专题2.6 二次函数与特殊三角形存在性综合问题（三大题型）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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【题型1 等腰三角形的存在性问题】
【题型2 直角三角形的存在性问题】
【题型3 等腰直角三角形存在性问题】
等腰三角形的存在性问题
【方法1 几何法】“两圆一线”
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
注意：若有重合的情况，则需排除．
以点 C1 为例，具体求点坐标：
过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，
又
类似可求点 C2 、C3、C4 ．关于点 C5 考虑另一种方法．
【方法2 代数法】点-线-方程
表示点：设点C5坐标为(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），
表示线段：

联立方程：，，
直角三角形的存在性
【方法1 几何法】“两线一圆”
（1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C；
（2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C；
（3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C．（直径所对的圆周角为直角）

如何求得点坐标？以为例：构造三垂直．


【方法2 代数法】点-线-方程
【题型1 等腰三角形的存在性问题】
【典例1】（2023•兴庆区校级模拟）如图，已经抛物线经过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为 x＝2．
​（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是x轴上的一点，且△OAB为等腰三角形，请直接写出B点坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）B的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（10，0）或（5，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点O（0，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线经过点（4，0），
设抛物线的解析式为y＝ax（x﹣4），
把A（5，5）代入得：5＝5a，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）设B（m，0），
∵O（0，0），A（5，5），
∴OA2＝50，OB2＝m2，AB2＝（m﹣5）2+25，
①若OA＝OB，则50＝m2，
解得m＝5或m＝﹣5，
∴B（5，0）或（﹣5，0）；
②若OA＝AB，则50＝（m﹣5）2+25，
解得m＝0（与O重合，舍去）或m＝10，
∴B（10，0）；
③若OB＝AB，则m2＝（m﹣5）2+25，
解得m＝5，
∴B（5，0）；
综上所述，B的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（10，0）或（5，0）．
【变式1-1】（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）；
（3）M（﹣1，1）．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，
连接OP，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
∴PQ＝4，OQ＝1，
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝1，x2＝﹣3，
∴OA＝3，
∴S四边形AOBP＝S△AOP+S△BOP＝＝＝；
（3）设M（﹣1，m），
由AM2＝BM2得，
[（﹣3）﹣（﹣1）]2+m2＝（﹣1）2+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴M（﹣1，1）．
【变式1-2】（2022秋•亳州期末）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
解得：b＝﹣4，c＝3，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴BC＝3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当BP＝BC时，OP＝OC＝3，
∴P3（0，﹣3）；
③当PB＝PC时，
∵OC＝OB＝3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；
【变式1-3】（2023春•中山市期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
定义抛物线y＝﹣x2+2x+3．令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
①若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
【变式1-4】（2022秋•怀远县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；
【变式1-5】（2023•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）•（x﹣3），
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（1，m），
∵PB2＝PC2，
∴（3﹣1）2+m2＝1+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴P（1，1）；
【变式1-6】（2023•隆昌市校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．
（1）求此抛物线的表达式：
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，
即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4，
（2）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴PN有最大值，
当m＝2时，PN的最大值为．
（3）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），
则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，
同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，
