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专题02 函数的基本概念与基本初等函数I-备战2024年高考之5年高考数学真题分项汇编（新高考通用）
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这是一份专题02 函数的基本概念与基本初等函数I-备战2024年高考之5年高考数学真题分项汇编（新高考通用），文件包含专题02函数的基本概念与基本初等函数I原卷版docx、专题02函数的基本概念与基本初等函数I解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
考点一 函数的值域
1．（2019•上海）下列函数中，值域为，的是
A．B．C．D．
【解析】，的值域为，故错
，的定义域为，，值域也是，，故正确．
，的值域为，故错
，的值域为，，故错．
故选：．
2．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为 ．
【解析】当时，，
当时，，
所以函数的值域为，．
故答案为：，．
3．（2022•上海）设函数满足对任意，都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，，则的取值范围为 ．
【解析】法一：令，解得（负值舍去），
当时，，
当时，，
且当时，总存在，使得，
故，
若，易得，
所以，
即实数的取值范围为；
法二：原命题等价于任意，
所以恒成立，
即恒成立，又，
所以，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
考点二 函数的图象与图象的变换
4．（2021•浙江）已知函数，，则图象为如图的函数可能是
A．B．
C．D．
【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，
因为为偶函数，为奇函数，
函数为非奇非偶函数，故选项错误；
函数为非奇非偶函数，故选项错误；
函数，则对恒成立，
则函数在上单调递增，故选项错误．
故选：．
5．（2020•浙江）函数在区间，上的图象可能是
A．B．
C．D．
【解析】，
则，
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除，，
当时，，故排除，
故选：．
6．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是
A．B．
C．D．
【解析】由函数，，
当时，可得是递减函数，图象恒过点，
函数，是递增函数，图象恒过，；
当时，可得是递增函数，图象恒过点，
函数，是递减函数，图象恒过，；
满足要求的图象为：
故选：．
考点三．复合函数的单调性
7．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，
是的增函数，
要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，即，
故实数的取值范围是，．
故选：．
8．（2020•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是
A．B．，C．D．，
【解析】由，得或．
令，
外层函数是其定义域内的增函数，
要使函数在上单调递增，
则需内层函数在上单调递增且恒大于0，
则，，，即．
的取值范围是，．
故选：．
考点四 函数的最值及其几何意义
9．（2021•新高考Ⅰ）函数的最小值为 ．
【解析】法一、函数的定义域为．
当时，，
此时函数在，上为减函数，
当时，，
则，
当，时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在上是连续函数，
当时，单调递减，当时，单调递增．
当时取得最小值为（1）．
故答案为：1．
法二、令，，
分别作出两函数的图象如图：
由图可知，（1），
则数的最小值为1．
故答案为：1．
10．（2019•浙江）已知，函数．若存在，使得，则实数的最大值是 ．
【解析】存在，使得，
即有，
化为，
可得，
即，
由，
可得，可得的最大值为．
故答案为：．
考点五 函数奇偶性的性质与判断
11．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则
A．B．0C．D．1
【解析】由，得或，
由是偶函数，
，
得，
即，
，得，
得．
故选：．
12．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数
A．B．C．D．
【解析】在上单调递减且为奇函数，符合题意；
因为在上是增函数，不符合题意；
，为非奇非偶函数，不符合题意；
故选：．
13．（2019•上海）已知，函数，存在常数，使为偶函数，则的值可能为
A．B．C．D．
【解析】由于函数，存在常数，
为偶函数，
则：，
由于函数为偶函数，
故：，
所以：，
当时．
故选：．
14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
【解析】时，；当时，；是奇函数．
故答案为：．
另解：幂函数即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，
