第二章 平面向量及其应用（B卷·能力提升练）-2023-2024学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第二册）

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单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）
1．（2023春·高一单元测试）下列说法错误的是（ ）
A．零向量与任一向量都平行
B．方向相反的两个向量一定共线
C．单位向量长度都相等
D．a，b，c均为非零向量，若a⋅b=a⋅c，则b=c
【答案】D
【分析】根据向量的基本性质逐一判断即可.
【解析】规定：零向量与任一向量都平行，故A正确；
方向相反的两个向量一定共线，故B正确；
单位向量长度都为1，故C正确；
当a⋅b=a⋅c=0时，a⊥b且a⊥c成立，但b=c不一定成立，故D错误；
故选：D.
2．（2023春·高一单元测试）已知向量a=3,1，b=0,-1，c=k,3，若a-2b与c共线，则k=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求得a-2b的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程，求得答案.
【解析】由题意向量a=3,1，b=0,-1，c=k,3，
则a-2b=(3,3)，
由于a-2b与c共线，则3×3-3k=0,∴k=1，
故选：D
3．（2023春·高一单元测试）已知向量 a，b满足|a|=5， |b|=6，a⋅b=-6，则cs=（ ）
A．-3135B．-1935C．1735D．1935
【答案】D
【分析】计算出a⋅(a+b)、|a+b|的值，利用平面向量数量积可计算出cs的值.
【解析】∵|a|=5，|b|=6，a⋅b=-6，∴a⋅(a+b)=|a|2+a⋅b=52-6=19.
|a+b|=(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=25-2×6+36=7，
因此，cs=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|=195×7=1935.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
4．（2023春·高一单元测试）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=2，b=3，∠A=30°，则解此三角形的结果有（ ）
A．无解B．一解C．两解D．一解或两解
【答案】C
【分析】根据题意作出图形，推得CD【解析】依题意，作出∠A=30°，AC=b=3，B落在射线AE上，过C作CD⊥AE于D，如图，
则在Rt△ACD中，由正弦定理CDsinA=ACsin∠CDA，得CD=ACsinAsin∠CDA=3×sin30°sin90°=32，
因为BC=a=2，所以CD故以C为圆心，半径为2的圆C与射线AE相交，即有两个交点B1,B2，
显然，这个两交点B1,B2都可以作为点B，与A,C构造△ABC，且BC=2，
所以满足题意的三角形有两个，即解此三角形的结果有两解.
故选：C.
.
5．（2023春·高一单元测试）在△ABC中，B=60°，C=45°，BC=8，D是BC边上的一点，且BD=3-12BC，则AD的长为（ ）
A．4(3+1)B．4(3-1)C．4(3-3)D．4(3+3)
【答案】C
【分析】通过正弦定理求出AB的长，然后利用余弦定理求出AD的值即可．
【解析】如图
由题意可知BD=3-12BC=43-4；A=180°-B-C=75°，
所以由正弦定理得：AB=BCsin45°sin75°=8×22sin30°+45°=422+64=8 3-8，
在△ABD中，由余弦定理可知，
AD2=BD2+AB2-2AB⋅BDcsB=(43-4)2+(83-8)2-(43-4)(83-8) =48(3-1)2．
所以AD=4(3-3)．
故选：C．
6．（2023春·高一单元测试）在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=4CD,点E在线段CB上,且CE=3EB,设AB=a,AD=b,则AE=（ ）
A．58a+12bB．54a+12bC．1316a+14bD．138a+14b
【答案】C
【分析】画出图象,根据向量加减法则及向量共线定理即可得出结果.
【解析】解:由题知,AB∥CD,AB=4CD，画出示意图如下:
因为CE=3EB,AB=a,AD=b,
所以AE=AB+BE
=AB+14BC
=AB+14BA+AD+DC
=34AB+14AD+14DC
=34AB+14AD+116AB
=1316AB+14AD
=1316a+14b.