设直线AC的中点为K（﹣，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，
同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，
①当AC＝AQ时，如图1，
则AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），
故点Q（1，3），
②当AC＝CQ时，如图1，
CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，
则QM＝MB＝，
故点Q（，）．
③当CQ＝AQ时，
联立①②，，
解得，x＝（舍去），
综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（，）．
【变式1-7】（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y＝kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
由0＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴AO＝1，AB＝4，
S四边形ABPC＝S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
＝AB•OC+QP•BF+QP•OF
＝×4×3+（﹣x2+3x）×3
＝﹣（x﹣）2+．
当x＝时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；
（3）设点Q的坐标为（m，m﹣3），
∵O（0，0），C（0，﹣3），
∴OC＝3，QC＝＝|m|，QO＝．
△QOC为等腰三角形分三种情况：
①当OC＝QC时，3＝|m|，
解得：m＝±，
此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；
②当OC＝QO时，3＝，
解得：m＝3或m＝0（舍去），
此时点Q的坐标为（3，0）；
③当QC＝QO时，有|m|＝，
解得：m＝，
此时点Q的坐标为（，﹣）．
综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．
【变式1-8】（2022秋•朔州期末）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），
∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4＝0，
解得：b＝，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+x+4，
∴y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣3）2+，
∴对称轴方程为：x＝3．
（2）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，即﹣x2+x+4＝0，整理得x2﹣6x﹣16＝0，
解得：x＝8或x＝﹣2，
∴B（8，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
（3）存在，
理由：∵抛物线的对称轴方程为：x＝3，
可设点Q（3，t），∵A（﹣2，0），C（0，4），
∴AC＝2，AQ＝，CQ＝．
①当AQ＝CQ时，
有＝，
25+t2＝t2﹣8t+16+9，
解得t＝0，
∴Q1（3，0）；
②当AC＝AQ时，
有2＝，
∴t2＝﹣5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
③当AC＝CQ时，
有2＝，
整理得：t2﹣8t+5＝0，
解得：t＝4±，
∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．
【变式1-9】（2022秋•港南区期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BCP的面积最大值；
（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+8；
（2）32；
（3）存在，（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，﹣5+5）；
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，
∴，
解得﹣，
∴y＝﹣x2+3x+8；
（2）令y＝0，则﹣x2+3x+8＝0，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+8，
过点P作PG∥y轴交BC于G，
设P（t，﹣t2+3t+8），则G（t，﹣t+8），
∴PG＝﹣t2+3t+8+t﹣8＝﹣t2+4t，
∴S△CBP＝8×（﹣t2+4t）＝﹣2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32，
∴当t＝4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32；
（3）存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+3x+8＝﹣（x﹣3）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴E（3，5），
设M（3，m），
∴BE＝5，BM＝，EM＝|m﹣5|，
当BE＝BM时，5＝，
解得m＝5（舍）或m＝﹣5，
∴M（3，﹣5）；
当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，
解得m＝5+5或m＝﹣5+5，
∴M（3，5+5）或（3，﹣5+5）；
当BM＝EM时，＝|m﹣5|，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
综上所述：M点坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，﹣5+5）；
【题型2 直角三角形的存在性问题】
【典例2】（2022秋•云阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线得解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【答案】（1）求抛物线得解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；
（3）在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
∴再将C点坐标（0，﹣3）代入，得：
a（0+3）（0﹣1）＝﹣3，
解得 a＝1，
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，
∴该抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，如图1，