综上所述，取即可．
15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则 ．
【解析】函数是偶函数，
为上的奇函数，
故也为上的奇函数，
所以，
所以．
法二：因为函数是偶函数，
所以，
即，
即，
即，
所以．
故答案为：1．
16．（2023•上海）已知，，函数．
（1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．
【解析】（1）若，则，
要使函数有意义，则，即的定义域为，
是奇函数，是偶函数，
函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数．
（2）若函数过点，则（1），得，得，
此时，若数与轴负半轴有两个不同交点，
即，得，当时，有两个不同的交点，
设，
则，得，得，即，
若即是方程的根，
则，即，得或，
则实数的取值范围是且且，
即，，．
考点六 奇偶性与单调性的综合
17．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则
A．B．C．（2）D．（4）
【解析】函数为偶函数，
，
为奇函数，
，
用替换上式中，得，
，，即，
故函数是以4为周期的周期函数，
为奇函数，
，即，
用替换上式中，可得，，
关于对称，
又（1），
（1）．
故选：．
18．（2020•海南）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是
A．，， B．，，
C．，，D．，，
【解析】定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：
在上单调递减，且；
故；
当时，不等式成立，
当时，不等式成立，
当或时，即或时，不等式成立，
当时，不等式等价为，
此时，此时，
当时，不等式等价为，
即，得，
综上或，
即实数的取值范围是，，，
故选：．
考点七 分段函数的应用
19．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为 ．
【解析】函数，为奇函数，，
（1），，即，求得或．
当时，，不是奇函数，故；
当时，，是奇函数，故满足条件，
综上，，
故答案为：1．
20．（2022•浙江）已知函数则 ；若当，时，，则的最大值是 ．
【解析】函数，，
；
作出函数的图象如图：
由图可知，若当，时，，则的最大值是．
故答案为：；．
考点八 抽象函数及其应用
21．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则
A．B．C．0D．1
【解析】令，则，即，
，，
，则，
的周期为6，
令，得（1）（1）（1），解得，
又，
（2）（1），
（3）（2）（1），
（4）（3）（2），
（5）（4）（3），
（6）（5）（4），
，
（1）（2）（3）（4）．
故选：．
22．【多选】（2023•新高考Ⅰ）已知函数的定义域为，，则
A．B．（1）
C．是偶函数D．为的极小值点
【解析】由，
取，可得，故正确；
取，可得（1）（1），即（1），故正确；
取，得（1），即（1），
取，得，可得是偶函数，故正确；
由上可知，（1），而函数解析式不确定，
不妨取，满足，
常数函数无极值，故错误．
故选：．
23．（2020•上海）已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质．
（1）当，判断、是否具有性质；
（2）当，，，，若具有性质，求的取值范围；
（3）当，，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．
【解析】（1）为减函数，
，
具有性质；
为增函数，
，
不具有性质；
（2）依题意，对任意，恒成立，
为增函数（不可能为常值函数），
由双勾函数的图象及性质可得，
当时，函数单调递增，满足对任意，恒成立，
综上，实数的取值范围为，．
（3）为整数集，具有性质的函数均为常值函数，
当时，取单调递减函数，两个不等式恒成立，但不为常值函数；
当为正偶数时，取，两个不等式恒成立，但不为常值函数；
当为正奇数时，根据对任意且，不等式恒成立，
可得，
则，所以为常值函数，
综上，为正奇数．
考点九 函数的周期性
24．（2019•上海）已知函数周期为1，且当时，，则 ．
【解析】因为函数周期为1，所以，
因为当时，，所以，
故答案为：．
考点十 函数恒成立问题
25．（2021•上海）已知，，若对任意的，，则有定义：是在关联的．
（1）判断和证明是否在，关联？是否有，关联？
（2）若是在关联的，在，时，，求解不等式：．
（3）证明：是关联的，且是在，关联的，当且仅当“在，是关联的”．
【解析】（1）在，关联，在，不关联，
任取，，则，，在，关联；
取，，则，，
，，在，不关联；
（2）在关联，对于任意，都有，
对任意，都有，
由，时，，得在，的值域为，，
在，的值域为，，
仅在，或，上有解，
，时，，令，解得，
，时，，令，解得，
不等式的解为，，
（3）证明：①先证明：是在关联的，且是在，关联的在，是关联的，
由已知条件可得，，
，，
又是在，关联的，
任意，成立，
若，
，
，即，
，
是，关联，
②再证明：在，是关联的是在关联的，且是在，关联的，
