第二次月考模拟检测卷（范围：第一章~第四章） -2024-2025学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第一册）

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（时间：120 分钟，满分：150 分）
单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）
1．设集合，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【详解】解：集合，，则．故选：．
2．函数的定义域为
A．，，B．
C．，D．，，
【答案】A
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】解：，则，解得或，
故函数的定义域为，，．故选：A．
3．下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对选项进行逐个验证，即可解出．
【详解】解：当时，选项、显然错误；时，选项错误，
选项，，故正确；故选：．
4．设，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出：，，，从而得出，，的大小关系．
【详解】解：，，，．故选：．
5．函数的单调递增区间是
A．B．，，
C．和D．
【答案】C
【分析】作出函数的图象，数形结合即可得解．
【详解】解：由于，作出函数的图象如图所示：
结合图象可知函数的单调递增区间是和．故选：．
6．一种放射性元素，每年的衰减率是，那么千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于 年．
A． B．C． D．以上选项都不对
【答案】B
【分析】一种放射性元素，每年的衰减率是，则，由此能求出千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）．
【详解】解：一种放射性元素，每年的衰减率是，则，解得．
千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于．故选：．
7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由函数的定义域排除选项，再由时，排除，可得答案．
【详解】解：由图象可知，函数的定义域为，，，，
的定义域为，的定义域为，，，故可排除；
又当时，，可排除．
8．已知函数，若，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】分，两种情况进行讨论，时可知要使不等式恒成立，须有；时，再分，两种情况讨论，分离参数后化为函数最值可求，注意最后对范围取交集．
【详解】解：（1）当时，，要使，即恒成立，则此时．
（2）当时，，若，则左边右边，取任意实数；
若时，可化为，此时须满足．综上可得，的取值为，，故选：．
多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．下列说法正确的有
A．命题“，”的否定为“．”
B．函数且的图象恒过定点
C．已知函数，则的图象关于直线对称
D．
【答案】AB
【分析】对于选项：由含有量词的命题的否定，需要改变量词，否定结论，故正确；
对于选项：利用对数函数的性质，可知恒过，故正确；
对于选项：根据函数的性质，可知，关于对称，故错误；
对于选项：由换底公式可得，选项错误．
【详解】解：对于选项：“，”的否定为“．”，故正确；
对于选项：由函数对数函数且恒过，所以恒过，故正确；对于选项：由函数图像关于对称，所以，关于对称，故错误；
对于选项：由换底公式，故错误；故选：．
10．下列函数是奇函数，且在上单调递减的是
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性进行检验即可．
【详解】解：根据幂函数性质可知为奇函数且在上单调递减，符合题意；
为偶函数，不符合题意；为偶函数，不符合题意；为奇函数且上单调递减，符合题意．故选：．
11．若定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，则
A．B．是奇函数
C．是偶函数D．在上是减函数
【答案】ABD
【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性的定义，合理的进行赋值，分别检验各选项即可判断．
【详解】解：因为定义在上的函数满足：对任意的，，都有，
所以，即，正确；令，则，所以，即为奇函数，正确，错误；设，则，当时，，
所以，
所以，即在上单调递减，正确．故选：．
12．当时，，则的值可以为
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】先画出对数函数，指数函数的图像，再利用图像求解即可．
【详解】解：由题意知，当时，不满足题意，当时，设，，
画出函数，的图像如下，
由图知，当时，，则，，，，故选：．
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知，则的值为 ．
【答案】0
【分析】解方程求出，再代入计算即可．
【详解】解：，，解得，．故答案为：0．
14．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 ．
【答案】-2
【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性可得答案．
【详解】解：根据题意，当时，，，又由为奇函数，则；故答案为：．
15．若函数且在上的最大值为2，最小值为，函数在，上是增函数，则的值是 ．
【答案】1
【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论：当时，是减函数，，（4）；当时，是增函数，（4），；求出，在判断在，上是增函数，求出即可．
【详解】解：当时，是减函数，，即，，，（4），即，把代入可得：，函数在，上是减函数，不符合题意，舍；
当时，是增函数，（4），即（4），，
，即，把代入可得：，函数在，上是增函数，符合题意；所以，，所以，故答案为1．
16．关于函数有以下4个结论：
①该函数是偶函数； ②定义域为，；③递增区间为，； ④最小值为1；
其中正确结论的序号是 ．
【答案】③④
【分析】结合对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，复合函数单调性“同增异减”的原则，分别分析四个结论的真假，可得答案．
【详解】解：函数的定义域为，故②错误；
，故不是偶函数，故①错误；
令，则，由的单调递增区间为，；
为增函数，故函数的递增区间为，，故③正确；
当时函数取最小值为1，故④正确；故正确结论的序号是：③④．故答案为：③④
解答题（本题共6小题，共70分。）
17．设，，．
（1）求；
（2）求．
【答案】,
【分析】（1）可求出集合，，然后进行交集的运算即可；
（2）进行并集和补集的运算即可．
【详解】解：（1），，；
（2），，．
18．求值：
（1）；
（2）．
【答案】(1)17;(2)—1
【分析】（1）利用指数运算化简，原式，再化简即可；
（2）利用对数运算化简，原式，再化简即可．
【详解】解：（1）；
（2）．
19．已知函数，的图象过点，．
（1）求，的值；
（2）若不等式的解集记为集合，求时，的最大值与最小值．
【答案】；（2）最小值为，最大值为
【分析】（1）直接将图象所过的点代入解析式，得出，解出，即可；
（2）根据函数单调递增，利用单调性求其最值即可．
【详解】解：（1）由已知可得点，在函数图像上，
，，又不符合题意，．
（2）不等式即，则，即，，
据此可得，由（1）可得，
，在其定义域上是增函数，
在区间，上单调递增，
所以最小值为，最大值为（4）．
20．已知函数且的图象过点，
（1）求的值．
（2）若，求的解析式及定义域．
（3）在（2）的条件下，求的单调减区间．
【答案】（1）2 ；（2）；（3）
【分析】（1）运用代入法，解方程可得；
（2）代入求得的解析式，由对数的真数大于0，可得定义域；
（3）由在递增，递减，则在递增，运用复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求减区间．
【详解】解：（1）函数且的图象过点，
可得，解得；
（2），
由，且，解得，可得的定义域为；
（3），
由在递增，递减，则在递增，
可得函数的减区间为．
21．新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投入成本为．当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．
（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（Ⅱ）该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资．当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，此时可捐赠10万元物资款
【分析】（Ⅰ）根据题意，分段求得函数的解析式，即可求得；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所求，分别利用二次函数的性质和基本不等式，求出每一段的最大值，取两者中较大的利润，即为的最大值．
【详解】解：（Ⅰ）因为每件药品售价为0.05万元，则千件药品销售额为万元，
依题意得：
①当时，，
②当时，，
所以，．
（Ⅱ）因为，，
①当时，，
此时，当时，取得最大值万元，
②当时，，
此时，即时，取得最大值1000万元，
由于，所以当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，此时可捐赠10万元物资款．
22．已知函数．
（1）当，时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间，上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）
【分析】（1）设，由题意可知，只需（1）即可，从而求出的取值范围．
（2）由复合函数的单调性可知，再结合（2）求出的值，检验即可．
【详解】解：（1）设，
当，时，函数恒有意义，
当，时，恒成立，
又且，在，上单调递减，
（1），，
即实数的取值范围为，，．
（2）设，
且，在，上单调递减，
要使函数在区间，上为增函数，由复合函数的单调性可知，且（2），
，，即，
此时，经检验，满足题意，
存在实数，使得函数在区间，上为增函数，并且最大值为1．