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专题突破卷13 解三角形的图形归类（含中线、角平分线、高）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）
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这是一份专题突破卷13 解三角形的图形归类（含中线、角平分线、高）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用），文件包含专题突破卷13解三角形的图形归类含中线角平分线高原卷版docx、专题突破卷13解三角形的图形归类含中线角平分线高解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共97页， 欢迎下载使用。
1.四边形问题
1．如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.
(1)求的大小；
(2)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在合题意
【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式，求得的值，得的大小；
（2）设，利用正弦定理得关于的代数式，解出，利用三角形面积公式，求出的值.
【详解】（1）在中，由余弦定理，，
因为，所以，
即，又因为，所以.
（2）设，则，，，
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
两式作商，得，
即，因为，所以，，
，，
假设，所以，
解得.
【点睛】设，由题目中角的条件，及，考虑在两个三角形中利用正弦定理建立关系式进行计算.
2．如图所示，在平面四边形ABCD中，，，，，．
(1)求BD的长；
(2)若AC与BD交于点O，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理在中求解，进而根据和差角公式可得，即可由余弦定理求解，
（2）根据三角形边角关系，结合余弦定理和和差角公式即可求解，利用面积公式即可求解.
【详解】（1）由题意，在中，，，，
由余弦定理得，，
所以，
在中，，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可知，
所以．
（2）由（1）可知，又因为，所以为等边三角形，
所以，，
在中，，所以，
在中，，
故，
所以，
所以，
在中，由正弦定理可知，即，解得，
所以．
3．（ 2023·北京大兴·统考三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.
(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据勾股定理可得，结合再根据面积公式求解即可；
（2）根据等腰三角形性质可得，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得，然后根据，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.
【详解】（1）∵，，
，，;
（2），，，则.
，，
，，
又，在中，
，
由正弦定理可知，，
.
4．如图，四边形ABCD的内角，，，，且．
(1)求角B；
(2)若点是线段上的一点，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，在、分别利用余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用正弦定理可求得，利用勾股定理求出，即可求得的长.
【详解】（1）设，
在中由余弦定理得，即①，
又在中由余弦定理得，即②，
因为，则，
联立①②可得（负值舍去），，因为，所以．
（2）在中，由正弦定理知，，
所以，
又，故，
在直角三角形中，由勾股定理知，，
此时．
5．如图，四边形是由与正拼接而成，设，.
(1)当时，设，求，的值；
(2)当时，求线段的长.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意根据正弦定理可得的长，由和正可求得，再根据平面向量线性运算，，进而得出，的值.
（2）根据正弦定理和余弦定理可求出的长，进而得出，，利用余弦和差化积得到，再根据余弦定理得出的长.
【详解】（1）在中，由，
可知.
由于，，，
，，，.
（2）在中，，
所以，，
.
6．某市准备规划一条平面示意图如图所示的五边形赛道，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，．
(1)求服务通道的长度；
(2)若，求赛道的长度．
【答案】(1)5
(2)km
【分析】（1）连接，在中，由余弦定理可得的值，由，可得，求出，再利用勾股定理可求的值．
（2）根据余弦定理即可求解.
【详解】（1）连接，∵，，，
在中，由余弦定理，
可得，
，
，，
又，，
在中，．
（2）在中，,
化简得,因为,所以.
2.四边形的最值问题
7．如图，在梯形中，，，．
(1)求CD；
(2)平面内点P在直线CD的上方，且满足，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，在与中分别利用余弦定理得到关于的方程，解得即可；
（2）首先求出，即可得到，再利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）∵，，∴，
在中，记，
由余弦定理得，
在中，，
由得，
即，
解得或，
∵与梯形矛盾，舍去，又，
∴，即．
（2）由（1）知，
故，，
故，
在中，，
∵，（当且仅当时，等号成立）．
∴，
故当时，取得最大值．
8．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（区域）进行分区改造.区域为蔬菜种植区，区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，区域规划为学生自主栽培区.的周围将筑起护栏.已知，，，.
(1)若，求护栏的长度（的周长）；
(2)学生自主栽培区的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.
【答案】(1)
(2)有，
【分析】（1）利用余弦定理证得，从而判断得是正三角形，由此得解；
（2）在与中，利用正弦定理求得与关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到关于的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.
【详解】（1）依题意，在中，，，，
所以，则，，即，
所以，又，故，
所以是正三角形，则，，
所以护栏的长度（的周长）为.
（2）学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下：
设()，
在中，，则，
由正弦定理得，得，
在中，，
由正弦定理得，得，
所以
，
所以当且仅当，即时，的面积取得最小值为﹒
9．在平面四边形中；；，
(1)若四边形为圆内接四边形；求；
(2)求四边形面积最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在和中，均利用余弦定理表示出，可得，再由，解出的值，代入运算，得解；
（2）由（1）知，①，利用三角形面积公式，可得四边形的面积②，由①②，并结合三角恒等变换公式，求得的最大值，得解．
【详解】（1）连接，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
所以，即，
又四边形为圆内接四边形，所以，即，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）知，，
所以①，
因为的面积，
的面积，
所以四边形的面积②，
由①②分别平方相加可得
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，
故四边形面积最大值为．
10．在圆的内接四边形中，，，，示意如图．
(1)若是圆的直径，求的长；
(2)若圆的直径为，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）连接，利用圆的性质、直角三角形边角关系，结合差角的余弦公式求解作答.
（2）连接，利用正弦定理、余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解作答.
【详解】（1）连接，设，则，因为是圆O的直径，
则与为直角三角形，有，
又，，即，整理得，
所以.
（2）
连接，因为圆O的直径为，则在中，由正弦定理得，，
在中，由余弦定理得，
设，则，即，解得，
设，同理在中有，，解得，
因此四边形的面积
，
所以四边形的面积为或.
【点睛】思路点睛：涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
11．（ 2023·云南保山·统考二模）如图，在平面四边形中，，，.
(1)当四边形内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可；
（2）将四边形的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以.
又四边形内接于圆，
所以，
所以，
化简可得，又，
所以.
（2）设四边形的面积为S，
则，
又，
所以，即
平方后相加得，即，
又，
所以时，有最大值，即S有最大值.
此时，，代入得.
又，所以
在中，可得：
，即.
所以，对角线的长为.
12．如图，在平面四边形ABCD中，AC=4，BC⊥CD.
(1)若AB=3，BC=2，CD=5，求的面积；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先用余弦定理求出 ，再利用面积公式求解；
（2）设，运用正弦定理分别表示出 ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
所以的面积；
（2）设， ，则，．
在中，由正弦定理可得，则，
在 中，由正弦定理可得，则，
所以，
当时，取得最大值；
综上，的面积为 ，的最大值.
3.外接圆问题
13．在圆O的内接四边形ABCD中，，，，．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形ABCD的面积为B．圆O的半径为
C．D．若于点H，则
【答案】ACD
【分析】对于A，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理和面积公式进行判断；对于B，利用正弦定理求出该外接圆的直径；对于C，利用数量积公式求解判断；对于D，利用数量积公式求解判断．
【详解】对于A，连接，在中，，，
，，解得，
，，，
，
，
四边形的面积，故A正确；
对于B，设外接圆半径为，则由正弦定理得，
该外接圆的半径为，故B错误；
对于C，过点作于点，过点作于点，
所以，,
则由垂径定理得，
，，
解得，，，，
,，故C正确；
对于D，由C选项得，，
,故D正确．
故选：ACD．
14．如图，已知圆O内接四边形ABCD中，，则下列说法正确的是（ ）.
A．B．四边形ABCD的面积为8
C．该外接圆的直径为D．
【答案】ABD
【分析】A，连接BD，设，由结合余弦定理可得，即可得；B，由A分析结合面积公式可判断选项正误；C，由正弦定理可判断选项正误；D，注意到，后由数量积几何意义可判断选项正误.