在，是关联的，任取，，都有，成立，
即满足，都有，
下面用反证法证明，
若，则，与在，是关联的矛盾，
若，而在，是关联的，则，矛盾，
成立，即是在关联的，
再证明是在，关联的，
任取，，则存在，使得任取，，
，
，，
，，，
是在，关联的；
综上所述，是关联的，且是在，关联的，当且仅当“在，是关联的”，
故得证．
考点十一 对数的运算性质
26．（2022•浙江）已知，，则
A．25B．5C．D．
【解析】由，，
可得，
则，
故选：．
考点十二 对数值大小的比较
27．（2022•新高考Ⅰ）设，，，则
A．B．C．D．
【解析】构造函数，，
则，，
当时，，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在处取最小值（1），
，且，
，，；
，，
，；
设，
则，
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，当时，，
当时，，单调递增，
，，，
．
故选：．
28．（2021•新高考Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
【解析】，，
．
故选：．
考点十三 反函数
29．（2021•上海）已知，则（1） ．
【解析】因为，
令，即，解得，
故（1）．
故答案为：．
30．（2020•上海）已知函数，是的反函数，则 ．
【解析】由，得，
把与互换，可得的反函数为．
故答案为：．
考点十四 函数与方程的综合运用
31．（2019•浙江）设，，函数若函数恰有3个零点，则
A．，B．，C．，D．，
【解析】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如右图：
且，
解得，，．
，
故选：．
32．（2019•上海）已知，与轴交点为，若对于图象上任意一点，在其图象上总存在另一点、异于，满足，且，则 ．
【解析】由题意，可知：
令，解得：，
点的坐标为：，．
则．
大致图象如下：
由题意，很明显、两点分别在两个分段曲线上，
不妨设点在左边曲线上，点在右边曲线上．
设直线的斜率为，则．
联立方程：，
整理，得：．
．
，
．
再将代入第一个方程，可得：
．
点的坐标为：，．
．
，
直线的斜率为，则．
同理类似求点的坐标的过程，可得：
点的坐标为：．
，及的任意性，可知：
，解得：．
故答案为：．
33．（2019•上海）已知，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在，时有零点，求的取值范围．
【解析】（1）．
当时，．
所以：转换为：，
即：，
解得：．
故：．
（2）函数在，时，有零点，
即函数在该区间上有解，
即：，
即求函数在，上的值域，
由于：在，上单调递减，
故：，，
所以：，
故：
考点十五 根据实际问题选择函数类型
34．（2020•山东）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
【解析】把，代入，可得，，
当时，，则，
两边取对数得，解得．
故选：．
35．【多选】（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则
A．B．C．D．
【解析】由题意得，，，
，，
，，
可得，正确；
，错误；
，正确；
，，正确．
故选：．
36．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小．
【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
，
所以．
（2）由题意可得，，
所以，
令，解得，
所以在，单调递减，在，单调递增，
所以的最小值在或7取得，
当时，，
当时，，
所以在时，该建筑体最小．
37．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？
【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，
则首项，公差，
，
即营业额前20季度的和为31.5亿元．
（2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，
则，
令，，
即要解，
则当时，，
令，解得：，
即当时，递减；当时，递增，
由于（1），因此的解只能在时取得，
经检验，，，
所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的．
解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，
则，
数列满足，
注意到，，，
今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的．
38．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量．
（1）若交通流量，求道路密度的取值范围；
（2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值．
【解析】（1）按实际情况而言，交通流量随着道路密度的增大而减小，
故是单调递减函数，
所以，
当时，最大为85，
于是只需令，解得，
故道路密度的取值范围为．