设直线AC的解析式为y＝kx+m，由题意，得
，解得，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．
再设动点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），
∴PN＝PE﹣NE＝﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）＝﹣x2﹣3x．
∵S△PAC＝S△PAN+S△PCN，
∴S＝PN•OA
＝×3（﹣x2﹣3x）
＝﹣（x+）2+，
∴当x＝﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；
（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝y＝（x+1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）．
设点M的坐标为（0，t）则，
∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），M（0，t），
∴AD2＝（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2＝20，
AM2＝（0+3）2+（t﹣0）2，
DM2＝（0+1）2+（t+4）2，
分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图2，
由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2，
即（0+3）2+（t﹣0）2+20＝（0+1）2+（t+4）2，
解得t＝，
所以点M的坐标为（0，）；
②当D为直角顶点时，如图3，
由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2，
即（0+1）2+（t+4）2+20＝（0+3）2+（t﹣0）2，
解得t＝﹣，
所以点M的坐标为（0，﹣）；
③当M为直角顶点时，如图4，
由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2，
即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2＝20，
解得t＝﹣1或﹣3，
所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
【变式2-1】（2023春•兴宁区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．​
（1）当点B的坐标为时，直接写出t的值；
（2）s关于t的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；
（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t＝2；
（2）b＝﹣1，a＝﹣；
（3）点A（﹣2，1），S△ABC＝2或点A（﹣2，9），S△ABC＝10或点A（﹣2，3），S△ABC＝2．
【解答】解：（1）过点B作BH⊥x轴于H，设直线l1交x轴于P，直线l2与x轴交于点M，
∵直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，
∴点D（﹣2，﹣1），
∵直线l1交x轴于P，
∴点P（﹣1，0），
∴OP＝1，
∵点B（﹣，），
∴BH＝OH＝，BD＝＝，
∴BH＝PH＝，
∴∠BPH＝45°＝∠MPD，
∵AB⊥BD，
∴∠ADB＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝3，
∴点A（﹣2，2），
∴t＝2；
（2）如图2可知：当t＝7时，s＝4，
把（7，4）代入s＝t2+bt﹣，中得：+7b﹣＝4，
解得：b＝﹣1，
如图3，过B作BH∥y轴，交AC于H，
由（1）知：当t＝2时，A（﹣2，2），B（﹣，），
∵C（0，3），
设AC的解析式为：y＝kx+n，
则，
解得，
∴AC的解析式为：y＝x+3，
∴H（﹣，），
∴BH＝﹣＝，
∴s＝BH•|xC﹣xA|＝××2＝，
把（2，）代入s＝a（t+1）（t﹣5）得：a（2+1）（2﹣5）＝，
解得：a＝﹣；
（3）存在，设B（x，x+1），
分两种情况：
①当∠CAB＝90°时，如图4，
∵AB⊥l1，
∴AC∥l1，
∵l1：y＝x+1，C（0，3），
∴AC：y＝x+3，
∴A（﹣2，1），
∵D（﹣2，﹣1），
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），
∴B（﹣1，0），即B在x轴上，
∴AB＝＝，AC＝＝2，
∴S△ABC＝AB•AC＝××2＝2；
②当∠ACB＝90°时，如图5，
∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），
∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，
∴（x+1﹣t）2＝（x+2）2，
∴x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，
解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，
Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，
把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，
解得：x＝0或3，
当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，
∴A（﹣2，9），B（3，4），
∴AC＝＝2，BC＝＝，
∴S△ABC＝AC•BC＝××2＝10；
当x＝0时，如图6，
此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，
∴S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝2，
综上所述：点A（﹣2，1），S△ABC＝2或点A（﹣2，9），S△ABC＝10或点A（﹣2，3），S△ABC＝2．
【变式2-2】（2023•庄浪县三模）如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C构成的三角形的面积最大，求
出此时P点的坐标；
（3）若M是抛物线上的一个动点，当M运动到何处时，△MBC是以BC为直角边的直角三角形，求出此时
点M的坐标．
​
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）点P（1，）；
（3）点M的坐标为：（﹣，﹣）或（，）．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4①；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴交BC于点H，
