专题02 三角形压轴题真题分类-2022-2023学年八年级数学上册重难点题型期末复习热点题型（人教版）

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中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：与内角外角平分线有关的压轴题、与8字模型有关的压轴题、与燕尾模型有关的压轴题、与动角有关的压轴题。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一：与内角外角平分线有关的压轴题
1.（上海）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．
（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________．
（3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数．
【详解】（1）如图边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为
∴，又∵，∴，∵在四边形中，内角和为
∴．
（2）∵和分别平分和，∴ ，
又∵，∴，∴ ∴＝20°．
（3）法一：如图：连接AC
∵，，∴ ，
∴，又∵和分别平分和，∴，∴， ∴．
2．∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．
(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．
(2)如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ °；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
【详解】（1）∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴∠IBA＝∠ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，∴∠AIB＝180°﹣(∠IBA+∠IAB)＝135°．
（2）①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，∵∠CBA＝∠D+∠BAD，∴∠D＝45°，故答案为：45．
②不变，理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝(∠MBA﹣∠BAO)＝∠AOB＝×90°＝45°，∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
3．（江苏）直线与直线垂直相交于点O，点A在直线上运动，点B在直线上运动．
（1）如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．
（2）如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的度数．
（3）如图3，延长至G，已知的角平分线与的角平分线及反向延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，则的度数为____（直接写答案）
【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠CED =67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．
∴∠ABO为60°或45°．
4．已知△ABC在平面直角坐标系内，满足：点A在y轴正半轴上移动，点B在x轴负半轴上移动，点C为y轴右侧一动点．
（1）若点A（0，a）和点B（b，0）坐标恰好满足：（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，直接写出a、b的值．
（2）如图①，当点C在第四象限时，若AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将∠ABC三等分，在A、B、C的运动过程中，试求出∠C和∠M的大小．
探究：
（1）如图②，当点C在第四象限时，若AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，在A、B、C的运动过程中，∠C和∠M是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）如图③，当点C在第一象限时，且在（1）中的条件不变的前提下，∠C和∠M又有何数量关系？证明你的结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，又∵（a﹣2）2≥0，|a+b+1|≥0，
∴解得．
（2）如图①中，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，MA平分∠BAO，MB平分∠ABO，∴∠MAB+∠MBA＝∠BAO+∠ABO＝×90°＝45°，∴∠M＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°．∵AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将∠ABC三等分，∴∠CAB+∠CBA＝3（∠MAB+∠MBA）＝135°，∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝45°．
探究：（1）如图②中，结论：2∠M﹣∠C＝90°．
理由：∵AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，∴可以假设∠CAM＝∠MAO＝x，∠CBM＝∠MBO＝y，
∵∠AOB＝∠M+∠MAO+∠MBO，∠AOB＝∠C+∠CAO+∠CBO，∴90°＝x+y+∠M①，90°＝2x+2y+∠C②，∴①×2﹣②可得：2∠M﹣∠C＝90°．
（2）如图③中，结论：2∠M﹣∠C＝90°．
理由：∵AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，∴可以假设∠CAM＝∠MAO＝x，∠CBM＝∠MBO＝y，
∵∠AOB+∠OBM＝∠M+∠MAO，∠AOB+∠OBC＝∠C+∠CAO，∴90°+y＝x+∠M①，
90°+2y＝2x+∠C②，∴①×2﹣②可得：2∠M﹣∠C＝90°．
题型二：与8字模型有关的压轴题
5．（江苏）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【详解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①，∠B+∠4＝∠P+∠2②，
①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠P＝∠D+∠B．
6．（四川）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；
①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．
（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证明．
【详解】解：（1）∵∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，∠C＋∠D＋∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D；
（2）①设∠ABP＝∠CBP＝x，∠ADP＝∠CDP＝y，则有x＋∠A＝y＋∠P，x＋∠P＝y＋∠C，
∴∠P−∠A＝∠C−∠P，∴∠P＝（∠A＋∠C）＝（28°＋36°）＝32°；
②设∠ABP＝∠CBP＝x，∠ADP＝∠CDP＝y，则有x＋∠A＝y＋∠P，x＋∠P＝y＋∠C，
∴∠P−∠A＝∠C−∠P，∴∠P＝（∠A＋∠C）；
（3）延长AB交PD于点M，
∵∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，∴设∠CBQ=x，∠EDP=y，则∠ABC=4x，∠ADE=4y，
由（1）可知：∠A+4x=∠C+180°-4y ①，∵∠AMP=∠A+∠ADP=∠A+3y，∠AMD=∠P+∠MBP=∠P+3x，
∴∠A+3y+∠P+3x=180°②，∴联立①②得：∠A+3∠C+4∠P=180°．
7．（江苏）已知：线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD．