（2）把，代入中，
得，解得．
，
①当时，，
．
②当时，是关于的二次函数，，
对称轴为，此时有最大值，为．
综上所述，车辆密度的最大值为．
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
考点一 函数的值域
1．（2019•上海）下列函数中，值域为，的是
A．B．C．D．
【解析】，的值域为，故错
，的定义域为，，值域也是，，故正确．
，的值域为，故错
，的值域为，，故错．
故选：．
2．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为 ．
【解析】当时，，
当时，，
所以函数的值域为，．
故答案为：，．
3．（2022•上海）设函数满足对任意，都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，，则的取值范围为 ．
【解析】法一：令，解得（负值舍去），
当时，，
当时，，
且当时，总存在，使得，
故，
若，易得，
所以，
即实数的取值范围为；
法二：原命题等价于任意，
所以恒成立，
即恒成立，又，
所以，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
考点二 函数的图象与图象的变换
4．（2021•浙江）已知函数，，则图象为如图的函数可能是
A．B．
C．D．
【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，
因为为偶函数，为奇函数，
函数为非奇非偶函数，故选项错误；
函数为非奇非偶函数，故选项错误；
函数，则对恒成立，
则函数在上单调递增，故选项错误．
故选：．
5．（2020•浙江）函数在区间，上的图象可能是
A．B．
C．D．
【解析】，
则，
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除，，
当时，，故排除，
故选：．
6．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是
A．B．
C．D．
【解析】由函数，，
当时，可得是递减函数，图象恒过点，
函数，是递增函数，图象恒过，；
当时，可得是递增函数，图象恒过点，
函数，是递减函数，图象恒过，；
满足要求的图象为：
故选：．
考点三．复合函数的单调性
7．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，
是的增函数，
要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，即，
故实数的取值范围是，．
故选：．
8．（2020•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是
A．B．，C．D．，
【解析】由，得或．
令，
外层函数是其定义域内的增函数，
要使函数在上单调递增，
则需内层函数在上单调递增且恒大于0，
则，，，即．
的取值范围是，．
故选：．
考点四 函数的最值及其几何意义
9．（2021•新高考Ⅰ）函数的最小值为 ．
【解析】法一、函数的定义域为．
当时，，
此时函数在，上为减函数，
当时，，
则，
当，时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在上是连续函数，
当时，单调递减，当时，单调递增．
当时取得最小值为（1）．
故答案为：1．
法二、令，，
分别作出两函数的图象如图：
由图可知，（1），
则数的最小值为1．
故答案为：1．
10．（2019•浙江）已知，函数．若存在，使得，则实数的最大值是 ．
【解析】存在，使得，
即有，
化为，
可得，
即，
由，
可得，可得的最大值为．
故答案为：．
考点五 函数奇偶性的性质与判断
11．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则
A．B．0C．D．1
【解析】由，得或，
由是偶函数，
，
得，
即，
，得，
得．
故选：．
12．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数
A．B．C．D．
【解析】在上单调递减且为奇函数，符合题意；
因为在上是增函数，不符合题意；
，为非奇非偶函数，不符合题意；
故选：．
13．（2019•上海）已知，函数，存在常数，使为偶函数，则的值可能为
A．B．C．D．
【解析】由于函数，存在常数，
为偶函数，
则：，
由于函数为偶函数，
故：，
所以：，
当时．
故选：．
14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
【解析】时，；当时，；是奇函数．
故答案为：．
另解：幂函数即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，
综上所述，取即可．
15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则 ．
【解析】函数是偶函数，
为上的奇函数，
故也为上的奇函数，
所以，
所以．
法二：因为函数是偶函数，
所以，
即，
即，
即，
所以．
故答案为：1．
16．（2023•上海）已知，，函数．