故选:C
7．（2023春·高一单元测试）已知A,B,C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足：OP=1312OA+12OB+2OC，则P一定为△ABC的
A．重心B．AB边中线的三等分点（非重心）
C．AB边中线的中点D．AB边的中点
【答案】B
【解析】如图所示：设AB 的中点是E，∵O 是三角形
ABC 的重心，
OP=1312OA+12OB+2OC=13OE+2OC
∵2EO=OC ∴OP=134EO+OE=EO
∴P在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心
故选B
8．（2023春·高一单元测试）在给出的下列命题中，错误的是（ ）
A．设O,A,B,C是同一平面上的四个点，若OA=m⋅OB+(1-m)⋅OC(m∈R)，则点A,B,C必共线
B．若向量a,b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c=λa+μb(μ,λ∈R)，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量OA,OB,OC满足OA⋅OB=OA⋅OC,AO=λAB|AB|+AC|AC|，则△ABC为等腰三角形
D．已知平面向量OA,OB,OC满足|OA|=|OB|=|OC|=r(r>0)，且OA+OB+OC=0，则△ABC是等边三角形
【答案】B
【分析】对A，化简得出CA=mCB，根据向量共线定理可判断；对B，根据平面向量基本定理可判断；对C，根据OA⋅OB=OA⋅OC可得OA⊥CB，根据AO=λAB|AB|+AC|AC|可得OA为∠BAC的角平分线即可判断；对D，由OA+OB=-OC平方可求得OA,OB的夹角，即可判断.
【解析】对A，若OA=m⋅OB+(1-m)⋅OC，则OA-OC=mOB-OC，即CA=mCB，则CA//CB，且有公共点C，故A,B,C共线，故A正确；
对B，根据平面向量基本定理可得若a,b共线，则不满足题意，故B错误；
对C，∵OA⋅OB=OA⋅OC，∴OA⋅OB-OC=0，即OA⋅CB=0，所以OA⊥CB，
又AO=λAB|AB|+AC|AC|，所以OA为∠BAC的角平分线，所以△ABC为等腰三角形，故C正确.
对D，若|OA|=|OB|=|OC|=r(r>0)，且OA+OB+OC=0，则OA+OB=-OC，
则OA2+2OA⋅OB+OB2=OC2，即r2+2r2cs+r2=r2，
则cs=-12，则OA,OB的夹角为120°，同理OA,OC的夹角为120°，OB,OC的夹角为120°，所以△ABC是等边三角形，故D正确.
综上，错误的选项为B.
故选：B.
多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（2023春·高一单元测试）下列说法正确的有（ ）
A．a2=a2B．a⋅ba2=ba
C．若a+b=a-b，则a⋅b=0D．若a与b是单位向量，则a⋅b=1
【答案】AC
【解析】由向量的数量积运算法则可判断A；由向量数量积的定义可判断B；根据向量数量积的运算法则可判断C；举反例，如果两个向量垂直，则数量积为0，可判断D.
【解析】a2=a2，满足向量的数量积运算法则，故A正确；
a⋅ba2=abcsa,ba2=bcsa,ba≠ba，所以B不正确；
若a+b=a-b，则a+b2=a-b2，即a+b2=a-b2，所以a2+2⋅a⋅b+b2=a2-2⋅a⋅b+b2，则a⋅b=0，所以C正确；
若a与b是单位向量，如果两个向量垂直，则数量积为0，所以判断为a⋅b=1，D不正确；
故选：AC.
10．（2023春·高一单元测试）设向量a→＝(k，2)，b→＝(1，－1)，则下列叙述错误的是（ ）
A．若k<－2，则a→与b→的夹角为钝角
B．|a→|的最小值为2
C．与b→共线的单位向量只有一个为22,-22
D．若|a→|＝2|b→|，则k＝22或－22
【答案】CD
【分析】对于A选项，得k<2且k≠－2，所以A选项正确；
对于B选项，|a→|≥2，所以B选项正确；
对于C选项，与b→共线的单位向量为(22,-22)或(-22,22)，所以C选项错误；
对于D选项，得k＝±2，所以D选项错误．
【解析】对于A选项，若a→与b→的夹角为钝角，则a→·b→<0且a→与b→不共线，则k－2<0且k≠－2，解得k<2且k≠－2，所以A选项正确；
对于B选项，|a→|＝k2+4≥4＝2，当且仅当k＝0时等号成立，所以B选项正确；
对于C选项，|b→|＝2，与b→共线的单位向量为±b→|b→|，即与b→共线的单位向量为(22,-22)或(-22,22)，所以C选项错误；
对于D选项，∵|a→|＝2|b→|＝22，∴k2+4＝22，解得k＝±2，所以D选项错误．
故选：CD
11．（2023春·高一单元测试）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=23，∠B=π3，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（ ）
A．c=3B．c=72C．c=4D．c=92
【答案】AC
【分析】利用三角形的性质：大边对大角以及正弦定理即可求解.
【解析】对于A，由c所以sinC=34，所以C只有一个锐角，故A正确；
对于B，c>b，由正弦定理：bsinB=csinC，可得sinC=78>32，
满足条件的C是锐角或钝角，故B不正确’；
对于C，由正弦定理：bsinB=csinC，可得sinC=1，即C=π2，
满足题意，故C正确；
对于D，由正弦定理：bsinB=csinC，可得sinC=98，
即C无解，故D不正确.
