单元提升卷04 导数-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的是的导函数的图象，下列四个结论：
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③的零点为和；
④是的极大值点．
其中正确结论的序号是（ ）

A．①②B．②③C．③④D．①③④
【答案】A
【分析】利用导函数的图象，对①②③④四个选项逐一分析可得答案．
【详解】由导函数的图象可知，
当时，，
当时，，
所以在区间上单调递减，
在上单调递增，故①正确，②正确；
又和是的零点（是极值点），
不是的零点，且不是的极大值点，故③④均错误；
故选：A
2．已知的值是（ ）
A．3B．1C．2D．
【答案】C
【分析】根据导数值的定义计算即可.
【详解】根据导数值的定义：.
故选：C
3．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，构造函数，可得函数在上单调递减，再由其单调性即可求得不等式.
【详解】设，则，因为，所以，即函数在上单调递减，
则，即，即，
所以，即的解集为.
故选：D
4．函数 的导函数为，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的性质可得时，即可求导代入求解.
【详解】当时，则 ，
此时 ，
所以，
故选：B
5．函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意求解即可.
【详解】因为，所以，且点在的图像上，
所以在处的切线的斜率为，
所以在处的切线方程为，即.
故选：A.
6．已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意作出函数图象，可得的范围，得到，令，再由导数求最小值即可．
【详解】已知函数，作出函数图象如图：

当时，．
由，得，则．
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
，即的最小值为．
故选：A．
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】观察的形式构造函数，判断函数的单调性来比较大小.
【详解】，，.
构造函数，则,当时，,函数递增;当时，,函数递减;
因为 ,所以
故选：B
8．若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义得到，然后利用导数分析单调性求最值即可.
【详解】设切点坐标为，因为，
所以，故切线的斜率为：，
，则.
又由于切点在切线与曲线上，
所以，所以.
令，则，设，
，令得：，
所以当时，，是增函数；
当时，，是减函数.
所以.
所以的最大值为：1.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象，根据图象判断以下说法正确的是（ ）

A．曲线在附近增加
B．曲线在附近减少
C．曲线在附近比在附近增加的缓慢
D．曲线在附近比在附近增加的缓慢
【答案】AD
【分析】根据二次函数图象及导数的几何意义一一判断即可.
【详解】对于A、B选项，由图象可知，在与附近均增加，故A正确，B错误；
对于C、D选项，由图象及二次函数的单调性可知，
与均在对称轴左侧，函数单调递增，
但增加的趋势逐渐趋于平缓，且，，故C错误，D正确.
故选：AD
10．可能把直线作为切线的曲线是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意结合导数的几何意义逐项分析判断.
【详解】因为直线的斜率，
对于选项A：因为，则，
令，解得，故A正确；
对于选项B：因为，则，
又因为，则方程无解，故B错误；
对于选项C：因为，则，
令，解得，故C正确；
对于选项D：因为，则，
令，解得，故D正确；
故选：ACD.
11．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．
C．方程有实数解
D．存在实数，使得方程有4个实数解
【答案】BCD
【分析】对于A项，利用导函数计算即可判定，对于B项，通过求导判定函数单调区间，再比较自变量即可；对于C项，求导判定函数的极值再数形结合即可判定，对于D项，分类讨论，分离参数求导函数及数形结合即可判定.
【详解】由，
显然当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，故A错误；
对于B项，易知，由在上单调递增可知B正确；
对于C项，由上知在处取得极小值，而，故C正确，如图所示；

对于D项，，即，当，显然成立，即是其一根，当时，原方程等价于，令，
令，解得，即在上单调递减，
令，解得或时，即在和上单调递增，故在处取得极大值，在处取得极小值，，
又时，，可得的大致图象，如图所示，