（1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．
【解析】（1）若，则，
要使函数有意义，则，即的定义域为，
是奇函数，是偶函数，
函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数．
（2）若函数过点，则（1），得，得，
此时，若数与轴负半轴有两个不同交点，
即，得，当时，有两个不同的交点，
设，
则，得，得，即，
若即是方程的根，
则，即，得或，
则实数的取值范围是且且，
即，，．
考点六 奇偶性与单调性的综合
17．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则
A．B．C．（2）D．（4）
【解析】函数为偶函数，
，
为奇函数，
，
用替换上式中，得，
，，即，
故函数是以4为周期的周期函数，
为奇函数，
，即，
用替换上式中，可得，，
关于对称，
又（1），
（1）．
故选：．
18．（2020•海南）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是
A．，， B．，，
C．，，D．，，
【解析】定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：
在上单调递减，且；
故；
当时，不等式成立，
当时，不等式成立，
当或时，即或时，不等式成立，
当时，不等式等价为，
此时，此时，
当时，不等式等价为，
即，得，
综上或，
即实数的取值范围是，，，
故选：．
考点七 分段函数的应用
19．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为 ．
【解析】函数，为奇函数，，
（1），，即，求得或．
当时，，不是奇函数，故；
当时，，是奇函数，故满足条件，
综上，，
故答案为：1．
20．（2022•浙江）已知函数则 ；若当，时，，则的最大值是 ．
【解析】函数，，
；
作出函数的图象如图：
由图可知，若当，时，，则的最大值是．
故答案为：；．
考点八 抽象函数及其应用
21．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则
A．B．C．0D．1
【解析】令，则，即，
，，
，则，
的周期为6，
令，得（1）（1）（1），解得，
又，
（2）（1），
（3）（2）（1），
（4）（3）（2），
（5）（4）（3），
（6）（5）（4），
，
（1）（2）（3）（4）．
故选：．
22．【多选】（2023•新高考Ⅰ）已知函数的定义域为，，则
A．B．（1）
C．是偶函数D．为的极小值点
【解析】由，
取，可得，故正确；
取，可得（1）（1），即（1），故正确；
取，得（1），即（1），
取，得，可得是偶函数，故正确；
由上可知，（1），而函数解析式不确定，
不妨取，满足，
常数函数无极值，故错误．
故选：．
23．（2020•上海）已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质．
（1）当，判断、是否具有性质；
（2）当，，，，若具有性质，求的取值范围；
（3）当，，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．
【解析】（1）为减函数，
，
具有性质；
为增函数，
，
不具有性质；
（2）依题意，对任意，恒成立，
为增函数（不可能为常值函数），
由双勾函数的图象及性质可得，
当时，函数单调递增，满足对任意，恒成立，
综上，实数的取值范围为，．
（3）为整数集，具有性质的函数均为常值函数，
当时，取单调递减函数，两个不等式恒成立，但不为常值函数；
当为正偶数时，取，两个不等式恒成立，但不为常值函数；
当为正奇数时，根据对任意且，不等式恒成立，
可得，
则，所以为常值函数，
综上，为正奇数．
考点九 函数的周期性
24．（2019•上海）已知函数周期为1，且当时，，则 ．
【解析】因为函数周期为1，所以，
因为当时，，所以，
故答案为：．
考点十 函数恒成立问题
25．（2021•上海）已知，，若对任意的，，则有定义：是在关联的．
（1）判断和证明是否在，关联？是否有，关联？
（2）若是在关联的，在，时，，求解不等式：．
（3）证明：是关联的，且是在，关联的，当且仅当“在，是关联的”．
【解析】（1）在，关联，在，不关联，
任取，，则，，在，关联；
取，，则，，
，，在，不关联；
（2）在关联，对于任意，都有，
对任意，都有，
由，时，，得在，的值域为，，
在，的值域为，，
仅在，或，上有解，
，时，，令，解得，
，时，，令，解得，
不等式的解为，，
（3）证明：①先证明：是在关联的，且是在，关联的在，是关联的，
由已知条件可得，，
，，
又是在，关联的，
任意，成立，
若，
，
，即，
，
是，关联，
②再证明：在，是关联的是在关联的，且是在，关联的，
在，是关联的，任取，，都有，成立，
即满足，都有，
下面用反证法证明，
若，则，与在，是关联的矛盾，
若，而在，是关联的，则，矛盾，
成立，即是在关联的，
再证明是在，关联的，
任取，，则存在，使得任取，，
，
，，
，，，
是在，关联的；
综上所述，是关联的，且是在，关联的，当且仅当“在，是关联的”，
故得证．
考点十一 对数的运算性质
26．（2022•浙江）已知，，则