由点C、B的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣2x+4，
则S△PBC＝S△PHB+S△PHC＝PH×OB＝PH，
设点P的坐标为：（m，﹣m2+m+4），则点H（﹣2m+4），
则PH＝﹣m2+m+2m﹣4＝﹣m2+3m，
∵，故PH有最大值，此时，点P（1，）；
（3）由点B、C的坐标知，tan∠CBA＝2，
当∠MBC为直角时，如图2，
则tan∠ABM＝，
则直线BM的表达式为：y＝（x﹣xB）＝（x﹣2）＝x﹣1②，
联立①②得：﹣x2+x+4＝x﹣1，
解得：x＝2（舍去）或﹣，
即点M（﹣，﹣）；
当∠CBM′为直角时，
同理可得，直线CM′的表达式为：y＝x﹣4③，
联立①③得：﹣x2+x+4＝x﹣4，
解得：x＝0（舍去）或，
即点M′（，）；
综上，点M的坐标为：（﹣，﹣）或（，）．
【变式2-3】（2023•喀喇沁旗一模）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）判断△BCD的形状并说明理由．
（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），
∴y＝﹣x2+bx+3，
将点B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，
得0＝﹣9+3b+3，
∴b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
∵直线l经过B（3，0），C（0，3），
∴可设直线l的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入，
得0＝3k+3，
∴k＝﹣1，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3；
（2）△BCD是直角三角形，理由如下：
如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∵C（0，3），B（3，0），
∴HD＝HC＝1，OC＝OB＝3，
∴△DHC和△OCB是等腰直角三角形，
∴∠HCD＝∠OCB＝45°，
∴∠DCB＝180°﹣∠HCD﹣∠OCB＝90°，
∴△BCD是直角三角形；
（3）∵EF⊥x轴，∠OBC＝45°，
∴∠FGB＝90°﹣∠OBC＝45°，
∴∠EGC＝45°，
∴若△ECG是直角三角形，只可能存在∠CEG＝90°或∠ECG＝90°，
①如图2﹣1，当∠CEG＝90°时，
∵EF⊥x轴，
∴EF∥y轴，
∴∠ECO＝∠COF＝∠CEF＝90°，
∴四边形OFEC为矩形，
∴yE＝yC＝3，
在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝3时，x1＝0，x2＝2，
∴E（2，3）；
②如图2﹣2，当∠ECG＝90°时，
由（2）知，∠DCB＝90°，
∴此时点E与点D重合，
∵D（1，4），
∴E（1，4），
综上所述，当△ECG是直角三角形时，点E的坐标为（2，3）或（1，4）．
【变式2-4】（2023•铁岭模拟）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝的图象与一次函数y＝﹣的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．​
【答案】（1）二次函数的解析式为y＝x2+x+1；
（2）四边形BDEC的面积为4.5；
（3）P的坐标为（﹣1，0）或（﹣3，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+1中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝2，
∴A（2，0），B（0，1），
把B（0，1），D（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2+x+1；
（2）如图：
在y＝x2+x+1中，令y＝0得0＝x2+x+1，
解得x＝﹣2或x＝﹣1，
∴E（﹣2，0），D（﹣1，0），
∵A（2，0），AD＝3，
∴AE＝4，
由解得或，
∴C（﹣4，3），
∴S△ACE＝×4×3＝6，S△ABD＝×3×1＝1.5，
∴四边形BDEC的面积S＝S△ACE﹣S△ABD＝6﹣1.5＝4.5，
∴四边形BDEC的面积为4.5；
（3）设P（m，0），
∵B（0，1），C（﹣4，3），
∴BC2＝20，PB2＝m2+1，PC2＝（m+4）2+9，
当P为直角顶点时，PB2+PC2＝BC2，
∴m2+1+（m+4）2+9＝20，
解得m＝﹣1或m＝﹣3，
∴P（﹣1，0）或（﹣3，0）；
当B为直角顶点时，PB2+BC2＝PC2，
∴m2+1+20＝（m+4）2+9，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，0），
当C为直角顶点时，PC2+BC2＝PB2，
∴（m+4）2+9+20＝m2+1，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，0），
综上所述，P的坐标为（﹣1，0）或（﹣3，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．
【变式2-5】（2023•怀化二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠OEF＝∠BAE时，求点F的横坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；
（2）点F的坐标为：（2﹣，﹣）或（，）；
（3）存在，点P的坐标为：（﹣，13）；
【解答】解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），
令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），
把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2①；
（2）当点F在x轴的下方时，如图1，
∵∠OEF＝∠BAE，则直线EF∥AB，
故设直线EF的表达式为：y＝（x﹣xE）＝（x﹣2）＝x﹣1②，
联立①②得：x2﹣x﹣2＝x﹣1，
解得：x＝2﹣（不合题意的值已舍去），
即点F的坐标为：（2﹣，﹣）；
当点F（F′）在x轴上方时，
同理可得，直线EF′的表达式为：y＝﹣x+1③，
联立①②得：x2﹣x﹣2＝﹣x+1，
解得：x＝（不合题意的值已舍去），
即点F的坐标为：（，），
综上，点F的坐标为：（2﹣，﹣）或（，）；
（3）存在，理由：
如图2，∵△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，即∠PAB＝90°，
由直线AB的表达式知，tan∠OAB＝，则tan∠PAO＝2，
则直线PA的表达式为：y＝﹣2（x﹣xA）＝﹣2（x﹣4）＝﹣2x+8④，
联立①④得：x2﹣x﹣2＝﹣2x+8，