【详解】A选项，连接BD，设，由题可得，则.则由余弦定理：，则，故A正确；
B选项，四边形ABCD的面积，故B正确.
C选项，注意到三角形BCD外接圆为圆O，则由正弦定理，外接圆直径为，故C错误；
D选项，，取BD，BC中点为F，G，由垂径定理结合向量数量积几何意义可知，故D正确.
故选：ABD
15．平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．
(1)当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记与的面积分别为和，请求出的最大值．
【答案】(1)为定值，定值为1
(2)14
【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；法二：在中由余弦定理得
，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；
（2）由面积公式可得，令转化为二次函数配方求最值即可．
【详解】（1）法一：在中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在中，，
即②，
①②得，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
法二：在中，由余弦定理
得，即，
同理，在中，，
所以，
化简得，即，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
（2）
，
令，
所以，
所以，即时，
有最大值为14．
16．已知平面四边形中，，，，，且四边形有外接圆．
(1)求角的大小；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，在和中，分别利用余弦定理结合求解；
（2）在中，利用正弦定理得到，再结合求解.
【详解】（1）解：如图所示：
∵四边形有外接圆E，∴．连接，
在中，由余弦定理可得
①，
在中，由余弦定理可得②，
由①②可得．
∵，
∴．
（2）在中，由正弦定理可得，
即．
由（1）可知，
∴，
，
∴，
∴.
17．如图，已知为的直径，点、在上，，垂足为，交于，且．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）连接，由已知条件推导出，，从而得到，由此能证明．
（2）由已知条件推导出，，，从而得到，由（1）得，在中，由即可得出．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
又是的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
是的直径，
，
，
，且为锐角，
，
由（1）得，
，
在中，
，即．
18．如图所示，四边形的外接圆为圆.
(1)求；
(2)若，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得出，由余弦定理得出，最后由正弦定理求出；
（2）由，，结合余弦定理得出.
【详解】（1）由，可得.
设，
在中，由余弦定理得，即，
解得（舍去）或，
由正弦定理得.
（2），
由已知得，
设.
在中，由余弦定理得，
，即..
4.内切圆问题
19．在中，已知，，．
(1)求面积；
(2)求内切圆半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由三角形面积计算公式，代入计算即可；
（2）首先由余弦定理求出，再由等面积法即可求出内切圆半径．
【详解】（1）因为，，，
所以．
（2）由，
解得，
设内切圆半径为，
则，
所以，
故内切圆半径为．
20．如图，某景区有一块圆形水域，水域边上有三处景点A，B，C，景点之间有观景桥相连，已知AB，BC，AC长度分别为30m，50m，70m．
(1)求圆形水域面积；
(2)为了充分利用水域，现进行景区改造，准备在优弧上新建景点D，修桥DC，DA与景点A，C相连，并准备在修建一块圆形观赏鱼饲养区，使其分别与桥AC，DC，DA相切，求圆形观赏鱼饲养区半径的最大值．
【答案】(1)平方米
(2)米．
【分析】（1）由余弦定理可得，结合正弦定理可得外接圆半径，即可由圆的面积求解，
（2）由余弦定理以及等面积法，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为中，由余弦定理得，
，又因为，所以．
设圆形水域半径为R米，由正弦定理，
所以圆形水域面积为：平方米．
（2）因为，所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以．①
设圆形观赏鱼饲养区的半径为r米，
则，
将①式代入上式得．
因为，解得 ．
当且仅当 时， 取得最大值为140m，
所以r的最大值为米．
答：圆形观赏鱼饲养区半径的最大值为米．
21．锐角中，内角所对的边分别为，且，.
(1)求证：；
(2)将延长至，使得，记的内切圆与边相切于点，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)为定值
【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理得到，结合的范围和可证得结论；
（2）将进行角化边可整理得到的关系，根据向量线性运算可得到，根据向量数量积运算律可求得长，根据切线长相等的原理可推导得到结果.
【详解】（1）由，得：，
即，整理得：，
由正弦定理得：，
又，，
，，又，，
，.
（2）由（1）得：，，又，
整理可得：
，，
设内切圆圆心为，内切圆与边分别相切于点，
则，，，
，
，
，，
又，.
22．如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，进而得到A，B，C，D四点共圆，利用正弦理即可求解.
（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.
【详解】（1）在中，，
所以，由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以.因为，
所以，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径.
又，所以.
（2）由（1）可知：，则.，
则.
在中，由正弦定理，
，所以，，则
，
又，所以，所以，，所以.
5.垂线问题
23．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，且满足.
(1)求角的大小；
(2)设BC边上的高，求S的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量数量积公式与三角形面积公式与三角恒等变换公式求解即可；
（2）由题意和（1）可得，再由余弦定理可得的最小值，进而求出该三角形的面积最小值．
【详解】（1）由可得，
即，则，故.
因为，故，则.
（2）由题意，所以①
而
所以，当且仅当时等号成立②
由①②两式可知，，当且仅当时取等，
所以，即面积的最小值为．
24．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．
(1)求；
(2)若，边上的高线长，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标运算，利用三角恒等变形的公式化简整理得的值，然后通过平方可得的值；
（2）先利用（1）的结果得到的值，综合得到的值，再利用三角形的面积公式以及正弦定理边化角可得的值.
【详解】（1）由已知得
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
，
.
25．已知的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)设为边上的中点，点在边上，满足，且，四边形的面积为，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角化简所给式子，再借助运用两角和的正弦公式化简即可得到答案.
（2）由（1）的结论和三角形内角和可得角的大小，再由正弦定理可表示出和中的边长，进而求出两个三角形的面积，再由四边形的面积等于两个三角形的面积之差可求出的值，再由余弦定理可得线段的长．
【详解】（1）证明：， 由正弦定理得，
又，
，
即，
，
，即，或，即（舍），
故：证得．
（2）， ，，
D为BC的中点， ，，
，，
，
解得，， ，，
在中，由余弦定理可得：
，
故：线段CE的长为．
26．中在边上,且．
(1)求的长;
(2)若于,求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先在中由余弦定理求得的长,再由求得的长,由可求,最后在中由余弦定理即可得的长;
（2）由（1）可得,,的长,即有的长,在中由余弦定理可得,再求,又有,又有,则有,将写为,根据两角差的余弦公式代入即可求出结果.
【详解】（1）解:由题知
是等腰三角形,,
在中,由余弦定理得:
,
即,
,
,
,
在中,由余弦定理得:
,
即,
;
（2）由（1）知,,
在中,由余弦定理得:
,
,
,
,
,
故.
6.角平分线问题
27． 中，的角平分线交AC于D点，若且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用三角形面积公式得到，由基本不等式求出，从而得到面积的最小值.
【详解】由三角形面积公式可知，
，
故，
又，
所以，即，
由基本不等式得，即，
解得，当且仅当时，等号成立，
所以.
故答案为：
28．在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则 .
【答案】
【分析】在中，根据正弦定理可求出，从而可得，即得．
【详解】如图，在中，，，
由正弦定理可得，
，又，
，，
又为的平分线，且，
，又，，
．
故答案为：2．
29．在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点.
(1)当为边中点时，若，求的长度；
(2)当为的平分线时，若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出，再由向量的运算得出的长度；
（2）由余弦定理结合基本不等式得出，再由得出，最后由对勾函数的单调性得出的最大值.
【详解】（1）解：因为，
所以，即.
由正弦定理，得.
因为，所以.
因为，所以.
又因为，所以，所以.
因为为边中点，所以，则.
又，
所以，即，即，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得.
又，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以.
因为平分，
所以，
所以，
所以.
令，则.
因为在上单调递增，
所以当即时，取得最大值为，
所以的最大值为.