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
(2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝44°，则∠P的度数= °；
(3)如图3，∠BAD和∠BCD的三等分线AP和CP相交于点P，，，试探究∠B、∠D、∠P三者之间存在的数量关系，并说明理由．
(4)如图4，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系，直接写出结论，不需要说明理由．
【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠DOC=180°，而∠AOB=∠DOC，∴∠A+∠B=∠D+∠C；
故答案为：∠A+∠B=∠D+∠C
（2）∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠B=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠D，∴∠B-∠P=∠P-∠D，即∠P=（∠D+∠B）．∵∠B=36°，∠D=44°，∴∠P=40°；
故答案为：40°
（3）2∠B+∠D=3∠P，理由如下：∵，∴∠BAD=3∠2，∠BCD=3∠4，
∴∠1=2∠2，∠3=2∠4，由（1）中结论得：∠1+∠B=∠3+∠P①，∠4+∠D=∠2+∠P②，
①+②×2，得：∠B+2∠D=3∠P．
（4）2∠P=∠B+∠D．理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，∴∠ECP=∠PCB，∠FAG=∠GAD，
∵∠PAB=∠FAG，∴∠GAD=∠PAB，∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD=∠B+∠PCB，
∵∠P+∠PAD=∠D+∠PCD，∴∠P+（180°-∠GAD）=∠D+（180°-∠ECP），∴2∠P=∠B+∠D．
6．如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N．试解答下列问题：
(1)在图①中，写出一个关于∠A、∠B、∠C、∠D的关系的等式 ．
(2)在图②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数；
(3)在图②中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C，∠B之间存在着怎样的数量关系（用α，β表示∠P），并说明理由；
(4)如图③，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为 ．
【解答】解：（1）解：结论：∠A+∠C=∠B+∠D．理由：如图中，
∠A+∠C+∠AOC =∠B+∠D+∠DOB=180°，∵∠AOC=∠DOB，∴∠A+∠C=∠B+∠D．
故答案为：∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=（∠C+∠B），
∵∠C=100°，∠B=96°，∴∠P=（100°+96°）=98°；
（3）解：结论：∠P=（β+2α）．理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，∴∠BAP=∠BAC，∠BDP=∠BDC，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=∠BDC-∠BAC，∠P-∠B=∠BDC-∠BAC，∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，
∴∠P=（∠B+2∠C），∵∠C=α，∠B=β， ∴∠P=（β+2α）；
（4）解：∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
8．（江苏）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：
(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
【解答】解：（1）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=∠1+∠4，
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．
（2），理由如下：
①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．
由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，
∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，
∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，
∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴．
②，理由如下：
如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，由题干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥
在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦
⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴；
③，理由如下：如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，
∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，
∴．
题型三：与燕尾模型有关的压轴题
9．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：
（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？
分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ ；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．
【详解】解：（1）如图（4），
由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，
∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案为：180°；
（2）如图（5），
由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．
10．（山西晋中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．
（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？
任务：
(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；
(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；
(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．
【详解】解：（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）
（2）证明：连接 CD 并延长至 F，
∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，
∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ；
（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，
∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，
∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠ C），
解得：∠C=70°．
11．（江苏）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°；