解得：x＝4（舍去）或﹣，
即点P的坐标为：（﹣，13）；
【变式2-6】（2023•金湾区一模）如题22图，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，并且经过点A（﹣2，0），交x轴于另一点B，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；
（3）在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）点P到直线BC距离的最大值为，此时点P的坐标（3，）；
（3）在直线BC下方的抛物线上是存在点Q，使得△QBC为直角三角形，此时点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（﹣10，﹣32）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，并且经过点A（﹣2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）设P（p，﹣p2+p+3）．
如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥x轴于N，交BC于D．
∵y＝﹣x2+x+3，
∴当x＝0时，y＝3，即C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+x+3＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，即B（6，0）．
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵PD⊥x轴，且D在BC上，
∴D（p，﹣p+3），
∴S△PBC＝S△PDC+S△PBD
＝PD•ON+PD•NB
＝PD•（ON+NB）
＝PD•OB
＝（﹣p2+p+3+p﹣3）×6
＝﹣p2+p
＝﹣（p﹣3）2+，
∴当p＝3时，△PBC面积最大，最大值为．
∵BC为定值，
∴△PBC面积最大时，点P到直线BC的距离最大，即PM最大．
∵B（6，0），C（0，3），
∴BC＝＝3，
∴S△PBC＝BC•PM＝PM＝，
∴PM＝，即点P到直线BC距离的最大值为．
当p＝3时，﹣p2+p+3＝，
∴点P的坐标为（3，）；
（3）如图，假设在直线BC下方的抛物线上存在点Q（x，﹣x2+x+3），使得△QBC为直角三角形，则x＜0或x＞6．
∵B（6，0），C（0，3），
∴BC2＝62+32＝45．
当△QBC为直角三角形时，分两种情况：
①如果∠Q1CB＝90°时，那么Q1B2＝BC2+Q1C2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+x+3）2＝45+x2+（﹣x2+x）2，
解得x＝0（舍去），或x＝﹣4，
当x＝﹣4时，﹣x2+x+3＝﹣×（﹣4）2+（﹣4）+3＝﹣5，
∴点Q1的坐标为（﹣4，﹣5）；
②如果∠Q2BC＝90°时，那么Q2C2＝BC2+Q2B2，
∴x2+（﹣x2+x）2＝45+（x﹣6）2+（﹣x2+x+3）2，
解得x＝6（舍去），或x＝﹣10，
当x＝﹣10时，﹣x2+x+3＝﹣×（﹣10）2+（﹣10）+3＝﹣32，
∴点Q2的坐标为（﹣10，﹣32）；
综上所述，在直线BC下方的抛物线上是存在点Q，使得△QBC为直角三角形，此时点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（﹣10，﹣32）．
【题型3 等腰直角三角形存在性问题】
【典例3】（2023•增城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，
得，
解得，
∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PN∥y轴，
∴∠MNP＝45°，
∵PM⊥BC，
∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，
设BC的解析式为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴BC解析式为y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），
∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，
∴P（，），
故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；
（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．
∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，
∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEM+∠CEN＝90°，
∵∠QEM+∠MQE＝90°，
∴∠EQM＝∠CEN，
∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，
∴△EMQ≌△CNE（AAS），
∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，
∴|xQ|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝﹣2，x＝3（舍去），
∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），
②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，
同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），
④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，
同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．
【变式3-1】（2023•抚远市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2．
（2）P（3，4）或（1，2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图，∵PQ⊥x轴于Q，
∴∠PQA＝90°，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ，
∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣2上，
∴设点Q的坐标为（m，0）则点P（m，m2﹣m﹣2），
∴AQ＝|m﹣（﹣1）|＝|m+1|，PQ＝|m2﹣m﹣2|，
∴|m+1|＝|m2﹣m﹣2|，
∴m+1＝m2﹣m﹣2或m+1＝﹣（m2﹣m﹣2），
即m2﹣2m﹣3＝0或m2＝1，
当m2﹣2m﹣3＝0时，
解得，m＝3或m＝﹣1（舍去），
此时P（3，4），