30．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b．c．若，角A的平分线交于点D，，，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C．的面积为D．
【答案】AC
【分析】利用面积法求边验证选项A；利用内角平分线定理验证选项B，面积公式计算验证选项C；余弦定理求边验证选项D
【详解】如图所示，
，则，，
由，即有，
所以，因为，所以，故A正确；
由内角平分线性质可知，，即，故B错误；
，故C正确；
在中，由余弦定理得，
所以，故D错误．
故选：AC
31．（ 2023·江苏盐城·统考三模）在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到的长,再利用三角形的面积公式求解即可;
（2）设,,根据得到,在中,利用余弦定理得到,由两者相等结合的取值范围即可求出结果.
【详解】（1）因为,
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）设,,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因为且,
得,
则,
所以,
即边的取值范围为.
32．在中，点D是BC上一点，AD平分，，，求：
(1)的值；
(2)若，求CD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面积比可得，根据角平分线的性质有，再应用正弦边角关系和已知、二倍角正弦公式得，即可得求解；
（2）由（1）得，利用三角形内角性质、和角正弦公式求，最后应用正弦定理求，再由求长度.
【详解】（1）由，又AD平分，即，
所以，
由正弦边角关系知：，又，则，
所以.
（2）由，且，则，而，
由（1）及三角形内角知：，则，，
所以，
由，则
又，故.
7.中线问题
33．在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若的面积为，且为的中点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，得出的关系，再根据得出的关系，再利用余弦定理即可得解；
（2）先根据三角形的面积公式求出，再向量化即可得解.
【详解】（1）由正弦定理，可得，
即，
又因为，得，
所以；
（2）由（1）可知，
由，得，
所以，
得，
又因为，
所以，
即线段的长为3.
34．已知中，，．
(1)求B的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为．
【答案】(1)；
(2)详见解析.
【分析】（1）由正弦定理边角互化即可求解，
（2）利用三角形内角和可得为等腰三角形，进而利用周长或者面积可得的值，进而利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）由和正弦定理可得，由于，所以.
（2）若选择①：，又，
所以，
又由正弦定理可得，矛盾，这样的不存在；
若选择②：由于，进而 ，故.
此时为等腰三角形，由余弦定理可得，，
而周长为，所以.
BC边上的中线的长度为：
；
若选择③：由于，进而 ，故 ，
此时为等腰三角形，面积为，
BC边上的中线的长度为：
．
35．在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，结合余弦定理可得到，由此可整理得到；在中，利用余弦定理可得，解方程组可求得.
【详解】
在中，；
在中，；
，，又，
，
整理可得：，即，
，；
在中，，
，解得：（舍）或，
.
故选：A.
36．在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．
(1)求角B；
(2)若，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；
若选条件②，先去分母后，用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解；
若选条件③，先用三角形的内角之和为结合诱导公式得到，再利用正弦定理和两角差的余弦公式化简，即可求解；
（2）由向量的加法可得：，平方后结合已知条件得到（），再由二次函数的图像与性质，即可求解.
【详解】（1）选择条件①：
由正弦定理，可得：
可得：，
又由余弦定理，可得：
因为，所以.
选择条件②：由，得：，
由正弦定理可得，
所以，
，，，
所以，则.
选择条件③：
因为，可得：，
由正弦定理可得：
可得：，整理可得：，
因为，所以.
（2）因为，所以，
因为是的中点，所以，
即，
则
，所以，
故线段BD的取值范围为.
37．已知在中，，．
(1)求A的大小；
(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①周长为；②；③面积为；④
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）原式可化为，可得或，通过分析即可解得；
（2）由（1）知，，.根据正弦定理，可推得.
若选①周长为，则，，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选②，可推得，，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选③面积为，根据面积公式可推得，，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选④，由（1）可推得，与条件矛盾，即不存在这样的三角形.
【详解】（1）由可得，，
即，所以，
所以或.
当，即时，又，所以；
当时，
又，则由余弦定理知，，
这与矛盾，舍去.
所以，.
（2）
若选①，由（1）知，，.
由正弦定理可得，
又周长为，所以，，则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选②，即，由（1）知，，.
则，根据正弦定理，可得，
则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选③，即面积为.由（1）知，，，则.
，所以，则，所以，
根据正弦定理，可得，
则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选④.
由（1）知，，.
根据正弦定理，可得，
与矛盾，所以，不存在这样的.
38．在中，，点D在边上，.
(1)若，求的值，
(2)若，且点D是边的中点，求的值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值；
（2）作出辅助线，得到，由余弦定理求出，从而求得答案.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：，
所以，解得或，
经检验均符合要求；
（2）在中，过D作的平行线交于E，
因为点D是边的中点，所以点E为AC的中点，
在中，，
又，所以.
由余弦定理得：，
所以，所以或（舍去），
故.
8.其余等分点问题
39．在中，角、、的对边分别为、、，若．
(1)求证：；
(2)若，点为边上一点，，，求边长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由可换成正弦值相等，利用三角恒等变换、正余弦定理求解.
（2）已知，可求出的值，再由（1）可求出，再由正余弦定理可解三角形.
【详解】（1），
，
或
当时，，，即，
综上
（2），，，
，
，
设，，，，
在中：
，
40．已知三角形ABC，，
(1)若且AD为的平分线，D为BC上点，求的值.
(2)若，，求AD的长
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等面积法求出，再利用余弦定理求出，即可得解；
（2）根据，利用双余弦定理求解即可.
【详解】（1）由，
得，
即，
得，
在中，，
所以；
（2）因为，知，，
在三角形ABD中，
在三角形ACD中，
因为，所以，
即，
解得.
41．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.
选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.
选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果.
（2）设，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果.
【详解】（1）若选择①，∵．∴，
∵，∴，
即，
∵∴；
若选择②，∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵∴；
若选择③，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，又∵．∴，
∴，∵，∴；
（2）设，，，
在中，用余弦定理可得，
即 ①，
又∵在中，，
即.即，即 ②，
在中，用余弦定理可得，
即 ③，③+①可得，
将②式代入上式可得，．
42．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且，，．
(1)若，求的值；
(2)若BC边上点E满足，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理即可求解，
（2）由正弦定理可得的值，进而根据向量的模长公式即可求解.
【详解】（1）在中，点在边上，，
，
，
，．
由正弦定理可得
（2）由（1）知，且为钝角三角形，由得，
, ，
，
在中,由正弦定理得 ，解得,
所以，
，
所以
43．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.
(1)若，求的长；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）在中应用正弦定理得出的长；
（2）由结合面积公式得出，再由余弦定理得出，，进而得出的周长.
【详解】（1）解：在中，，且，所以.
因为，，所以.
在，由正弦定理可得，
所以.
（2）因为，所以，
所以，即：，可得.
在中，由余弦定理可得，
所以，解得或（舍去）.
因为，所以.
在中，由余弦定理可得
所以的周长为.
44．记的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若点在边上，且，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理化简可得出，可求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值；
（2）求出、的值，设，则，分别在和中，利用正弦定理结合等式的性质可得出、的等式，即可求得的值，即为所求.
【详解】（1）解：因为，
由余弦定理可得，
化简可得，由余弦定理可得，
因为，所以，.
（2）解：因为，则为锐角，所以，，
因为，所以，，
所以，，
设，则，
在和中，由正弦定理得，，
因为，上面两个等式相除可得，
得，即，
所以，.
1．在中，，D为BC的中点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先设，由三角形三边关系得到，再利用三角函数的诱导公式与余弦定理得到，从而利用换元与基本不等式求得的最小值，结合与在上的单调性即可求得的最大值.
【详解】设，则，
因为为的中点，，所以，
由三角形三边关系，可知且，解得，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以,
所以，解得，
则，，
令，则，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，
因为，所以．
因为在上单调递减，在单调递增，
所以当取得最小值时，取得最大值，
此时，则，
所以的最大值为.
故答案为：.
.