故选：AC
【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的性质，需熟记定理的内容，属于基础题.
12．（2023春·高一单元测试）在△ABC中，角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A．若A>B>C，则sinA>sinB>sinC
B．若a=40，b=20，B=25°，则满足条件的△ABC有且仅有一个
C．若a=bcsC，则△ABC是直角三角形
D．若A=π3，b+c=63，则△ABC外接圆面积的最小值为9π
【答案】ACD
【分析】对于A，利用三角形大边对大角及正弦定理的边角变换可证得命题正确；
对于B，结合图像，利用直角三角形中正弦的定义可求得h，比较h与b边会发现存在两个满足条件的△ABC；
对于C，利用余弦定理的推论化简a=bcsC，即可证得命题正确；
对于D，先由余弦定理及基本不等式求得a的取值范围，再由正弦定理求得△ABC外接圆半径R的取值范围，，从而求得△ABC外接圆面积的最小值
【解析】对于A，因为A>B>C，所以由三角形大边对大角得a>b>c，
又由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，故2RsinA>2RsinB>2RsinC，即sinA>sinB>sinC，故A正确；
对于B，如图，在Rt△BCD中，h=asinB=40sin25°<40sin30°=20，即h以C为圆心，b为半径作圆，会发现该圆与BA有两个交点，即存在两个满足条件的△ABC，故B错误；
对于C，因为a=bcsC，由余弦定理得a=b×a2+b2-c22ab，整理得a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故C正确；
对于D，因为A=π3，b+c=63，
所以a2=b2+c2-2bccsA=b2+c2-bc=b+c2-3bc ≥b+c2-3×b+c22=b+c24=6324=27，即a≥33，
故2R=asinA≥3332=6，即R≥3，
所以△ABC外接圆面积S=πR2≥9π，即△ABC外接圆面积的最小值为9π，故D正确.
故选：ACD.
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2023春·高一单元测试）如图，点O为△ABC内一点，且OA+OB+OC=0，OA⋅OB=0，AB=2，则CA⋅CB=______
【答案】8
【分析】由OA+OB+OC=0，知点O为△ABC的重心．连接CO并延长，交AB于点D，可得CO和OD的长，又CA·CB=(CO+OA)·(CO+OB)，利用平面向量的数量积公式计算即可得解．
【解析】由OA+OB+OC=0，所以点O为△ABC的重心．连接CO并延长，交AB于点D．
又OA⋅OB=0，所以OA⊥OB．
在Rt△ABO中，OD=12AB=1，所以CO=2OD=2．
CA⋅CB=CO+OA⋅CO+OB=CO2+CO⋅OA+OB+OA⋅OB
=CO2+2CO⋅OD=4+4=8
故答案为：8.
14．（2023春·高一单元测试）在△ABC中，D是BC的中点，AB=1，AC=2，AD=32，则△ABC的面积为____________．
【答案】32
【分析】由已知得出2AD=AB+AC，利用平面向量数量积的运算可求得cs∠BAC的值，可求得∠BAC的值，结合三角形的面积公式可求得结果.
【解析】∵AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12AC-AB=12AB+AC，
所以，2AD=AB+AC，
故3=4AD2=AB+AC2=AB2+AC2+2AB⋅AC=5+2AB⋅ACcs∠BAC，
所以，cs∠BAC=-12，所以，∠BAC=2π3，
因此，S△ABC=12AB⋅AC⋅sin2π3=32.
故答案为：32.
15．（2023·高一课时练习）在△ABC中，sinC=sinA+sinBcsA+csB，则△ABC的形状为______．
【答案】直角三角形
【分析】利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，得到c2=a2+b2，由此判断出三角形ABC的形状.
【解析】因为sinC=sinA+sinBcsA+csB
据正、余弦定理得：c=a+bb2+c2-a22bc+a2+c2-b22ac，
∴b2+c2-a22b+a2+c2-b22a=a+b，
即ab2+c2-a2+ba2+c2-b2=2aba+b，
化简得：ac2+bc2=ab(a+b)+a3+b3，
∴(a+b)c2=ab(a+b)+(a+b)(a2-ab+b2)，
∴c2=ab+a2-ab+b2
即c2=a2+b2，
所以△ABC为直角三角形.
故答案为：直角三角形.
16．（2023春·高一单元测试）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A、B两点测得C的仰角分别为45°、30°，AB=60m，且∠AOB=30°，则大跳台最高高度OC=______m.
【答案】60
【分析】根据题意，分别得出OA=OC，OB=3OC.然后在△AOB，根据余弦定理，即可求出OC的值.