当m2＝1时，
解得，m＝1或m＝﹣1（舍去），
此时P（1，﹣2），
综上得，点P的坐标为P（3，4）或（1，2）．
【变式3-2】（2023•富锦市校级一模）如图，是抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2．
（2）P（3，4）或（1，﹣2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．
∴，
解得，．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图，∵PQ⊥x轴于Q，
∴∠PQA＝90°，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ，
∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣2上，
∴设点Q的坐标为（m，0）则点P（m，m2﹣m﹣2），
∴AQ＝|m﹣（﹣1）|＝|m+1|，PQ＝|m2﹣m﹣2|，
∴|m+1|＝|m2﹣m﹣2|，
∴m+1＝m2﹣m﹣2或m+1＝﹣（m2﹣m﹣2），
即m2﹣2m﹣3＝0或m2＝1，
当m2﹣2m﹣3＝0时，
解得，m＝3或m＝﹣1（舍去），
此时P（3，4），
当m2＝1时，
解得，m＝1或m＝﹣1（舍去），
此时P（1，﹣2），
综上得，点P的坐标为P（3，4）或（1，﹣2）．
【变式3-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
​（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M为该抛物线的对称轴l上一点，点P为该抛物线上的 点且在l左侧，当△AMP是以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）M的坐标为（1，1）或．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3得，y＝﹣（x﹣1）2+4；
设M点的坐标为（1，m），过点M作PM⊥AM交抛物线于点P，过点P作PE⊥对称轴于点E，对称轴与x轴交于点D，
①当点M在x轴上方时，
∵PM＝AM，∠PMA＝90°，
∴∠AMD+∠PME＝90°，
∵∠MAD+∠AMD＝90°，
∴∠MAD＝∠PME，
∴△AMD≌△MPE（AAS），
∴PE＝DM＝m，EM＝AD＝2，
∴P点的坐标为（1﹣m，2+m），
∴﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝2+m，
解得：m1＝﹣2（舍去），m2＝1，
∴M的坐标为（1，1）；
②当点M在x轴上时，显然不适合题意；
③当点M在x轴下方时，同①可证：
△AMD≌△MPE（AAS），
∴PE＝DM＝﹣m，EM＝AD＝2，
∴P点的坐标为（m+1，m﹣2），
∴﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝m﹣2，
整理得：m2+5m﹣2＝0，
解得：（舍去），，
∴M的坐标为；
∴M的坐标为（1，1）或．
【变式3-4】（2023•西安一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣1的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴于点M，以PM为斜边作等腰直角三角形PMN，当点N恰好落在y轴上时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝2x2+3x﹣1；
（2）点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，1）或（，）或（，）．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，
∴B（0，﹣1），
∵抛物线y＝ax2+bx﹣1的顶点A的坐标为（﹣，﹣），
∴y＝a（x+）2﹣，
将B（0，﹣1）代入y＝a（x+）2﹣得a﹣＝﹣1，
解得a＝2，
∴y＝2（x+）2﹣＝2x2+3x﹣1；
（2）过点P作PQ⊥y轴于点Q，
∵以PM为斜边作等腰直角三角形PMN，
∴∠NPM＝∠NMP＝45°，
∵PM⊥x轴，PQ⊥y轴，
∴PM⊥PQ，
∴∠NPQ＝∠OMN＝45°，四边形PQOM是矩形，
∴△PQN、△OMN是等腰直角三角形，PQ＝OM，OQ＝PM，
∴PQ＝QN，OM＝ON，
∴ON＝OM，ON＝OQ，
设点P（m，2m2+3m﹣1），
∴OQ＝|2m2+3m﹣1|，OM＝|m|，
∴|2m2+3m﹣1|＝|m|，
解得m＝﹣1或或或．
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，1）或（，）或（，）．
【变式3-5】（2023•惠民县自主招生）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a＝6，
解得：a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB于点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB解析式为y＝kx+m，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
，
解得：，
则直线AB解析式为y＝﹣x+6，
设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则N（t，﹣t+6），
∴PN＝﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+2t+6+t﹣6＝﹣t2+3t，
∴S△PAB＝S△PAN+S△PBN
＝PN•AG+PN•BM
＝PN•（AG+BM）
＝PN•OB
＝×（﹣t2+3t）×6
＝﹣t2+9t
＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，P位于（3，）时，△PAB的面积有最大值；
方法二：如图2，连接OP，作PH⊥x轴于点H，作PG⊥y轴于点G，
设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则PH＝﹣t2+2t+6，PG＝t，
S△PAB＝S△PAO+S△PBO﹣S△ABO
＝×6×t+×6×（﹣t2+2t+6）﹣×6×6
＝﹣t2+9t
＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，即P位于（3，）时，△PAB的面积有最大值
（3）如图3，
若△PDE为等腰直角三角形，
则PD＝PE，
设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，
∴PD＝﹣a2+2a+6﹣（﹣a+6）＝﹣a2+3a，＝﹣，
则b＝4﹣a，
∴PE＝|a﹣（4﹣a）|＝|2a﹣4|＝2|2﹣a|，
∴﹣a2+3a＝2|2﹣a|，
解得：a＝4或a＝5﹣，
所以P（4，6）或P（5﹣，3﹣5）．