【点睛】关键点睛：本题中突破口为，由此得到，再结合余弦定理得到，最后利用基本不等式即可得解.
2．在锐角中，角的对边分别是，，，若
(1)求角的大小；
(2)若，求中线长的范围（点是边中点）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到，从而求出结果；
（2）先利用向量的中线公式得到，再利用正、余弦定理及条件求出的范围，进而求出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得：
即，所以，
因为，所以，所以，因为，所以.
（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得:
，
所以，
因为，又，，
所以,
又因为为锐角三角形， 所以，，得到，
所以，由的图像与性质知，，
所以，所以，得到
故.
3．已知D是的边BC上一点，且，，，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】设，，，则，，再在和中分别列出余弦定理，根据联立可得，再结合，得到，进而消去，结合基本不等式 求解最大值即可
【详解】
设，，，则，．
在中，；
在中，．
因为，所以，
所以，整理①．
因为，所以．
在中，，
即，结合①可得，所以，即，当且仅当时，等号成立．
故答案为：
4．如图，平面四边形中，，，，，则四边形的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】令，利用余弦定理、三角形面积公式将四边形的面积表示为的函数，再求出函数最大值作答.
【详解】连接，如图，令，
在中，由余弦定理得：，
因，，则，
因此，四边形的面积
，而，则当，即时，，
所以四边形的面积的最大值为.
故答案为：
5．在中，点D在BC 上，满足AD＝BC，．
(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，再由，得到，即得证；
（2）记A，B，C的对边分别为a，b，c，由（1）得，设，在△ABD与△ACD中，分别使用余弦定理，解方程组可求出或，依题意排除，利用余弦定理即可求出.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：①，
由已知得：②，
由①②联立得：，
因为，所以．
故AB，AD，AC成等比数列；
（2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，
故，由（1）知：③，
在△ABD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，
即④，
在△ACD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，
⑤，
由⑤＋④×2整理得：⑥，
由③⑥联立整理得：，
解得：或，
当时，由可求得，所以故舍去，
当时，由可求得，满足，
在△ABC中，由余弦定理得
综上：
6．如图，中，，的平分线AD交BC于．
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求AD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的性质可得可得，即可利用余弦定理，联立方程即可求解，
（2）由向量的线性运算以及模长公式，即可求解.
【详解】（1）设A，B，C的对边分别是a，b，c,
因为AD是的平分线，所以到AB，AC的距离相等，
又，所以，所以．
由题意，．
中，①,
中， ②
联立①②得．又，则．
所以．
（2）因为，，．
所以
所以．
所以．
因为，所以．
所以．
7．某市为提升城市形象，打造城市品牌，拟规划建设一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域ABCDE（如图所示），其中三角形区域ABE为健身休闲区，四边形区域BCDE为文娱活动区，AB、BC、CD、DE、EA、BE为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知，，，.
(1)求道路BE的长度；
(2)求道路AB、AE长度之和的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连结，应用余弦定理求得，中应用正弦定理可得，最后由勾股定理求道路BE的长度；
（2）设，中用正弦定理得，进而应用辅助角公式、正弦型函数的性质求最大值.
【详解】（1）如图，连结，
在中，由余弦定理得
，则，
∵，则，又，
∴，
在中，，，由正弦定理，，
∴，或（舍去），即，
由，得，即的长度是
（2）设，由，得，
在中，由正弦定理，
，
∴
∴，又，
∴，
当，即时，取得最大值，
即道路长度之和的最大值为
8．在中，对应的边分别为的外接圆面积为.
(1)求的值；
(2)若点在上，且直线平分角，求线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理可求得，再利用正弦定理计算可得外接圆半径为，即可求出；
（2）利用角平分线定理可得，再由余弦定理计算可得.
【详解】（1）由，利用余弦定理可得
，所以；
因此的外接圆的半径为，
所以的外接圆的面积
（2）如下图所示：
由直线平分角，利用角平分线定理可得，
又，所以，
因此在中，由余弦定理可得，
所以，即线段的长度为
9．在中，内角的对边分别为，.
(1)求角；
(2)是边上的点，若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由已知，切化弦，通分，用两角和的正弦公式化简，可求出角；
（2）结合图形，有，，在中，由余弦定理求出，
再由正弦定理得到.
【详解】（1）由，得，
由两角和的正弦公式和正弦定理得：
，
，，，
∴，由有意义，，
，，
，∴
（2）如图所示
由，有，，在中，由余弦定理，
有，，
由正弦定理，，.
10．在平面四边形中，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分析可知为等边三角形，求出的长，以及，利用正弦定理可求得的长；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，进而可求得四边形周长的最大值.
【详解】（1）解：连接，
因为，，故为等边三角形，，
，则，
由正弦定理得，所以，.
（2）解：由余弦定理可得
，
所以，，当且仅当时，等号成立.
因此，四边形周长的最大值为.
11．如图，是边长为3的等边三角形，线段交于点，.
(1)求；
(2)若，求长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中由余弦定理及已知可求得的长，再由正弦定理可得到；
（2）由（1）得到，中由余弦定理可求得的长.
【详解】（1）解：在中，由余弦定理可得，代入数据可得，，
由正弦定理可得，
所以；
（2）在中，由（1）及余弦定理得，
，
又，
在中，由余弦定理可得，
故.
12．如图，已知在中，M为BC上一点，，且．
(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案；
（2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案.
【详解】（1）因为，,
所以，
因为，
所以由正弦定理知，即，
因为，所以，，
在中，．
（2）由题意知，设，
由余弦定理得，解得或．
因为，所以，
因为AM为的平分线，
所以（h为底边BC的高）
所以，故，
而由（1）知，
所以．
13．从①；② 条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答
：在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.
(1)求角A；
(2)若外接圆的圆心为O，，求BC的长.
注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角恒等变换即可.
（2）利用圆的角度关系和正弦定理即可求解.
【详解】（1）解：选择条件①：
因为，由正弦定理，可得，
即，所以.
因为，所以.
选择条件②：
因为
所以，即.
因为
所以
所以，.
（2）由题意，O是外接圆的圆心，所以，
所以
故此.
在中，由正弦定理，，即，解得.
14．在中，，，．
(1)求和的值；
(2)求BC边上的高．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）首先利用余弦定理和条件可求出的值，然后利用正弦定理可得的值；
（2）BC边上的高为，即可算出答案.
【详解】（1）因为，，，
所以由余弦定理得，所以，解得，
所以，所以由正弦定理可得，；
（2）BC边上的高为.
15．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方案一：选条件①．结合正弦定理与两角和的正弦公式求解即可；方案二：选条件②．由正弦定理及同角三角函数的基本关系式化简求解即可；方案三：选条件③．由正弦余弦定理化简求解即可.
（2）根据面积公式可得，再根据余弦定理结合基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）方案一：选条件①．
由，可得，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
故，
又，于是，即，
因为，所以．
方案二：选条件②．
因为，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得，即，
因为，所以，
又
所以，因为，所以．
方案三：选条件③．
，由正弦定理得，
即，∴，∴由余弦下定得．
又，所以．
（2）由题意知，得．
由余弦定理得，
当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为．
16．如图，在平面四边形ABCD中，，，且的面积为.
(1)求A，C两点间的距离；
(2)设的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且.作的内切圆，求这个内切圆面积的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由面积公式及余弦定理求解；
（2）由所给条件求出B，再由内切圆性质求半径，法一利用正弦定理及正弦型函数的性质求最值得解；法二利用均值不等式求出最大值得解.
【详解】（1）在中，因为，所以.
由余弦定理可得
，
所以.
故A，C两点间的距离是 .
（2）根据三角形面积公式有，即，
又因为 ，
所以，所以，
所以，，得.
设内切圆的半径是，
因为，则.
所以
又，
因此，
解法一：在中，，.
由正弦定理得，
所以，，
于是
.
又，所以.