【解析】由已知可得，∠BOC=∠AOC=90∘，∠OAC=45∘，∠OBC=30∘.
则在Rt△BOC中，tan∠OAC=tan45∘=OCOA=1，所以OA=OC.
同理可得，OB=3OC.
在△AOB中，有OA=OC，OB=3OC，AB=60，∠AOB=30°，
根据余弦定理可得，AB2=OA2+OB2-2OA⋅OBcs∠AOB，
即OC2+3OC2-2OC⋅3OC×32=602=3600，解得OC=±60（舍去负值）.
所以，OC=60.
故答案为：60.
解答题（本题共6小题，共70分。）
17．（2023春·高一单元测试）已知向量a=(2,3),b=(-1,2).
（1）求(a-b)⋅(a+2b)；
（2）若向量a+λb与2a-b平行，求λ的值.
【答案】（1） (a-b)⋅(a+2b)=7; （2）λ=-12.
【分析】（1）根据已知条件，利用平面向量线性运算、数量积运算的坐标表示求解.
（2）利用平面向量线性运算的坐标表示以及两个向量共线的性质求解.
【解析】（1）∵a=(2,3),b=(-1,2)，
∴a-b=(2,3)-(-1,2)=(3,1)，
a+2b=(2,3)+2(-1,2)=(0,7)，
∴(a-b)⋅(a+2b)=3×0+1×7=7.
（2） ∵a=(2,3),b=(-1,2)，
∴a+λb=(2,3)+λ(-1,2)=(2-λ,3+2λ)，
2a-b=2(2,3)-(-1,2)=(5,4)，
∵向量a+λb与2a-b平行，
∴2-λ5=3+2λ4，解得λ=-12.
18．（2023秋·湖北·高三统考期末）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinC=2sinB，且c=42.
(1)求边b的值；
(2)若D为边BC的中点，cs∠CAD=34，求△ABC的面积.
【答案】(1)4
(2)47
【分析】（1）根据正弦定理，找到边c,b关系求解.
(2)根据余弦定理cs∠CAE=AE2+AC2-CE22AE⋅AC=34，求出AD，再根据面积公式S△ABC=2S△ADC=2⋅12AD⋅AC⋅sin∠ADC求解.
【解析】（1）因为sinC=2sinB，
由正弦定理得：c=2b，且c=42，
所以b=4.
（2）延长AD至点E，满足AD=DE，连接EB，EC，在△EBC中，
由余弦定理得：cs∠CAE=AE2+AC2-CE22AE⋅AC=34，
因为AC=4，EC=42，
代入上式整理得：AE=8，所以AD=4
所以S△ABC=2S△ADC=2⋅12AD⋅AC⋅sin∠ADC=47.
19．（2023春·高一单元测试）已知单位向量e1⃑，e2⃑的夹角60°，向量a→=e1⃑+e2⃑，b→=e2⃑-te1⃑，t∈R.
（1）若a//b，求t的值；
（2）若t=2，求向量a→，b→的夹角.
【答案】（1）t=-1；（2）2π3.
【分析】（1）根据题意，设 a=kb，又e1,e2不共线，根据系数关系，列出方程，即可求出t的值；
（2）根据题意，设向量a,b的夹角为θ；由数量积的计算公式可得b、a以及a⋅b，又由csθ=a⋅ba⋅b，即可求出结果．
【解析】（1）根据题意，向量 a=e1+e2,b=e2-te1 ，
若a//b，设 a=kb，
则有e1+e2=ke2-te1=-kte1+ke2，
则有1=-kt1=k，解可得t=-1；
（2）根据题意，设向量a,b的夹角为θ；
若t=2，则 b=e2-2e1，
所以b2=e2-2e12=e22-4e1⋅e2cs60°+4e12=5-2=3，
所以b=3，
又a=e1+e2，则a2=e1+e22=e12+e22+2e1⋅e2cs60°=1+1+1=3，
所以a=3，
又a⋅b=e1+e2⋅e2-2e1=e22-2e12-e1e2cs60°=1-2-12=-32，
所以csθ=a⋅ba⋅b=-323×3=-12，
又由0≤θ≤π，所以θ=2π3；
故向量a,b的夹角为2π3．
【点睛】本题考查了平面向量共线定理和平面向量数量积的计算，涉及向量模、夹角的计算公式，属于基础题．
20．（2023春·高一单元测试）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c-a=2bcsA．
(1)求B的大小；
(2)若b=3，
①求a+c的取值范围；
②求aca+c的最大值．
【答案】(1)B=π3；
(2)①3【分析】（1）根据正弦定理边换角结合两角和与差的正弦公式得2sinAcsB-sinA=0，则csB=12，则得到B的大小；
（2）①利用基本不等式得(a+c)2≤9+34(a+c)2，结合三角形任意两边之和大于第三边即可得到a+c范围；②设t=a+c，t∈(3,6]，而aca+c=t2-93t，根据函数单调性即可其最大值.
