第二章 函数（B卷·能力提升练）-2024-2025学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第一册）

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单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求定义域问题，要保证式子有意义，分母不等于0，开偶次方被开方数不小于0.
【详解】因为，所以要使式子有意义，则
，解得，即.
所以函数的定义域是.故A，C，D错误.
故选：B.
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合函数定义域以及幂函数性质，即可判断
【详解】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．
故选：C
3．（2021·贵州毕节·高一期中）已知函数，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】利用换元法求得函数解析式求解.
【详解】设，则，
所以，
，
解得．
故选：B
4．（2021·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（文））已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式．
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，
因为，
所以，解得：.
故选：A．
5．（2022·全国·高一课时练习）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
若某户居民月交纳的水费为元，则此户居民本月用水量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，求出关于的函数解析式，再令，解出的值，即可得解.
【详解】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，
当时，，
当时，，
当时，.
令，解得.
故选：D.
6．（2022·全国·高一单元测试）设偶函数 在区间 上单调递增， 则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性，将转化为，再利用函数单调性即可比较大小.
【详解】根据题意为偶函数，则，
又由函数 在区间 上单调递增，且,
所以，
所以，
故选：B．
7．（2022·北京延庆·高二期末）是定义域为的奇函数，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得函数的周期为1，然后利用周期和奇函数的性质可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以函数的周期为1，
因为是定义域为的奇函数，，
所以，
故选：C
8．（2022·河南·高二期末（理））已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不妨设，令，由题分析可得函数在上单调递减，讨论和时，要使在上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.
【详解】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（2021·黑龙江·哈九中高一阶段练习）下列函数中，满足的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】分别求解和，依次判断四个选项即可.
【详解】，，故选项A正确；
，，故选项B正确；
，，故选项C正确；
，，故选项D错误.
故选：ABC..
10．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．表示同一个函数
C．函数的值域为
D．函数满足，则
【答案】ACD
【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，定义域为，定义域为，不是同一函数，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，
化简得
两式相加得，解得
，故D正确．
故选：ACD．
11．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．当时，D．当时，
【答案】ACD
【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.
【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
12．（2022·全国·高一课时练习）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.
【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．
故选：ABD．
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2019·江苏·高三专题练习）给出函数，如下表，则的值域为______

【答案】
【分析】由题可得，同理,,,
进而得出答案．
【详解】,
,
,
,
所以值域为
【点睛】本题考查求函数值问题，属于简单题．
14．（2021·云南·昆明市第三中学高一期中）设m为实数，若是偶函数，的单调递减区间为________
【答案】
【分析】由函数的奇偶性可得，再利用二次函数的性质即得.
【详解】∵是偶函数，
∴，
∴，函数对称轴为，
∴函数的单调递减区间为.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.
【答案】3
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，故，
，故.
故答案为：3.
16．（2022·全国·高一课时练习）若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】把函数解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数的和的形式，由函数在为增函数得出，从而得到实数的取值范围．
【详解】解：函数，
由复合函数的增减性可知，若在为增函数，
，，
故答案为：．
解答题（本题共6小题，共70分。）
17．（2022·全国·高一）已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域.
【答案】(1)
(2)或
(3)图象见解析，
【分析】（1）根据自变量的取值代入对应的函数表达式中即可求解函数值.
（2）根据函数值的大小，代入对应的表达式中，分情况讨论即可求解.
（3）根据每一段上函数的特征分段即可画出.
(1)
因为，所以
(2)
当时，，不合题意，应舍去
当时，
解得或（舍）
当时，，则
综上，或
(3)
值域为
18．（2021·广东·佛山市顺德区文德学校高一阶段练习）已知函数f(x)=.
(1)求函数的定义域；
(2)试判断函数在(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)试判断函数在x∈[3，5]的最大值和最小值.
【答案】(1){x|x≠-1}
(2)是增函数，证明见解析
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据函数f(x)有意义，列出不等关系求解即可；
（2）先分离常数转化函数为f(x)==2-，根据反比例函数的单调性判断函数单调性，再利用定义证明即可；
（3）结合（2）中函数单调性求解即可
(1)
∵f(x)=，∴x+1≠0，∴x≠-1，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}.
(2)
∵f(x)==2-，∴函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数.
证明如下：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1∵-10，∴x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)(3)
∵函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数，
∴f(x)在x∈[3，5]上单调递增，
∴函数f(x)在x∈[3，5]上的最大值为f(5)=2-=，最小值为f（3）=2-=.
19．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高二开学考试）已知幂函数为奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；
（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.
（1）
解：由题意，幂函数，
可得，即，解得或，
当时，函数为奇函数，
当时，为非奇非偶函数，
因为为奇函数，所以.
（2）
解：由（1）知，可得在上为增函数，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
20．（2022·云南丽江·高一期末）已知定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)（1，2].
【分析】（1）设，则，然后将代入已知解析式并根据奇偶性化简，进而求出函数在R上的解析式；
（2）判断出函数在上单调递减，在上单调递增，然后结合函数的对称性并比较区间端点值的大小即可求出答案.
(1)
当时，则，，
又∵为偶函数，∴．
∴当时，，∴.
(2)由（1）知在上单调递减，函数是偶函数.
∴在上单调递增.
又∵在上单调递增，∴.
∴，则，故实数的取值范围是（1，2].
21．（2021·云南·弥勒市一中高一阶段练习）已知二次函数满足，且．
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）将解析式写成顶点式，从而求出函数的对称轴、单调性，由此可求出函数的最值．
【详解】解：（1）设，则，
∵，
∴，
∴，解得，
又，∴，∴；
（2）由（1）得，
①当时，函数在上单调递减，
∴；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
∴；
∴．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考查二次函数的单调性与最值，考查数形结合思想，考查转化与化归思想，属于中档题．
22．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.
（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.
（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.
（1）
令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．
（2）
设，则，所以．
因为，，，所以，即，所以．
又，所以，所以，
所以，即．所以在上是减函数．
（3）
由（2）知函数在上是减函数，
所以当时，函数的最大值为，
所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立．
设，是关于a的一次函数，，
要使对任意恒成立，
所以，即，解得或，
所以实数t的取值范围是．每户每月用水量
水价
不超过的部分
元/
超过但不超过的部分
元/
超过的部分
元/