当时，取得最大值，从而取得最大值2.
故内切圆面积的最大值为.
解法二：
所以，
所以，当且仅当时等号成立，此时.
内切圆面积的最大值为.
1.四边形问题
1．如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.
(1)求的大小；
(2)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在合题意
【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式，求得的值，得的大小；
（2）设，利用正弦定理得关于的代数式，解出，利用三角形面积公式，求出的值.
【详解】（1）在中，由余弦定理，，
因为，所以，
即，又因为，所以.
（2）设，则，，，
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
两式作商，得，
即，因为，所以，，
，，
假设，所以，
解得.
【点睛】设，由题目中角的条件，及，考虑在两个三角形中利用正弦定理建立关系式进行计算.
2．如图所示，在平面四边形ABCD中，，，，，．
(1)求BD的长；
(2)若AC与BD交于点O，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理在中求解，进而根据和差角公式可得，即可由余弦定理求解，
（2）根据三角形边角关系，结合余弦定理和和差角公式即可求解，利用面积公式即可求解.
【详解】（1）由题意，在中，，，，
由余弦定理得，，
所以，
在中，，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可知，
所以．
（2）由（1）可知，又因为，所以为等边三角形，
所以，，
在中，，所以，
在中，，
故，
所以，
所以，
在中，由正弦定理可知，即，解得，
所以．
3．（ 2023·北京大兴·统考三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.
(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据勾股定理可得，结合再根据面积公式求解即可；
（2）根据等腰三角形性质可得，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得，然后根据，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.
【详解】（1）∵，，
，，;
（2），，，则.
，，
，，
又，在中，
，
由正弦定理可知，，
.
4．如图，四边形ABCD的内角，，，，且．
(1)求角B；
(2)若点是线段上的一点，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，在、分别利用余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用正弦定理可求得，利用勾股定理求出，即可求得的长.
【详解】（1）设，
在中由余弦定理得，即①，
又在中由余弦定理得，即②，
因为，则，
联立①②可得（负值舍去），，因为，所以．
（2）在中，由正弦定理知，，
所以，
又，故，
在直角三角形中，由勾股定理知，，
此时．
5．如图，四边形是由与正拼接而成，设，.
(1)当时，设，求，的值；
(2)当时，求线段的长.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意根据正弦定理可得的长，由和正可求得，再根据平面向量线性运算，，进而得出，的值.
（2）根据正弦定理和余弦定理可求出的长，进而得出，，利用余弦和差化积得到，再根据余弦定理得出的长.
【详解】（1）在中，由，
可知.
由于，，，
，，，.
（2）在中，，
所以，，
.
6．某市准备规划一条平面示意图如图所示的五边形赛道，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，．
(1)求服务通道的长度；
(2)若，求赛道的长度．
【答案】(1)5
(2)km
【分析】（1）连接，在中，由余弦定理可得的值，由，可得，求出，再利用勾股定理可求的值．
（2）根据余弦定理即可求解.
【详解】（1）连接，∵，，，
在中，由余弦定理，
可得，
，
，，
又，，
在中，．
（2）在中，,
化简得,因为,所以.
2.四边形的最值问题
7．如图，在梯形中，，，．
(1)求CD；
(2)平面内点P在直线CD的上方，且满足，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，在与中分别利用余弦定理得到关于的方程，解得即可；
（2）首先求出，即可得到，再利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）∵，，∴，
在中，记，
由余弦定理得，
在中，，
由得，
即，
解得或，
∵与梯形矛盾，舍去，又，
∴，即．
（2）由（1）知，
故，，
故，
在中，，
∵，（当且仅当时，等号成立）．
∴，
故当时，取得最大值．
8．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（区域）进行分区改造.区域为蔬菜种植区，区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，区域规划为学生自主栽培区.的周围将筑起护栏.已知，，，.
(1)若，求护栏的长度（的周长）；
(2)学生自主栽培区的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.
【答案】(1)
(2)有，
【分析】（1）利用余弦定理证得，从而判断得是正三角形，由此得解；
（2）在与中，利用正弦定理求得与关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到关于的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.
【详解】（1）依题意，在中，，，，
所以，则，，即，
所以，又，故，
所以是正三角形，则，，
所以护栏的长度（的周长）为.
（2）学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下：
设()，
在中，，则，
由正弦定理得，得，
在中，，
由正弦定理得，得，
所以
，
所以当且仅当，即时，的面积取得最小值为﹒
9．在平面四边形中；；，
(1)若四边形为圆内接四边形；求；
(2)求四边形面积最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在和中，均利用余弦定理表示出，可得，再由，解出的值，代入运算，得解；
（2）由（1）知，①，利用三角形面积公式，可得四边形的面积②，由①②，并结合三角恒等变换公式，求得的最大值，得解．
【详解】（1）连接，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
所以，即，
又四边形为圆内接四边形，所以，即，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）知，，
所以①，
因为的面积，
的面积，
所以四边形的面积②，
由①②分别平方相加可得
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，
故四边形面积最大值为．
10．在圆的内接四边形中，，，，示意如图．
(1)若是圆的直径，求的长；
(2)若圆的直径为，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）连接，利用圆的性质、直角三角形边角关系，结合差角的余弦公式求解作答.
（2）连接，利用正弦定理、余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解作答.
【详解】（1）连接，设，则，因为是圆O的直径，
则与为直角三角形，有，
又，，即，整理得，
所以.
（2）
连接，因为圆O的直径为，则在中，由正弦定理得，，
在中，由余弦定理得，
设，则，即，解得，
设，同理在中有，，解得，
因此四边形的面积
，
所以四边形的面积为或.
【点睛】思路点睛：涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
11．（ 2023·云南保山·统考二模）如图，在平面四边形中，，，.
(1)当四边形内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可；
（2）将四边形的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以.
又四边形内接于圆，
所以，
所以，
化简可得，又，
所以.
（2）设四边形的面积为S，
则，
又，
所以，即
平方后相加得，即，
又，
所以时，有最大值，即S有最大值.
此时，，代入得.
又，所以
在中，可得：
，即.
所以，对角线的长为.
12．如图，在平面四边形ABCD中，AC=4，BC⊥CD.
(1)若AB=3，BC=2，CD=5，求的面积；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先用余弦定理求出 ，再利用面积公式求解；
（2）设，运用正弦定理分别表示出 ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
所以的面积；
（2）设， ，则，．
在中，由正弦定理可得，则，
在 中，由正弦定理可得，则，
所以，
当时，取得最大值；
综上，的面积为 ，的最大值.
3.外接圆问题
13．在圆O的内接四边形ABCD中，，，，．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形ABCD的面积为B．圆O的半径为
C．D．若于点H，则
【答案】ACD
【分析】对于A，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理和面积公式进行判断；对于B，利用正弦定理求出该外接圆的直径；对于C，利用数量积公式求解判断；对于D，利用数量积公式求解判断．
【详解】对于A，连接，在中，，，
，，解得，
，，，
，
，
四边形的面积，故A正确；
对于B，设外接圆半径为，则由正弦定理得，
该外接圆的半径为，故B错误；
对于C，过点作于点，过点作于点，
所以，,
则由垂径定理得，
，，
解得，，，，
,，故C正确；
对于D，由C选项得，，
,故D正确．
故选：ACD．
14．如图，已知圆O内接四边形ABCD中，，则下列说法正确的是（ ）.
A．B．四边形ABCD的面积为8
C．该外接圆的直径为D．
【答案】ABD
【分析】A，连接BD，设，由结合余弦定理可得，即可得；B，由A分析结合面积公式可判断选项正误；C，由正弦定理可判断选项正误；D，注意到，后由数量积几何意义可判断选项正误.
【详解】A选项，连接BD，设，由题可得，则.则由余弦定理：，则，故A正确；
B选项，四边形ABCD的面积，故B正确.