【解析】（1）因为2c-a=2bcsA,又asinA=bsinB=csinC,所以2sinC-sinA=2sinBcsA,
所以2sin(A+B)-sinA=2sinBcsA,
所以2sinAcsB-sinA=0,
因为A∈0,π,sinA≠0,所以csB=12,∵B∈0,π，可得B=π3.
（2）①根据余弦定理a2+c2-b2=2accsB得a2+c2-ac=9,得(a+c)2=9+3ac，
因为ac≤(a+c)24,所以(a+c)2≤9+34(a+c)2，结合a+c>3，
所以3②设t=a+c,则t∈(3,6],所以aca+c=t2-93t,
设f(t)=t2-93t=13t-9t,
则f(t)在区间(3,6]上单调递增,
所以f(t)的最大值为f(6)=32,所以aca+c的最大值为32.
21．（2022春·山东青岛·高一统考期末）如图所示，在海岛A上有一座海拔0.5千米的山，山顶设有一个观察站P（观察站高度忽略不计），已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，若10分钟后，又测得该船在海岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A的距离？
【答案】(1)30千米/时
(2)9+326千米
【分析】（1）先Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=30°+60°=90°，最后利用勾股定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．
（2）利用锐角三角函数求出sin∠ABC，cs∠ABC，利用两角差的正弦公式求得sin∠BDA的值，进而利用正弦定理求得AD．
【解析】（1）解：（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=0.5，∴AB=APtan60°=32．
在Rt△PAC中，∠APC=30°，
∴AC=APtan30°=36．
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，
∴BC=AC2+AB2=362+322=306．
则船的航行速度为306÷16=30（千米/时）．
（2）解：在Rt△ACB中，∠CAB=90°，AC=36，BC=306，AB=32
所以sin∠ABC=ACBC=1010，cs∠ABC=ABBC=31010
在△ABD中，∠DAB=90°+30°=120°，
所以sin∠BDA=sin(60°-∠ABC)
=sin60°cs∠ABC-cs60°sin∠ABC
=31010×32-12×1010
=(33-1)1020．
由正弦定理得ADsin∠DBA=ABsin∠BDA．
∴AD=AC⋅sin∠DBAsin∠BDA=36⋅31010(33-1)1020=9+326．
故此时船距岛A有9+326千米．
22．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①acsB=c+12b，
条件②sinA-sinCb=sinB+sinCa+c，
条件③3bsinB+C2=asinB．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足________，
(1)求A；
(2)若AD是∠BAC的角平分线，且AD=1，求2b+c的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，A=2π3
(2)3+22
【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出csA的值，结合角A的取值范围可得出角A的值；
选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出csA的值，结合角A的取值范围可得出角A的值；
选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出sinA2的值，结合角A的取值范围可得出角A的值；
（2）由已知S△ABC=S△ABD+S△ACD结合三角形的面积公式可得出1b+1c=1，将2b+c与1b+1c相乘，展开后利用基本不等式可求得2b+c的最小值.
【解析】（1）解：选①：因为acsB=c+12b，由正弦定理可得sinAcsB=sinC+12sinB，
即sinAcsB=sinA+B+12sinB=sinAcsB+csAsinB+12sinB，
所以csAsinB=-12sinB，
而B∈0,π，∴sinB≠0，故csA=-12，因为A∈0,π，所以A=2π3；
选②：因为sinA-sinCb=sinB+sinCa+c，由正弦定理a-cb=b+ca+c，
即b2+c2-a2=-bc，由余弦定理csA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12，
因为A∈0,π，所以A=2π3；
选③：因为3bsinB+C2=asinB，
正弦定理及三角形内角和定理可得3sinBsinπ-A2=sinAsinB，
即3sinBcsA2=2sinA2csA2sinB，
因为A、B∈0,π，则A2∈0,π2，所以，sinB≠0，csA2≠0，
所以sinA2=32，所以A2=π3，即A=2π3.
（2）解：由题意可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
由角平分线性质和三角形面积公式得12bcsin2π3=12b×1×sinπ3+12c×1×sinπ3，
化简得bc=b+c，即1b+1c=1，
因此2b+c=2b+c1b+1c=3+cb+2bc≥3+2cb⋅2bc=3+22，
当且仅当c=2b=2+1时取等号，所以2b+c的最小值为3+22．