为等差数列,,,
,,,,
故选项C错误;
对于选项D：数列为等差数列,,,
,即,
,即,
,时,最大,故选项D正确;
综上所述：选项AD正确,
故选：AD.
11．答案：ACD
解析：由题意,设点,又,
所以,
化简可得,
所以点M的轨迹为以点为圆心,为半径的圆,
所以点M的轨迹围成的区域面积为,A选项正确;
又点满足,
所以,面积的最大值为,B选项错误;
点到直线的距离,
所以直线与圆相离,所以点M到直线距离的最大值为,C选项正确;
由D选项可知圆C与圆N有公共点,所以,
且,
即,
所以,D选项正确;
故选：ACD.
12．答案：BCD
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,正方体棱长为1,则,,,,
,设,,所以,
,
,所以时,,A错;
,
,
所以时,,B正确;
,则P是上靠近的三等分点,,
取AC上靠近C的三等分点G,则,
,显然与平面的法向量垂直,因此平面,
所以截面PAC与平面的交线与PG平行,作交于点M,
设,则,由得,解得,
则M与F重合,因此取中点N,易得,截面为ACFN,它是等腰梯形,
,,,梯形的高为,
截面面积为,C正确;
,,,,,
,,同理,
所以是平面的一个法向量,即平面,设垂足为,
则,是正方体的外接球的直径,
因此正方体绕旋转角度后与其自身重合,至少旋转.D正确.
故选：BCD.
13．答案：-1或2
解析： ,,
当时,有,解得或,
当时,:,, 满足题意;
当时,:,, 满足题意.
当时,m的值为-1或2.
故答案为：-1或2.
14．答案：180
解析：由等差数列的公差为1,
且是和的等比中项,
故可得,解得.
故数列的前20项的和.
故答案为：180.
15．答案：
解析：过点E作,且使得,则四边形ABEC是平行四边形,设所求角为,于是.
设原正方形ABCD边长为2,取AC的中点O,连接DO,BO,
则且,而平面平面ABC,且交于AC,所以平面ABEC,则.易得,,,而则
于是,,.
在中,,取DE的中点F,则,所以,所以,,
于是.
故答案为：.
16．答案：4
解析：由题可知,设直线,
直线与联立消x,得,
设,,则,,
,
设,
由,可得,
,又,
,
,即,
同理可得,
所以可得,即,
,
,
当且仅当,即取等号.
故答案为：4.
17．答案：(1)
(2)或
解析：（1）因为圆C的圆心在直线上,
所以设圆心为,
又因为圆与直线相切于点,
所以,
解得,
所以圆心为,半径为 ,
所以圆C的方程;
（2）当直线的斜率不存在时：直线方程为,
圆心到直线的距离为,
所以弦长为,成立;
当直线的斜率存在时,设直线方程为,即,
圆心到直线的距离为,
所以弦长为,
解得,
所以直线方程为：,
所以直线l的方程为或.
18．答案：(1)证明见解析;
(2)
解析：（1）证明：当时,,
,即：
,又
数列是以1为首项,2为公差的等差数列
（2）由（1）知：
19．答案：(1);
(2)答案见解析.
解析：（1）由题意知,,,
,
由,得,解得：
,椭圆的方程为
离心率为
（2）,设直线PQ的方程为
联立,得
设,则,
由已知得,得,即
解得：,
符合,直线PQ的方程为.
20．答案：(1)证明见解析;
(2)点M为线段BF的中点.
解析：（1）在梯形ABCD中, ,, ,
在中, ,,
由余弦定理,
, ,
四边形ACFE为矩形, ,
.
（2）由第（1）问,,又平面ABCD,
以C为原点,CA,CB,CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则由已知,,,,,
点M在线段BF（不含端点）上运动,
设,,
,
又,
设平面MAC的一个法向量,
则,令,则,,
,
又,直线BE与平面MAC所成角为,
当时,
,
解得,
,即点M为线段BF的中点.
21．答案：(1);
(2)
解析：（1）由于等差数列的公差为8,在中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列,则的公差,的首项和 首项相同为2,则数列的通项公式为,.
（2）由于,是等比数列的前两项,且,,则,则等比数列的公比为3,则,即,.①.
②.
①减去②得.
.
22．答案：(1)
(2)（i）答案见解析
（ii）或
解析：（1）由题意可知,
,且,
根据双曲线的定义可知,点T的轨迹是以点E、F为焦点,且实轴长为2的双曲线,
即,,,
则点T的轨迹方程为;
（2）（i）设点,,直线AB的方程为,
联立得,
其中,且,
,,
曲线C上一点, ,
由已知条件得直线MA和直线MB关于对称,则,
即,整理得,
,
,
,即,
则或,
当,直线方程为,此直线过定点,应舍去,
故直线AB的斜率为定值-2.
（ii）由（i）可知,
由已知得,即,
当时,,
,即,,
,解得或,
但是当时,,故应舍去,当时,直线方程为,
当时,,即,,
,解得（舍去）或,
当时,直线方程为,
故直线AB的方程为或.