C选项，注意到三角形BCD外接圆为圆O，则由正弦定理，外接圆直径为，故C错误；
D选项，，取BD，BC中点为F，G，由垂径定理结合向量数量积几何意义可知，故D正确.
故选：ABD
15．平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．
(1)当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记与的面积分别为和，请求出的最大值．
【答案】(1)为定值，定值为1
(2)14
【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；法二：在中由余弦定理得
，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；
（2）由面积公式可得，令转化为二次函数配方求最值即可．
【详解】（1）法一：在中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在中，，
即②，
①②得，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
法二：在中，由余弦定理
得，即，
同理，在中，，
所以，
化简得，即，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
（2）
，
令，
所以，
所以，即时，
有最大值为14．
16．已知平面四边形中，，，，，且四边形有外接圆．
(1)求角的大小；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，在和中，分别利用余弦定理结合求解；
（2）在中，利用正弦定理得到，再结合求解.
【详解】（1）解：如图所示：
∵四边形有外接圆E，∴．连接，
在中，由余弦定理可得
①，
在中，由余弦定理可得②，
由①②可得．
∵，
∴．
（2）在中，由正弦定理可得，
即．
由（1）可知，
∴，
，
∴，
∴.
17．如图，已知为的直径，点、在上，，垂足为，交于，且．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）连接，由已知条件推导出，，从而得到，由此能证明．
（2）由已知条件推导出，，，从而得到，由（1）得，在中，由即可得出．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
又是的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
是的直径，
，
，
，且为锐角，
，
由（1）得，
，
在中，
，即．
18．如图所示，四边形的外接圆为圆.
(1)求；
(2)若，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得出，由余弦定理得出，最后由正弦定理求出；
（2）由，，结合余弦定理得出.
【详解】（1）由，可得.
设，
在中，由余弦定理得，即，
解得（舍去）或，
由正弦定理得.
（2），
由已知得，
设.
在中，由余弦定理得，
，即..
4.内切圆问题
19．在中，已知，，．
(1)求面积；
(2)求内切圆半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由三角形面积计算公式，代入计算即可；
（2）首先由余弦定理求出，再由等面积法即可求出内切圆半径．
【详解】（1）因为，，，
所以．
（2）由，
解得，
设内切圆半径为，
则，
所以，
故内切圆半径为．
20．如图，某景区有一块圆形水域，水域边上有三处景点A，B，C，景点之间有观景桥相连，已知AB，BC，AC长度分别为30m，50m，70m．
(1)求圆形水域面积；
(2)为了充分利用水域，现进行景区改造，准备在优弧上新建景点D，修桥DC，DA与景点A，C相连，并准备在修建一块圆形观赏鱼饲养区，使其分别与桥AC，DC，DA相切，求圆形观赏鱼饲养区半径的最大值．
【答案】(1)平方米
(2)米．
【分析】（1）由余弦定理可得，结合正弦定理可得外接圆半径，即可由圆的面积求解，
（2）由余弦定理以及等面积法，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为中，由余弦定理得，
，又因为，所以．
设圆形水域半径为R米，由正弦定理，
所以圆形水域面积为：平方米．
（2）因为，所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以．①
设圆形观赏鱼饲养区的半径为r米，
则，
将①式代入上式得．
因为，解得 ．
当且仅当 时， 取得最大值为140m，
所以r的最大值为米．
答：圆形观赏鱼饲养区半径的最大值为米．
21．锐角中，内角所对的边分别为，且，.
(1)求证：；
(2)将延长至，使得，记的内切圆与边相切于点，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)为定值
【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理得到，结合的范围和可证得结论；
（2）将进行角化边可整理得到的关系，根据向量线性运算可得到，根据向量数量积运算律可求得长，根据切线长相等的原理可推导得到结果.
【详解】（1）由，得：，
即，整理得：，
由正弦定理得：，
又，，
，，又，，
，.
（2）由（1）得：，，又，
整理可得：
，，
设内切圆圆心为，内切圆与边分别相切于点，
则，，，
，
，
，，
又，.
22．如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，进而得到A，B，C，D四点共圆，利用正弦理即可求解.
（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.
【详解】（1）在中，，
所以，由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以.因为，
所以，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径.
又，所以.
（2）由（1）可知：，则.，
则.
在中，由正弦定理，
，所以，，则
，
又，所以，所以，，所以.
5.垂线问题
23．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，且满足.
(1)求角的大小；
(2)设BC边上的高，求S的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量数量积公式与三角形面积公式与三角恒等变换公式求解即可；
（2）由题意和（1）可得，再由余弦定理可得的最小值，进而求出该三角形的面积最小值．
【详解】（1）由可得，
即，则，故.
因为，故，则.
（2）由题意，所以①
而
所以，当且仅当时等号成立②
由①②两式可知，，当且仅当时取等，
所以，即面积的最小值为．
24．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．
(1)求；
(2)若，边上的高线长，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标运算，利用三角恒等变形的公式化简整理得的值，然后通过平方可得的值；
（2）先利用（1）的结果得到的值，综合得到的值，再利用三角形的面积公式以及正弦定理边化角可得的值.
【详解】（1）由已知得
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
，
.
25．已知的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)设为边上的中点，点在边上，满足，且，四边形的面积为，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角化简所给式子，再借助运用两角和的正弦公式化简即可得到答案.
（2）由（1）的结论和三角形内角和可得角的大小，再由正弦定理可表示出和中的边长，进而求出两个三角形的面积，再由四边形的面积等于两个三角形的面积之差可求出的值，再由余弦定理可得线段的长．
【详解】（1）证明：， 由正弦定理得，
又，
，
即，
，
，即，或，即（舍），
故：证得．
（2）， ，，
D为BC的中点， ，，
，，
，
解得，， ，，
在中，由余弦定理可得：
，
故：线段CE的长为．
26．中在边上,且．
(1)求的长;
(2)若于,求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先在中由余弦定理求得的长,再由求得的长,由可求,最后在中由余弦定理即可得的长;
（2）由（1）可得,,的长,即有的长,在中由余弦定理可得,再求,又有,又有,则有,将写为,根据两角差的余弦公式代入即可求出结果.
【详解】（1）解:由题知
是等腰三角形,,
在中,由余弦定理得:
,
即,
,
,
,
在中,由余弦定理得:
,
即,
;
（2）由（1）知,,
在中,由余弦定理得:
,
,
,
,
,
故.
6.角平分线问题
27． 中，的角平分线交AC于D点，若且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用三角形面积公式得到，由基本不等式求出，从而得到面积的最小值.
【详解】由三角形面积公式可知，
，
故，
又，
所以，即，
由基本不等式得，即，
解得，当且仅当时，等号成立，
所以.
故答案为：
28．在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则 .
【答案】
【分析】在中，根据正弦定理可求出，从而可得，即得．
【详解】如图，在中，，，
由正弦定理可得，
，又，
，，
又为的平分线，且，
，又，，
．
故答案为：2．
29．在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点.
(1)当为边中点时，若，求的长度；
(2)当为的平分线时，若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出，再由向量的运算得出的长度；
（2）由余弦定理结合基本不等式得出，再由得出，最后由对勾函数的单调性得出的最大值.
【详解】（1）解：因为，
所以，即.
由正弦定理，得.
因为，所以.
因为，所以.
又因为，所以，所以.
因为为边中点，所以，则.
又，
所以，即，即，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得.
又，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以.
因为平分，
所以，
所以，
所以.
令，则.
因为在上单调递增，
所以当即时，取得最大值为，
所以的最大值为.
