专题2.5 二次函数与线段最值面积最值综合应用（四大题型）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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【题型1 线段差最大问题】
【题型2 线段和最小】
【题型3 周长最值问题】
【题型4 求面积最值】
【题型1 线段差最大问题】
【典例1】（2023•汝南县一模）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；
②在①的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB取得最大值时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x；
（2）①点B的坐标为（2，8）；
②P（﹣2，12）．
【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）①∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：m＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
②设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
如图2，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12）．
【变式1-1】（秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3①；
（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，
则TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC为最大，
故TC﹣TB的最大值为AC＝＝，
故答案为；
【变式1-2】（连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．
（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），
∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，
∴点P在直线x＝上，
∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，
此时点P为直线AC与直线x＝的交点，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴P（，﹣5）
【题型2 线段和最小】
【典例2】（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）MH+DH的最小值为；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，
则DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，
∵D′M＝＝，
∴MH+DH的最小值为；
【变式2-1】（2023•河南三模）如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接AC，点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）在直线x＝1上找一点P，使PA+PC的和最小，并求出点P的坐标；
​
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4，顶点的坐标为：（1，4.5）；
（2）点P（1，3）；
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
则点B的坐标为：（4，0），
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4，
当x＝1时，y＝﹣x2+x+4＝4.5，
即顶点的坐标为：（1，4.5）；
（2）∵点A关于抛物线的对称点为点B，
则连接BC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，
由抛物线的表达式知，点C（0，4），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，
即点P（1，3）；
【变式2-2】（2022秋•常德期末）如图，二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C，顶点为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接BP，CP，当BP+CP的长度最小时，求出点P的坐标；
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）（﹣1，2）；
【解答】解：（1）根据题意，设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
化为一般式得：y＝ax2+2ax﹣3a，
∴2a＝﹣2，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴当A，P，C三点共线时，BP+CP的长度最小，
此时点P坐标为直线AC与抛物线对称轴交点，
令x＝0，代入y＝﹣x2﹣2x+3得y＝3，
∴点C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A、C坐标代入得：，
解得，
则直线AC的解析式为y＝x+3，
由题意可得，抛物线的对称轴为直线，
将x＝﹣1代入y＝x+3得y＝2，
∴点P的坐标为（﹣1，2）；
【变式2-3】（2023•中宁县二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M（a，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求a的值．
【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣5；D（2，﹣9）；
（2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，
∴，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
∵y＝x2﹣4x+c经过点A（﹣1，0），
∴0＝1+4+c，
∴c＝﹣5，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，
∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣9）；
（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D交x轴于点M，此时C'D最小，即CM+DM的值最小，
令x＝0，则y＝﹣5，
∴点C的坐标为（0，﹣5），
∴点C'的坐标为（0，5），
设直线C'D的解析式为y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线C'D的解析式为y＝﹣7x+5，
令y＝0，则﹣7x+5＝0，
解得：，
即直线C'D与x轴的交点坐标为，
∴．
【变式2-4】（2023•太康县模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交y轴于点C，交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，作直线BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标；
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；
（2）点P（，）；
（3）﹣1≤xM≤1或2≤xM≤4．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝，
设直线BC的表达式为：y＝kx+2，
将点B的坐标代入上式得：0＝4k+2，
解得：k＝﹣，
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+2；
∵点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则BC与抛物线对称轴的交点即为点P，
当x＝时，y＝﹣x+2＝，
即点P（，）；
【题型3 周长最值问题】
【典例3】（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+6；
（2）△AOD周长的最小值为12；
【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），
将（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6），
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；
（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，
∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，
∴OB＝OC＝6，
∵O、E关于直线BC对称，
∴四边形OBEC为正方形，
∴E（6，6），
连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|，
此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，