A．25B．5C．D．
【解析】由，，
可得，
则，
故选：．
考点十二 对数值大小的比较
27．（2022•新高考Ⅰ）设，，，则
A．B．C．D．
【解析】构造函数，，
则，，
当时，，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在处取最小值（1），
，且，
，，；
，，
，；
设，
则，
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，当时，，
当时，，单调递增，
，，，
．
故选：．
28．（2021•新高考Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
【解析】，，
．
故选：．
考点十三 反函数
29．（2021•上海）已知，则（1） ．
【解析】因为，
令，即，解得，
故（1）．
故答案为：．
30．（2020•上海）已知函数，是的反函数，则 ．
【解析】由，得，
把与互换，可得的反函数为．
故答案为：．
考点十四 函数与方程的综合运用
31．（2019•浙江）设，，函数若函数恰有3个零点，则
A．，B．，C．，D．，
【解析】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如右图：
且，
解得，，．
，
故选：．
32．（2019•上海）已知，与轴交点为，若对于图象上任意一点，在其图象上总存在另一点、异于，满足，且，则 ．
【解析】由题意，可知：
令，解得：，
点的坐标为：，．
则．
大致图象如下：
由题意，很明显、两点分别在两个分段曲线上，
不妨设点在左边曲线上，点在右边曲线上．
设直线的斜率为，则．
联立方程：，
整理，得：．
．
，
．
再将代入第一个方程，可得：
．
点的坐标为：，．
．
，
直线的斜率为，则．
同理类似求点的坐标的过程，可得：
点的坐标为：．
，及的任意性，可知：
，解得：．
故答案为：．
33．（2019•上海）已知，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在，时有零点，求的取值范围．
【解析】（1）．
当时，．
所以：转换为：，
即：，
解得：．
故：．
（2）函数在，时，有零点，
即函数在该区间上有解，
即：，
即求函数在，上的值域，
由于：在，上单调递减，
故：，，
所以：，
故：
考点十五 根据实际问题选择函数类型
34．（2020•山东）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
【解析】把，代入，可得，，
当时，，则，
两边取对数得，解得．
故选：．
35．【多选】（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则
A．B．C．D．
【解析】由题意得，，，
，，
，，
可得，正确；
，错误；
，正确；
，，正确．
故选：．
36．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小．
【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
，
所以．
（2）由题意可得，，
所以，
令，解得，
所以在，单调递减，在，单调递增，
所以的最小值在或7取得，
当时，，
当时，，
所以在时，该建筑体最小．
37．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？
【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，
则首项，公差，
，
即营业额前20季度的和为31.5亿元．
（2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，
则，
令，，
即要解，
则当时，，
令，解得：，
即当时，递减；当时，递增，
由于（1），因此的解只能在时取得，
经检验，，，
所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的．
解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，
则，
数列满足，
注意到，，，
今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的．
38．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量．
（1）若交通流量，求道路密度的取值范围；
（2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值．
【解析】（1）按实际情况而言，交通流量随着道路密度的增大而减小，
故是单调递减函数，
所以，
当时，最大为85，
于是只需令，解得，
故道路密度的取值范围为．
（2）把，代入中，
得，解得．
，
①当时，，
．
②当时，是关于的二次函数，，
对称轴为，此时有最大值，为．
综上所述，车辆密度的最大值为．
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
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