专题11 整式的乘法与因式分解压轴题真题分类-2022-2023学年八年级数学上册重难点题型期末复习热点题型（人教版）

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名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：幂的运算的压轴题、整式乘法的压轴题、与平方差公式完全平方公式相关的的压轴题、配方法的压轴题、因式分解的压轴题。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生冲刺高分刷题时使用。
题型一：幂的运算的压轴题
1．（2021春•岳麓区）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝ ，D（16）＝ ．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．
2．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：
（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．
②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．
根据材料回答：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）求（2+i）2的共轭复数；
（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．
3．（雨花区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．
例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：
设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，
故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15，
则 （3，15）＝m+n，
即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝ ； （5，1）＝ ； （3，27）＝ ．
（2）计算 （5，2）+（5，7）＝ ，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．
题型二：整式乘法的压轴题
4．（2021•天心区开学）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊙（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）⊙（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（3，﹣5）⊙（4，﹣2）＝ ；
（2）当满足等式（﹣2，3x﹣1）⊙（k，x+k）＝5+k的x是整数时，求正整数k的值；
（3）若（s+2t，2s+t）⊙（x，﹣y）＝2t﹣s对于任意有理数s，t均成立，求x+y的值．
5．（2020秋•开福区月考）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结她发现：一次项系数就是：×5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为 ．
（2）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式不含一次项，求a的值．
（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝ ．
6．（2014秋•雨花区校级月考）你能求（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗？
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．分别计算下列各式的值：
（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（2）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（3）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
由此我们可以得到：
（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝ ；
请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
（1）299+298+297+…+2+1；
（2）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1．
题型三：与平方差公式、完全平方公式相关的的压轴题
7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？
8．一个正整数m能写成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均为正整数，且a≠b），则称m为“美满数”，a、b为m的一个完美变形，在m的所有完美变形中，若a2+b2最大，则称a、b为m的最佳完美变形，此时F（m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12为“完美数”，4和2为12的一个完美变形，32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因为92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美变形，所以F（32）＝130．
（1）8 （填“是”或“不是”）完美数；
10 （填“是”或“不是”）完美数；
13 （填“是”或“不是”）完美数；
（2）求F（48）；
（3）若一个两位数n的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能被8整除，求F（n）的最小值．
9．（2018秋•天心区校级期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ ．
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．
题型四：配方法的压轴题
10．（2020秋•长沙县校级月考）阅读下面文字内容并解决问题：
对于形如x2+2ax+a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成（x+a）2的形式．但x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3），对于二次三项式x2+4x﹣5就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以填上一项4，使它与x2+4x构成一个完全平方式、然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即＝（x+5）（x﹣1）．
像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
请用配方法来解下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2﹣6x+5；
（2）已知：x2+y2﹣8x+12y+52＝0，求（x+y）2的值；
（3）求x2+8x+7的最小值．
11．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a＝0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．
（1）当x＝ 时，代数式2（x﹣1）2+3有最 （填写大或小）值为 ．
（2）当x＝ 时，代数式﹣x2+4x+3有最 （填写大或小）值为 ．
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
12．（2021秋•天心区校级月考）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
13．（2021秋•开福区校级期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值
解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020
＝（x﹣6）2+1984
∵（x﹣6）2≥0，
∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，最小值为0，
∴（x﹣6）2+1984≥1984，
∴当（x﹣6）2＝0时，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值为1984，
∴代数式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．
例如：分解因式：x2﹣120x+3456
解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）．
（1）分解因式x2﹣46x+520；
（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；
（3）当m，n为何值时，代数式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出这个最小值．
14．（雨花区校级月考）对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣6a+8；
（2）若x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求xy的值．
题型五：因式分解的压轴题
15.阅读，已知，ab=3，求的值。
解：因为已知，ab=3，
所以
请你根据上述解题思路解答下列问题：
已知，，求的值；
已知，，求的值。
16．先阅读下列材料，然后回答后面问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有
四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分
法等．
如“”分法：
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
（3）分解因式：．
17．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
（3）分解因式：．
18．（2019秋•雨花区校级月考）“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）．
例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．
解：如图1，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×2+1×（﹣4）．
∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y）
而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）；
例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2
解：如图3，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；
而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；
∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：
①6x2﹣17xy+12y2＝
②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12＝
③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y＝
（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
19．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
1．知识运用：
试用“分组分解法”分解因式：；
2．解决问题：
（1）已知，，为的三边，且，试判断的形状．
（2）已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立．
①当时，求的值；
②当时，用含有的代数式分别表示，，（直接写出答案即可）．
20．（2017秋•岳麓区校级期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
（1）因式分解：9+6（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方．
21．（2021秋•长沙县期末）方法探究：
已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式中有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多项式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝ 代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；
（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断多项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；
（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．