期末考试模拟测试卷-2024-2025学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第一册）

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（时间：120 分钟，满分：150 分）
单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）
1．已知集合，，则
A．B．C．，D．
【答案】A
【分析】由指数，对数运算公式，集合的交并补直接计算．
【详解】解：由已知可得：，，，所以，
则，，故选：．
2．函数的定义域为
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】可看出，要使得有意义，则需满足，然后解出的范围即可．
【详解】解：要使有意义，则，解得，且，的定义域为．
故选：．
3．某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如表格：
则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是
A．1.4，1.4B．1.4，1.5C．1.4，1.6D．1.62，1.6
【答案】B
【分析】根据表中数据，结合定义写出这组数据的众数和中位数．
【详解】解：由题意知，该组数据的众数是1.4，出现6次；中位数是．故选：．
4．下列函数中，在区间上单调递增且存在零点的是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的图象与性质，零点的含义，以及函数图象的变换法则，逐一判断每个选项即可．
【详解】解：函数恒成立，不存在零点，即不符合题意；函数恒成立，不存在零点，即不符合题意；函数在上单调递增，且当时，，所以函数的零点为，即正确；函数在上单调递减，在上单调递增，即不符合题意．故选：．
5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，则汽车仅在甲处因遇红灯而停车一次的概率为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由汽车在甲，乙，丙遇绿灯而通行的概率分别为，可得汽车在甲处遇红灯的概率为，再结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
【详解】解：汽车在甲，乙，丙遇绿灯而通行的概率分别为，汽车在甲处遇红灯的概率为，
汽车仅在甲处因遇红灯而停车一次的概率．故选：．
6．为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为3000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是 （参考数据：，，
A．2026年B．2027年C．2028年D．2029年
【答案】B
【分析】设经过年之后，投入资金为万元，根据题意列出与的关系式；令，结合参考数据即可求出的范围，从而判断出选项．
【详解】设经过 年之后，投入资金为 万元，根据题意列出 与 的关系式；1 亿元转化为 10000 万元，令，结合参考数据即可 求出 的范围，从而判断出选项．
设经过 年之后，投入资金为 万元，则，由题意可得：，即，所以，即，又因为，所以，
即从 2027 年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过11乙元．故选：．
7．已知是定义在上的偶函数，且在，上是增函数，若，，，则、、的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算，结合函数单调性和奇偶性的关系分别进行判断即可．
【详解】解：是定义在上的偶函数，且在，上是增函数，
在，上为 减函数，则，，，
，，即．故选：．
8．已知函数在上对任意的都有成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可．
【详解】解：由题意得在递增，故，解得：，故选：．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．给出下列命题，其中为真命题的是
A．命题“，”的否定是：“，”
B．若，，，当时，，
C．若实数，满足，则
D．若，且，则
【答案】BCD
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，命题“，”的否定是：“，”， 错误；对于，对于，当时，必有，其△，方程有解，故，，正确；对于，若实数，满足，必有，则有；正确；
对于，若，且，则有，又由，则，故有，正确；
故选：．
10．下列运算中正确的是
A． B．
C．当时，D．若，则
【答案】BC
【分析】利用换底公式和对数的运算性质判断，，利用有理数指数幂的运算性质判断，．
【详解】解：对于选项，故选项错误，
对于选项，故选项正确，
对于选项：当时，，故选项正确，
对于选项：若，则，，故选项错误，故选：．
11．甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（ ）
A．小明得6分的概率为 B．小明得分低于6分的概率为
C．小明得分不少于3分的概率为 D．小明恰好得3分的概率为
【答案】BD
【分析】根据独立事件同时发生的概率公式判断A，由对立事件概率公式判断BC，根据互斥事件概率公式计算D.
【详解】设“从甲盒中摸出一个红球”为事件，“从乙盒中模出一个红球”为事件，
则，且独立.
在A中，小明得6分的概率为，A错误；
在B中，小明得分低于6分的概率为，B正确；
在中，小明得分不少于3分的概率为，C错误；
在D中，小明恰好得3分的概率为，D正确.