∴AE＝＝＝10，
∵△AOD 的周长为DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值为10，
∴△AOD的周长的最小值为10+2＝12，
【变式3-1】（2023•盘锦三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
​
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；
（2）3+；
【解答】解：（1）∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，
∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．
由韦达定理，得
1+3＝﹣b，1×3＝c，
∴b＝﹣4，c＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．
由（1）知抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，A（1，0），B（3，0），
∴C（0，3），
∴BC＝＝3，AC＝＝．
∵点A、B关于对称轴x＝2对称，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC．
此时，PB+PC＝BC．
∴点P在对称轴上运动时，（PA+PC）的最小值等于BC．
∴△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3+；
【变式3-2】（2023春•民乐县校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是AC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴有一点Q，使△QBC的周长最小，求Q的坐标；
【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；
（2）点Q的坐标为（﹣，）；
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）由题意可知抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣，
由抛物线的对称性可知，点B关于对称轴x＝﹣的对称点是点A，设AC交对称轴点Q，此时△QCB的周长最小，
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
当x＝﹣时，y＝，
∴点Q的坐标为（﹣，）；
【变式3-3】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，
∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，
∴1+3＝﹣，1×3＝，
∴a＝1，b＝﹣4，
∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；
（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，3）．
∵点A、B关于对称轴对称，
∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC＝BC的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），
则，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵抛物线的对称轴为直线x＝2．
∴当x＝2时，y＝1．
∴抛物线对称轴上存在点M（2，1）符合题意，
∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．
∴AC＝＝，BC＝＝3，
∴AC+BC＝+3，
∴在抛物线的对称轴上存在点M，使△ACM的周长最小，△ACM周长的最小值为+3；
【题型4 求面积最值】
【典例4】（2023•利津县一模）综合与实践
如图，抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，当点D在第四象限时，连接BD，CD和BC，得到△BCD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
【答案】（1）A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣6）；
（2）；．
【解答】解：（1）把y＝0代入y＝2x2﹣4x﹣6中，
得2x2﹣4x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），
把x＝0代入y＝2x2﹣4x﹣6中，得y＝﹣6，
∴点C的坐标是（0，﹣6）；
（2）设点D的坐标是（m，2m2﹣4m﹣6），
如图，过点D作DH⊥x轴于点H，作DG⊥y轴于点G，连接OD，
∴DG＝m，DH＝﹣2m2+4m+6，
∵点B的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣6），
∴OB＝3，OC＝6，
∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC，
∴，
化简，得，
∵﹣3＜0，
∴当时，△BCD的面积最大为，
∴，
∴点D的坐标是；
【变式4-1】（2022秋•金华期末）已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得△ABQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）P点坐标为（﹣1，2）；
（3）Q点的坐标为（，）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，3），
∴，
解得b＝2，c＝3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）对称轴为x＝﹣＝﹣1，
令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（1，0），
如图所示，
∵点C与点A关于直线x＝﹣1对称，
∴连接AB与对称轴x＝﹣1的交点即为所求之P点，
∵BC的长是个定值，
则此时的点P，使△PBC的周长最小，
由于A、C两点关于对称轴对称，
则此时 PB+PC＝PB+PA＝AB最小．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
由A（﹣3，0）、B（0，3）可得：
，
解得k＝1，b＝3，
∴直线AB解析式为y＝x+3；
当x＝﹣1时，y＝2，
∴P点坐标为（﹣1，2）；
（3）结论：存在．
设Q（x，﹣x2﹣2x+3）是第二象限的抛物线上一点，
过点Q作QD⊥x轴交直线AB于点E，则E的坐标为（x，x+3），
∴QE＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S△ABQ＝S△BQE+S△AQE＝PE•OA＝﹣（x2+3x）＝﹣（x+）2+，
∴当x＝时，S△ABQ取得最大值．
∴当x＝时，y＝﹣x2﹣2x+3＝，
∴Q（，）．
所以，在第二象限的抛物线上，存在一点Q，使得△ABQ的面积最大；Q点的坐标为（，）．
【变式4-2】（2023•娄底模拟）如图1，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC，当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）点P的坐标为（2，6）；
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，
在y＝﹣x2+3x+4中，当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
将点B（4，0）代入y＝kx+4，
得4k+4＝0，
∴k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（x，﹣x2+3x+4），则N（x，﹣x+4），
∴PN＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x，
∴S△PBC＝PN•OB＝（﹣x2+4x）×4＝﹣2（x﹣2）2+8，
∴当x＝2时，△PBC的面积最大，
∴P（2，6）；
【变式4-3】（2023•晋中模拟）综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（1，4），与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式及点A，B、C的坐标；
（2）如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；
【答案】（1）点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）；
（2）点P（，）；
【解答】解：（1）由题意得，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝﹣1或3，
即点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）；
（2）过点作PH∥y轴交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△BCP面积＝S△PHC+S△PHB＝PH•OB＝×（﹣x2﹣2x+3+x﹣3）＝﹣（x2﹣3x），
∵﹣＜0，则△BCP面积有最大值，
此时，点P（，）；
【变式4-4】（2022秋•南川区期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当动点P运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；