30．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b．c．若，角A的平分线交于点D，，，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C．的面积为D．
【答案】AC
【分析】利用面积法求边验证选项A；利用内角平分线定理验证选项B，面积公式计算验证选项C；余弦定理求边验证选项D
【详解】如图所示，
，则，，
由，即有，
所以，因为，所以，故A正确；
由内角平分线性质可知，，即，故B错误；
，故C正确；
在中，由余弦定理得，
所以，故D错误．
故选：AC
31．（ 2023·江苏盐城·统考三模）在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到的长,再利用三角形的面积公式求解即可;
（2）设,,根据得到,在中,利用余弦定理得到,由两者相等结合的取值范围即可求出结果.
【详解】（1）因为,
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）设,,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因为且,
得,
则,
所以,
即边的取值范围为.
32．在中，点D是BC上一点，AD平分，，，求：
(1)的值；
(2)若，求CD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面积比可得，根据角平分线的性质有，再应用正弦边角关系和已知、二倍角正弦公式得，即可得求解；
（2）由（1）得，利用三角形内角性质、和角正弦公式求，最后应用正弦定理求，再由求长度.
【详解】（1）由，又AD平分，即，
所以，
由正弦边角关系知：，又，则，
所以.
（2）由，且，则，而，
由（1）及三角形内角知：，则，，
所以，
由，则
又，故.
7.中线问题
33．在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若的面积为，且为的中点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，得出的关系，再根据得出的关系，再利用余弦定理即可得解；
（2）先根据三角形的面积公式求出，再向量化即可得解.
【详解】（1）由正弦定理，可得，
即，
又因为，得，
所以；
（2）由（1）可知，
由，得，
所以，
得，
又因为，
所以，
即线段的长为3.
34．已知中，，．
(1)求B的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为．
【答案】(1)；
(2)详见解析.
【分析】（1）由正弦定理边角互化即可求解，
（2）利用三角形内角和可得为等腰三角形，进而利用周长或者面积可得的值，进而利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）由和正弦定理可得，由于，所以.
（2）若选择①：，又，
所以，
又由正弦定理可得，矛盾，这样的不存在；
若选择②：由于，进而 ，故.
此时为等腰三角形，由余弦定理可得，，
而周长为，所以.
BC边上的中线的长度为：
；
若选择③：由于，进而 ，故 ，
此时为等腰三角形，面积为，
BC边上的中线的长度为：
．
35．在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，结合余弦定理可得到，由此可整理得到；在中，利用余弦定理可得，解方程组可求得.
【详解】
在中，；
在中，；
，，又，
，
整理可得：，即，
，；
在中，，
，解得：（舍）或，
.
故选：A.
36．在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．
(1)求角B；
(2)若，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；
若选条件②，先去分母后，用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解；
若选条件③，先用三角形的内角之和为结合诱导公式得到，再利用正弦定理和两角差的余弦公式化简，即可求解；
（2）由向量的加法可得：，平方后结合已知条件得到（），再由二次函数的图像与性质，即可求解.
【详解】（1）选择条件①：
由正弦定理，可得：
可得：，
又由余弦定理，可得：
因为，所以.
选择条件②：由，得：，
由正弦定理可得，
所以，
，，，
所以，则.
选择条件③：
因为，可得：，
由正弦定理可得：
可得：，整理可得：，
因为，所以.
（2）因为，所以，
因为是的中点，所以，
即，
则
，所以，
故线段BD的取值范围为.
37．已知在中，，．
(1)求A的大小；
(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①周长为；②；③面积为；④
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）原式可化为，可得或，通过分析即可解得；
（2）由（1）知，，.根据正弦定理，可推得.
若选①周长为，则，，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选②，可推得，，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选③面积为，根据面积公式可推得，，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选④，由（1）可推得，与条件矛盾，即不存在这样的三角形.
【详解】（1）由可得，，
即，所以，
所以或.
当，即时，又，所以；
当时，
又，则由余弦定理知，，
这与矛盾，舍去.
所以，.
（2）
若选①，由（1）知，，.
由正弦定理可得，
又周长为，所以，，则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选②，即，由（1）知，，.
则，根据正弦定理，可得，
则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选③，即面积为.由（1）知，，，则.
，所以，则，所以，
根据正弦定理，可得，
则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选④.
由（1）知，，.
根据正弦定理，可得，
与矛盾，所以，不存在这样的.
38．在中，，点D在边上，.
(1)若，求的值，
(2)若，且点D是边的中点，求的值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值；
（2）作出辅助线，得到，由余弦定理求出，从而求得答案.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：，
所以，解得或，
经检验均符合要求；
（2）在中，过D作的平行线交于E，
因为点D是边的中点，所以点E为AC的中点，
在中，，
又，所以.
由余弦定理得：，
所以，所以或（舍去），
故.
8.其余等分点问题
39．在中，角、、的对边分别为、、，若．
(1)求证：；
(2)若，点为边上一点，，，求边长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由可换成正弦值相等，利用三角恒等变换、正余弦定理求解.
（2）已知，可求出的值，再由（1）可求出，再由正余弦定理可解三角形.
【详解】（1），
，
或
当时，，，即，
综上
（2），，，
，
，
设，，，，
在中：
，
40．已知三角形ABC，，
(1)若且AD为的平分线，D为BC上点，求的值.
(2)若，，求AD的长
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等面积法求出，再利用余弦定理求出，即可得解；
（2）根据，利用双余弦定理求解即可.
【详解】（1）由，
得，
即，
得，
在中，，
所以；
（2）因为，知，，
在三角形ABD中，
在三角形ACD中，
因为，所以，
即，
解得.
41．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.
选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.
选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果.
（2）设，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果.
【详解】（1）若选择①，∵．∴，
∵，∴，
即，
∵∴；
若选择②，∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵∴；
若选择③，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，又∵．∴，
∴，∵，∴；
（2）设，，，
在中，用余弦定理可得，
即 ①，
又∵在中，，
即.即，即 ②，
在中，用余弦定理可得，
即 ③，③+①可得，
将②式代入上式可得，．
42．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且，，．
(1)若，求的值；
(2)若BC边上点E满足，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理即可求解，
（2）由正弦定理可得的值，进而根据向量的模长公式即可求解.
【详解】（1）在中，点在边上，，
，
，
，．
由正弦定理可得
（2）由（1）知，且为钝角三角形，由得，
, ，
，
在中,由正弦定理得 ，解得,
所以，
，
所以
43．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.
(1)若，求的长；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）在中应用正弦定理得出的长；
（2）由结合面积公式得出，再由余弦定理得出，，进而得出的周长.
【详解】（1）解：在中，，且，所以.
因为，，所以.
在，由正弦定理可得，
所以.
（2）因为，所以，
所以，即：，可得.
在中，由余弦定理可得，
所以，解得或（舍去）.
因为，所以.
在中，由余弦定理可得
所以的周长为.
44．记的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若点在边上，且，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理化简可得出，可求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值；
（2）求出、的值，设，则，分别在和中，利用正弦定理结合等式的性质可得出、的等式，即可求得的值，即为所求.
【详解】（1）解：因为，
由余弦定理可得，
化简可得，由余弦定理可得，
因为，所以，.
（2）解：因为，则为锐角，所以，，
因为，所以，，
所以，，
设，则，
在和中，由正弦定理得，，
因为，上面两个等式相除可得，
得，即，
所以，.
1．在中，，D为BC的中点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先设，由三角形三边关系得到，再利用三角函数的诱导公式与余弦定理得到，从而利用换元与基本不等式求得的最小值，结合与在上的单调性即可求得的最大值.
【详解】设，则，
因为为的中点，，所以，
由三角形三边关系，可知且，解得，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以,
所以，解得，
则，，
令，则，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，
因为，所以．
因为在上单调递减，在单调递增，
所以当取得最小值时，取得最大值，
此时，则，
所以的最大值为.
故答案为：.
.
【点睛】关键点睛：本题中突破口为，由此得到，再结合余弦定理得到，最后利用基本不等式即可得解.