当时，有三个不同的根，且均不为零，综上所述D正确；
故选：BCD
12．设函数为上的奇函数，为的导函数，，，则下列说法中一定正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由为上的奇函数，，可得的性质，可判断A，B；对，求导可得导函数的性质，即可判断C，D.
【详解】因为函数为上的奇函数，所以，因为，，所以当得，所以，故A正确；
又，可得，则，
所以函数关于直线对称，故的值无法确定，故B不正确；
因为，则①，所以关于轴对称，
又，所以，即，所以关于点对称，则②，
由①②得，所以，则，
故的周期为6，由②可得，即，所以，故C正确；
由②得，所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，且的最小值为0，则的值为______．
【答案】
【分析】利用导数求出，结合已知最小值可得结果.
【详解】的定义域为，
，
当时，，在上为减函数，此时无最小值，不合题意；
当时，令，得；令，得，
在上为减函数，在上为增函数，
所以，
令，，
令，得，令，得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，取得最大值，
故.
故答案为：.
14．已知曲线与曲线有公切线，则的方程为______.
【答案】
【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.
【详解】设直线与曲线相切于点，
因为，则，
所以该直线的方程为，即，
设直线与曲线相切于点，
因为，则，
所以该直线的方程为，即，
所以，消去得，
令，因为，所以，所以，
令，所以，则为增函数，
所以最多一个零点，容易知道，
所以只有一个解，所以，所以，
所以该直线的方程为，即.
故答案为：.
15．设函数在区间上是减函数，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】在区间上是减函数转化为在上恒成立，进而可得.
【详解】因，
，
若，，当时，，符合题意，
当时，得
，因，
故，
由题意在上恒成立，
设，则在上单调递减，
故
故，，
综上，
故答案为：
16．设函数在区间上有两个极值点，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】，
由题意知在上有两个不相等的实根，
将其变形为，设，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
的极大值为，又，
画出函数的大致图象如图，

，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．曲线上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线；
(2)垂直于直线；
(3)倾斜角为.
【答案】(1)是满足条件的点.
(2)是满足条件的点.
(3)是满足条件的点.
【分析】（1）设时满足条件的点，求得，由切线与直线平行，列出方程，即可求解；
（2）由切线与直线垂直，列出方程，即可求解；
（3）由切线的倾斜角为，得到，即可求解.
【详解】（1）解：设时满足条件的点，
由函数，可得，可得，即切线的斜率为
因为切线与直线平行，所以，解得，可得，
所以点是满足条件的点.
（2）解：由（1）知，切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，解得，可得，
所以点是满足条件的点.
（3）解：由（1）知，切线的斜率为，
因为切线的倾斜角为，所以其斜率为，可得，解得，可得，
所以点是满足条件的点.
18．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据复合函数的求导法则计算可得答案.
【详解】（1）
（2）
（3），
19．已知函数（a为常数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义求解，
（2）根据函数有两个不相等的极值点得到，故，变形得到函数，求导得到其单调性，得到的值域，得到答案.
【详解】（1）当时，，，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根，
从而得到，即，
又，故，且
令，则，
，
所以在上单调递减，
所以，即的值域为，
所以的范围是.
20．已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围．
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）求导，分和讨论可得；
（2）根据（1）中结论可得单调区间.
【详解】（1）的定义域为，，
当时，，在单调递增，满足题意；
当时，令，解得（舍去）或，要使在上单调递增，则，所以.
综上，的取值范围为.
（2）由（1）可知，当时，在单调递增，
当时，在单调递增，
令，解得，在单调递减.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
21．已知函数，在点处的切线方程是.
(1)求，的值；
(2)设函数，讨论函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；
（2），求函数的零点个数即与图象的交点个数，对求导，求出的单调性和极值，画出的图象，结合图像即可得出答案.
【详解】（1）因为，所以，
又因为在点处的切线斜率为，
又，求得：.
（2）由（1）知，，
令，则，
求函数的零点个数即与图象的交点个数，
，，
令，解得：；令，解得：或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，，的图象如下：

当或，与图象有1个交点，
当或，与图象有2个交点，
当，与图象有3个交点.
22．已知函数，
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)极大值点为，无极小值点；
(2).
【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再探讨导数值大于0和小于0的x范围作答.
（2）由给定不等式，构造函数，再借助导数求出函数最大值作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，
因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以的极大值点为，无极小值点.
（2）设，，依题意，，
求导得，令，，
显然函数在上单调递减，又，，
则，使得，即，有，即，
因此当时，，即，则单调递增，
当时，，即，则单调递减，
从而，解得，
所以实数的取值范围是.