【答案】（1）y2＝x2﹣2x﹣3；
（2）当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为；
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
S四边形ACPB＝S△AOC+S△COP+S△BOP，
＝
＝＝，
∵，
∴当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为，
【变式4-5】（2022秋•渝北区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标；
【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）S△PBC的最大值为时，P（，﹣）．
（3）满足题意的点N的坐标为：（﹣，﹣）或（，）或（，﹣）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点代入抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0），
∴，
解得．
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3；
如图，过点P作PN∥y轴交BC于点N，
设点P的横坐标为t，
∴P（t，t2﹣2t﹣3），N（t，t﹣3），
∴PN＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴S△PBC＝•（xB﹣xC）•PN
＝•（0+3）•（﹣t2+3t）
＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S△PBC的最大值为，此时P（，﹣）；
【变式4-6】（2023春•青秀区校级期末）如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．
​
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BC上方，试求出△BCP面积的最大值；
【答案】（1）y＝−x2+4x+5；
（2）△BCP面积的最大值为；
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx+5得：
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）如图1，过P作PD⊥x轴交BC于E，
在y＝−﹣2+4x+5中，令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设E（a，﹣a+5），则P（a，﹣a2+4a+5），
∴S△BCP＝（﹣a2+4a+5+a﹣5）×5＝﹣a2+a＝﹣（a﹣）2+；
∴△BCP面积的最大值为；
【变式4-7】（2023•仁怀市模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交两坐标轴于B、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A，B，C三点且A（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P？使得PA+PC的长度最短．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在直线上方抛物线上是否存在点Q？使得△QBC的面积有最大值．若存在，求出点Q的坐标及此时△QBC的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）在抛物线的对称轴上存在点P使得PA+PC的长度最短，点P的坐标为（，）；（3）在直线上方抛物线上存在点Q，使得△QBC的面积有最大值．点Q的坐标为（2，6），此时△QBC的面积为8．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）．
令y＝0，则x＝4，
∴B（4，0）．
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A，B，C三点且A（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）在抛物线的对称轴上存在点P使得PA+PC的长度最短．点P的坐标为（，），理由：
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣，
∴抛物线y＝﹣x2+3x+4的对称轴为直线x＝．
设抛物线的对称轴与直线BC交于点P，
∵直线x＝为AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC＝BC，
∴此时点P使得PA+PC的长度最短．
令x＝，则y＝﹣4＝．
∴在抛物线的对称轴上存在点P使得PA+PC的长度最短，点P的坐标为（，）；
（3）在直线上方抛物线上存在点Q，使得△QBC的面积有最大值．点Q的坐标为（2，6），此时△QBC的面积为8，理由：
过点Q作QD∥y轴，交直线BC于点D，如图，
设点Q（m，﹣m2+3m+4），则D（m，﹣m+4），
∴QD＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m．
∵B（4，0），
∴OB＝4．
∴△QBC的面积＝S△QCD+S△QBD
＝QD•OB
＝4（﹣m2+4m）
＝﹣2m2+8m
＝﹣2（m﹣2）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当m＝2时，△QBC的面积有最大值8，此时点Q的坐标为（2，6）．
∴在直线上方抛物线上存在点Q，使得△QBC的面积有最大值．点Q的坐标为（2，6），此时△QBC的面积为8．
【变式4-8】（2023•德惠市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求一次函数y＝kx+b和二次函数y＝﹣x2+mx+n的解析式．
（2）点P是二次函数图象上一点，且位于直线AB上方，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当△PAB面积最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；一次函数表达式为：y＝﹣x+3；
（2）点P（，）；
（3）点M的坐标为：（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
即二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
故一次函数表达式为：y＝﹣x+3；
（2）过点P作PH∥y轴交AB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PAB面积＝S△PHA+S△PHB＝PH×OA＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣（x2﹣3x），
∵＜0，故△PAB面积有最大值，此时点P（，）；
【变式4-9】（2023•资兴市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线L交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线AC下方抛物线y＝x2+bx+c的一个动点，当△PAC面积最大时，求点P的坐标及△PAC面积最大值．
​
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）S△APC最大值为，此时点P（，﹣）；
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
过点P作PE∥y轴交AC于点E．
设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、Q的坐标分别为：P（m，m2﹣2m﹣3），Q（m，﹣m﹣1）；
∵P点在Q点的下方，PQ＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，
∴S△APC＝S△PCQ+S△APQ＝PQ•（xC﹣xA）＝（﹣m2+m+2）×3＝﹣（m﹣）2+．
∴当m＝时，S△APC最大，最大值为，此时点P（，﹣）；
【变式4-10】（2023•顺德区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线y＝﹣x+4于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段BC上一点，过点D作直线l∥AC，交x轴于点E．
连接AD，求△ADE面积的最大值；
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4．
（2）．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4于坐标轴上B，C两点，
∴B（4，0），C（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线y＝﹣x+4于坐标轴上B，C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
答：抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），
∵C（0，4），
∴yAC＝4x+4，
∵直线l∥AC，
设yDE＝4x+n，
∵点D为线段BC上一点，设D（m，﹣m+4），
代入得n＝﹣5m+4，
∴yDE＝4x﹣5m+4，
∴，
∴，
∴＝，
当m＝2时，S△ADE有最大值．