2．在锐角中，角的对边分别是，，，若
(1)求角的大小；
(2)若，求中线长的范围（点是边中点）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到，从而求出结果；
（2）先利用向量的中线公式得到，再利用正、余弦定理及条件求出的范围，进而求出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得：
即，所以，
因为，所以，所以，因为，所以.
（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得:
，
所以，
因为，又，，
所以,
又因为为锐角三角形， 所以，，得到，
所以，由的图像与性质知，，
所以，所以，得到
故.
3．已知D是的边BC上一点，且，，，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】设，，，则，，再在和中分别列出余弦定理，根据联立可得，再结合，得到，进而消去，结合基本不等式 求解最大值即可
【详解】
设，，，则，．
在中，；
在中，．
因为，所以，
所以，整理①．
因为，所以．
在中，，
即，结合①可得，所以，即，当且仅当时，等号成立．
故答案为：
4．如图，平面四边形中，，，，，则四边形的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】令，利用余弦定理、三角形面积公式将四边形的面积表示为的函数，再求出函数最大值作答.
【详解】连接，如图，令，
在中，由余弦定理得：，
因，，则，
因此，四边形的面积
，而，则当，即时，，
所以四边形的面积的最大值为.
故答案为：
5．在中，点D在BC 上，满足AD＝BC，．
(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，再由，得到，即得证；
（2）记A，B，C的对边分别为a，b，c，由（1）得，设，在△ABD与△ACD中，分别使用余弦定理，解方程组可求出或，依题意排除，利用余弦定理即可求出.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：①，
由已知得：②，
由①②联立得：，
因为，所以．
故AB，AD，AC成等比数列；
（2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，
故，由（1）知：③，
在△ABD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，
即④，
在△ACD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，
⑤，
由⑤＋④×2整理得：⑥，
由③⑥联立整理得：，
解得：或，
当时，由可求得，所以故舍去，
当时，由可求得，满足，
在△ABC中，由余弦定理得
综上：
6．如图，中，，的平分线AD交BC于．
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求AD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的性质可得可得，即可利用余弦定理，联立方程即可求解，
（2）由向量的线性运算以及模长公式，即可求解.
【详解】（1）设A，B，C的对边分别是a，b，c,
因为AD是的平分线，所以到AB，AC的距离相等，
又，所以，所以．
由题意，．
中，①,
中， ②
联立①②得．又，则．
所以．
（2）因为，，．
所以
所以．
所以．
因为，所以．
所以．
7．某市为提升城市形象，打造城市品牌，拟规划建设一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域ABCDE（如图所示），其中三角形区域ABE为健身休闲区，四边形区域BCDE为文娱活动区，AB、BC、CD、DE、EA、BE为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知，，，.
(1)求道路BE的长度；
(2)求道路AB、AE长度之和的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连结，应用余弦定理求得，中应用正弦定理可得，最后由勾股定理求道路BE的长度；
（2）设，中用正弦定理得，进而应用辅助角公式、正弦型函数的性质求最大值.
【详解】（1）如图，连结，
在中，由余弦定理得
，则，
∵，则，又，
∴，
在中，，，由正弦定理，，
∴，或（舍去），即，
由，得，即的长度是
（2）设，由，得，
在中，由正弦定理，
，
∴
∴，又，
∴，
当，即时，取得最大值，
即道路长度之和的最大值为
8．在中，对应的边分别为的外接圆面积为.
(1)求的值；
(2)若点在上，且直线平分角，求线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理可求得，再利用正弦定理计算可得外接圆半径为，即可求出；
（2）利用角平分线定理可得，再由余弦定理计算可得.
【详解】（1）由，利用余弦定理可得
，所以；
因此的外接圆的半径为，
所以的外接圆的面积
（2）如下图所示：
由直线平分角，利用角平分线定理可得，
又，所以，
因此在中，由余弦定理可得，
所以，即线段的长度为
9．在中，内角的对边分别为，.
(1)求角；
(2)是边上的点，若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由已知，切化弦，通分，用两角和的正弦公式化简，可求出角；
（2）结合图形，有，，在中，由余弦定理求出，
再由正弦定理得到.
【详解】（1）由，得，
由两角和的正弦公式和正弦定理得：
，
，，，
∴，由有意义，，
，，
，∴
（2）如图所示
由，有，，在中，由余弦定理，
有，，
由正弦定理，，.
10．在平面四边形中，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分析可知为等边三角形，求出的长，以及，利用正弦定理可求得的长；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，进而可求得四边形周长的最大值.
【详解】（1）解：连接，
因为，，故为等边三角形，，
，则，
由正弦定理得，所以，.
（2）解：由余弦定理可得
，
所以，，当且仅当时，等号成立.
因此，四边形周长的最大值为.
11．如图，是边长为3的等边三角形，线段交于点，.
(1)求；
(2)若，求长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中由余弦定理及已知可求得的长，再由正弦定理可得到；
（2）由（1）得到，中由余弦定理可求得的长.
【详解】（1）解：在中，由余弦定理可得，代入数据可得，，
由正弦定理可得，
所以；
（2）在中，由（1）及余弦定理得，
，
又，
在中，由余弦定理可得，
故.
12．如图，已知在中，M为BC上一点，，且．
(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案；
（2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案.
【详解】（1）因为，,
所以，
因为，
所以由正弦定理知，即，
因为，所以，，
在中，．
（2）由题意知，设，
由余弦定理得，解得或．
因为，所以，
因为AM为的平分线，
所以（h为底边BC的高）
所以，故，
而由（1）知，
所以．
13．从①；② 条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答
：在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.
(1)求角A；
(2)若外接圆的圆心为O，，求BC的长.
注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角恒等变换即可.
（2）利用圆的角度关系和正弦定理即可求解.
【详解】（1）解：选择条件①：
因为，由正弦定理，可得，
即，所以.
因为，所以.
选择条件②：
因为
所以，即.
因为
所以
所以，.
（2）由题意，O是外接圆的圆心，所以，
所以
故此.
在中，由正弦定理，，即，解得.
14．在中，，，．
(1)求和的值；
(2)求BC边上的高．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）首先利用余弦定理和条件可求出的值，然后利用正弦定理可得的值；
（2）BC边上的高为，即可算出答案.
【详解】（1）因为，，，
所以由余弦定理得，所以，解得，
所以，所以由正弦定理可得，；
（2）BC边上的高为.
15．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方案一：选条件①．结合正弦定理与两角和的正弦公式求解即可；方案二：选条件②．由正弦定理及同角三角函数的基本关系式化简求解即可；方案三：选条件③．由正弦余弦定理化简求解即可.
（2）根据面积公式可得，再根据余弦定理结合基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）方案一：选条件①．
由，可得，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
故，
又，于是，即，
因为，所以．
方案二：选条件②．
因为，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得，即，
因为，所以，
又
所以，因为，所以．
方案三：选条件③．
，由正弦定理得，
即，∴，∴由余弦下定得．
又，所以．
（2）由题意知，得．
由余弦定理得，
当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为．
16．如图，在平面四边形ABCD中，，，且的面积为.
(1)求A，C两点间的距离；
(2)设的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且.作的内切圆，求这个内切圆面积的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由面积公式及余弦定理求解；
（2）由所给条件求出B，再由内切圆性质求半径，法一利用正弦定理及正弦型函数的性质求最值得解；法二利用均值不等式求出最大值得解.
【详解】（1）在中，因为，所以.
由余弦定理可得
，
所以.
故A，C两点间的距离是 .
（2）根据三角形面积公式有，即，
又因为 ，
所以，所以，
所以，，得.
设内切圆的半径是，
因为，则.
所以
又，
因此，
解法一：在中，，.
由正弦定理得，
所以，，
于是
.
又，所以.
当时，取得最大值，从而取得最大值2.
故内切圆面积的最大值为.
解法二：
所以，
所以，当且仅当时等号成立，此时.
内切圆面积的最大值为.
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