②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-21°=99°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°）=142°；
④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，联立得：∠B-∠C+2∠D=0．
12．（福建）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．
探究：
（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
应用：
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；
②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，
，求的度数；
拓展：
（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度．
【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E
∵ 又∵
∴
（2）①由（1）可知，∵，，∴；
②由（1）可知，∵，，
∴，平分 ，CF平分，
，
（3）由（1）可知，∵，，
∴，∵，分别是、的2020等分线（），∴，
∴。
题型四：与动角有关的压轴题
13．（江苏泰州）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G．
（1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数；
（2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）；
（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF的度数（用含有a的代数式表示）

【详解】（1）∵EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，∴∠MEF＝∠CEF，∠EFG＝∠AFE，
∵∠EGF＝∠MEF﹣∠EFG，∴∠EGF＝∠CEF﹣∠AFE＝（∠CEF﹣∠AFE）＝∠COF，
而∠AOC＝α＝60°，∴∠COF＝180°﹣60°＝120°，∴∠EGF＝60°；
（2）∵∠CEF﹣∠AFE＝∠COF＝180°﹣α，∴∠CEF＝180°﹣α+∠AFE，∵∠MEF＝m∠CEF，
∴∠MEF＝m（180°﹣α+∠AFE），∵∠EGF＝∠MEF﹣∠NFE，
∴∠EGF＝m（180°﹣α+∠AFE）﹣（1﹣2m）∠AFE＝m（180°﹣α）+（3m﹣1）∠AFE，
∵∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，∴3m﹣1＝0，即m＝，∴∠EGF＝（180°﹣α）＝60°﹣α；
（3）∵∠BOC＝∠CEF+∠AFE＝180°﹣α，∴∠CEF＝180°﹣α﹣∠AFE，∴∠MEF＝m∠CEF＝m（180°﹣α﹣∠AFE），而∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，
∴∠EGF＝180°﹣∠MEF﹣∠NFE＝180°﹣m（180°﹣α﹣∠AFE）﹣（1﹣2m）∠AFE＝180°﹣m（180°﹣α）+（3m﹣1）∠AFE，∵∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，∴3m﹣1＝0，即m＝，
∴∠EGF＝180°﹣（180°﹣α）＝120°+α．
14．如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：
（1）如图2，当________时，；当______时，；
（2）如图③，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点M、N时；
①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得，求出、的度数，并直接写出此时的度数；
③若使得，求的度数范围．
【详解】解：（1），当时，，而，
，解得；当时，，此时，
，解得；
（2）①与度数的和不变．连接，如图3，在中，，
，在中，，
即，；
②根据题意得，解得；，即，
；
③，，，，，
即，，，解得，的度数范围为．
15．（河南郑州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，三角板OMN的直角顶点与O重台，∠MON=90°，直角三角形板MON绕点O旋转使边OM交AC于点D，边ON交BC于点E（D、E不与A、B重合），连接DE．
(1)如图①，当CA=CB=4时，
①请直接写出DE的取值范围：
②判断△DOE的形状并说明理由；
③判断四边形ODCB的面积在旋转的过程中是否变化，若不变，求出该四边形的面积；若变化，请说明变化的范围；
(2)如图②，判断并说明线段AD，DE和BE的数量关系．
解：①∵CA=CB=4，∴，当OD⊥AC时，DE有最小值，∵∠A=45°，，
∴，∴，∴，∵O是AB边上的中点，
∴，∴OD＝AD=2，∴，∴OD=CD=2，∵，
∴此时∠OEC=∠OEB=90°，∵∠B=45°，∴∠BOE=90°-45°=45°，∴OE=BE，∵OB=，
∴OE=BE=2，∴CE=CB-BE=2，∴，∵D、E不与A、B重合，
∴DE的取值范围是；
②△ODE是等腰直角三角形，理由：连接OC，
在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE＝45°，OC＝OA＝OB，∠COA＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠AOD＝∠COE，∵在△AOD与△COE中，
∴△AOD≌△COE（ASA），∴OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形；
③在旋转过程中，四边形ODCE的面积不发生变化，∵△AOD≌△COE，∴，
∵AC＝BC＝4，∴，∴AO＝OC＝AB=，∴，
（2）解：延长DO至F，使OF＝OD，连接BF，EF，
∵O为AB的中点，∴OA＝OB，∵∠AOD＝∠BOF，∴△AOD≌△BOF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝∠OBF，
∵∠A＋∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°，∴BE2＋BF2＝EF2，∵OE⊥OD，OD＝OF，∴DE＝EF，
∴BE2＋BF2＝DE2，∴BE2＋AD2＝DE2．
16.（辽宁大连）已知：△ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM与直线AB交于点E．过点A作AF∥CE，AF与BC所在的直线交于点F．
（1）如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明∠ABD＝∠CAF；
（2）若∠BAC＝80°，∠BMC＝120°．
①如图2，当点M在△ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；
②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数量关系．
【详解】（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD+∠BAC= 90° ， ∠ACE+∠BAC= 90° ，
∴∠ABD=∠ACE，又∵AF∥CE，∴∠ACE=∠CAF，∴∠ABD=∠CAF.
(2)①∠ABD+∠CAF=40°，理由为：∵∠BMC是△MDC的外角，∴∠BMC=∠MDC+∠MCD，
∵∠MDC是△ABD的外角，∴∠MDC=∠BAC+∠ABD，∵AF∥CE，∴∠MCD=∠CAF，
∴∠BMC=∠BAC+∠ABD+∠CAF，∵∠BAC＝80°，∠BMC＝120°，∴120°=80°+∠ABD+∠CAF，∴∠ABD+∠CAF=40°.
②补全图形见下图，∠CAF-∠ABD= 40°
∵∠BEC是△AEC的外角，∴∠BEC=∠BAC+∠ACE，∵∠BEC是△BME的外角，
∴∠BEC=∠BME+∠ABD，∴∠BAC+∠ACE=∠BME+∠ABD，∵AF∥CE，∴∠ACE=∠CAF，
∴∠BAC+∠CAF=∠BMC+∠ABD，∵∠BAC＝80°，∠BMC＝120°，∴80°+∠CAF=120°+∠ABD，
∴∠CAF-∠ABD= 40°