故选：BD
12．若定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，则
A．B．是奇函数
C．是偶函数D．在上是减函数
【答案】ABD
【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性的定义，合理的进行赋值，分别检验各选项即可判断．
【详解】解：因为定义在上的函数满足：对任意的，，都有，
所以，即，正确；
令，
则，
所以，即为奇函数，正确，错误；
设，则，
当时，，
所以，
所以，即在上单调递减，正确．
故选：．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知幂函数的图象过点，则（4） ．
【答案】1
【分析】设幂函数为常数），由图象过点，则，解得，再利用对数的运算性质即可得出．
【详解】解：设幂函数为常数），由图象过点，则，解得．
，（4）．．故答案为：1．
14．为了解某校高三学生身体状况，抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为，则全校抽取学生数为 ．
【答案】80
【分析】频率分布直方图中，先根据小矩形的面积等于这一组的频率求出四与第五组的频率和，再根据条件求出前三组的频数，再依据频率的和等于1，求出前三组的频率，从而求出抽取的男生数，最后按比例求出全校抽取学生数即可．
【详解】解：根据图可知第四与第五组的频率和为
从左到右前三个小组频率之比，第二小组频数为12
前三个小组的频数为36，从而男生有人
全校男、女生比例为，全校抽取学生数为，案为80
15．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先解出不等式，根据题中给的充要性，判断集合的包含关系，解出参数．
【详解】解：对应的集合为，
对应的集合为，，
“”是“”的必要不充分条件
，，解之得：，故答案为：．
16．某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论：
①等式对恒成立；②函数的值域为，；
③函数为的单调函数； ④若，则一定有；
⑤函数在上有三个零点．
其中正确结论的序号有 ．（请将你认为正确的结论的序号都填上）
【答案】①③④
【分析】①计算即可；
②当时，；当时，；当时，利用奇函数的性质即可得出；
③当时，利用导数可得函数在上单调递增，再利用奇函数的性质及可知：在上单调递增；
④由③函数的单调性即可判断出；
⑤当时，，利用导数的运算法则可得函数在时单调性，进而判断出在时零点的个数．利用奇函数的性质即可得出．
【详解】解：①，正确；
②当时，；当时，；当时，利用奇函数的性质可得．
综上可得：函数的值域为，因此不正确；
③当时，，可得函数在上单调递增，再利用奇函数的性质及可知：在上单调递增；因此正确；
④由③函数的单调性可知：当，则一定有，因此正确；
⑤当时，，则，函数在时单调递减，，
因此在时无零点．利用奇函数的性质可知：在时，函数也无零点．
又，函数在上有且仅有一个零点．因此不正确．
综上可知：只有①③④正确．故答案为：①③④
四、解答题（本题共6小题，共70分。）
17．已知集合，集合．
（1）求，；
（2）已知集合，若，则实数的取值范围．
【答案】（1）或，或（2），
【分析】（1）求出集合，，从而求出，进而求出，求出，由此能求出．
（2）由，列出不等式组，由此能求出实数的取值范围．
【详解】解：（1），，
又，，，
或，或，或．
（2），，．实数的取值范围是，．
18．2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，，第二组：，，第三组：，，第四组：，，第五组：，，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
【答案】（1）32.25,37.5（2）
【分析】（1）根据频率分布直方图的知识，平均数额概念，百分位数的概念计算即可求解；
（2）根据古典概型的概率公式计算即可得解．
【详解】解：（1）设这人的平均年龄为，
则（岁；
设第80百分位数为，
则，解得；
（2）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙．
则样本空间为：，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），，乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15个样本点．
设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”，
则，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9个样本点．
．
19．已知定义域为的奇函数，且时．
（1）求时的解析式；
（2）求证：在，上为增函数；
（3）解关于的不等式．
【答案】（1）（2）略（3）
【分析】（1）使用奇函数的定义可得；
（2）用单调性的定义证明；
（3）又函数的单调性可得，解这个不等式即可．
【详解】解：（1）当时，，，
因为奇函数，，时，，所以
，
（2）证明：，
，
，，，，
所以在，上为增函数；
（3）因为，，由（2）可得，
，即，解得．
20．我国流通纪念币是具有特定主题，限量发行的人民币．某流通纪念币，通过市场调查得到每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如表：
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该流通纪念币的市场价与上市时间的变化关系并说明理由：①；②；③．
（2）利用你选取的函数，求该流通纪念币市场价最低时的上市天数及最低的价格．
【答案】（1）（2）26
【分析】（1）根据函数单调性选择模型；
（2）求出函数解析式，利用二次函数的性质得出最小值．
【详解】解：（1）选取②．理由：
随着时间的增加，的值先减后增，
而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，
选取②．
（2）把点，，代入②中，
得，解得，，，
，
当时，有最小值．
故当该纪念币上市20天时，该纪念币的市场价最低，最低市场价为26元．
21．《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制定的法律．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响．若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”．已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为，．
（1）若，则在第一轮竞赛中，求该组获“优秀小组”的概率；
（2）当时，求该组在每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率的最大值．
【答案】（1），（2）
【分析】（1）根据获“优秀小组”的标准，分情况讨论甲、乙答对问题的情况，最后求出概率；
（2）根据（1）的方法列出概率表达式，然后从函数的角度利用换元法求其最值得出结论即可．
【详解】解：（1）记他们获得“优秀小组”的事件为事件，则事件包含三种情况：
①甲答对两题，乙答对一题；②甲答对一题，乙答对两题；③甲、乙都答对两题．
分别记为事件、、，事件、、互斥，又因为甲乙两人答题相互独立，
，
（2）由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为：
，
又，当且仅当时，等号成立，
，，，，令，则，
开口向下，对称轴：当时，．
22．已知函数且，为偶函数，且．
（1）求的解析式；
（2）令函数，是否存在实数，使得的最小值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），（2）存在实数，使得的最小值为
【分析】（1）由，可得，再由偶函数的定义可得，解方程可得，进而得到所求解析式；
（2）化简函数，令，的最小值就为，，的最小值．假设存在实数，使得的最小值为，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得所求值．
【详解】解：（1），，可得，
即，函数为偶函数，
恒成立，
即恒成立，
，可得，则；
（2），，
令，则，，，
的最小值就为，，的最小值．
假设存在实数，使得的最小值为，
①当即时，在，上为增函数，
，解得，，舍去．
②当即时，
在，上为减函数，在，上为增函数，
，可得，，舍去，此时．
③当，即时，在，上为减函数，
，解得，舍去．
综上，存在实数，使得的最小值为．费用（万元）年
1.2
1.4
1.6
1.8
2
户数
4
6
3
5
2
上市时间天
4
10
36
市场价元
90
51
90