专题4.3 圆中利用转化思想求角度（4大类题型）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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【题型3 利用直径构造直角三角形转化角】
【题型4 利用特殊数量关系构造特殊角转化角】
【题型1利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】
1．（2022秋•白碱滩区期末）如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠C＝45°，∠AMD＝75°，则∠D的度数是（ ）
A．15°B．25°C．30°D．75°
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠B＝45°，
∵∠AMD＝75°，
∴∠D＝75°﹣45°＝30°，
故选：C．
2．（2022秋•安康期末）如图，AB为⊙O直径，点D是AB上方圆上一点，若∠AOC＝110°，则∠D度数是（ ）
A．70°B．35°C．40°D．45°
【答案】B
【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝70°，
∴∠D＝∠BOC＝35°，
故选：B．
3．（2022秋•乳山市期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，则∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，
∴∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝54°，
故选：B．
4．（2022秋•许昌期末）如图，OA，OB是⊙O的半径，若∠AOB＝50°，则∠ACB的度数是（ ）
A．25°B．50°C．75°D．100°
【答案】A
【解答】解：∵∠AOB和∠ACB都对，
∴∠ACB＝∠AOB＝×50°＝25°．
故选：A．
5．（2023秋•黔西南州期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点．若∠B＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．60°B．50°C．30°D．15°
【答案】A
【解答】解：∵＝，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°，
故选：A．
6．（2022秋•衢州期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠OBA的度数是（ ）
A．75°B．70°C．65°D．55°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOB和∠ACB都对，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×35°＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝×（180°﹣70°）＝55°．
故选：D．
7．（2022秋•邯山区期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于（ ）
A．65°B．35°C．25°D．15°
【答案】C
【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝50°，
∴∠D＝∠BOC＝25°，
故选：C．
8．（2022•碧江区 二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠AOB＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．80°
【答案】A
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝50°，
∴∠ACB∠AOB＝×50°＝25°．
故选：A．
9．（2022•南岗区校级二模）如图，CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠A的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．25°
【答案】D
【解答】解：∵OA∥DE，
∴∠D＝∠AOD＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝∠AOD＝25°．
故选：D．
10．（2022秋•阜宁县期中）如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（ ）
A．50°B．40°C．45°D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∵BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故选：B．
11．（2022•驻马店二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．60°B．30°C．45°D．50°
【答案】A
【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝30°；
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝120°；
∴∠ACB＝∠AOB＝60°；故选A．
12．（2022秋•柯城区期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝36°，则∠AOB的度数是（ ）
A．72°B．54°C．36°D．18°
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×36°＝72°．
故选：A．
13．（2022秋•连云港期中）如图，在⊙O中，＝，若∠B＝70°，则∠A等于（ ）
A．70°B．40°C．20°D．140°
【答案】B
【解答】解：在⊙O中，
∵＝，
∴∠C＝∠B＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：B．
14．（2022秋•南岗区校级期中）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠ACO等于（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝×（180°﹣100°）＝40°，
故选：D．
15．（2022秋•邳州市期中）如图，在⊙O中，∠A＝30°，则的度数为（ ）
A．30°B．15°C．60°D．40°
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∴的度数为60°，
故选：C．
【题型2 构造圆内接四边形转化】
16．（2022•武威模拟）如图，点B，D，C是⊙O上的点，∠BDC＝120°，则∠BOC是（ ）
A．120°B．130°C．150°D．160°
【答案】A
【解答】解：在优弧BC上取点E，连接BE，CE，如图所示：
∵∠BDC＝120°，
∴∠E＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝2∠E＝120°．
故选：A．
17．（2023•中山市模拟）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠DAC＝20°，弦CD＝CB，则∠ADC＝（ ）
A．100°B．110°C．120°D．150°
【答案】B
【解答】解：∵CD＝CB，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC＝20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
18．（2022秋•盘山县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，点E在BC的延长线上，则∠DCE的度数是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝60°，
故选：A．
19．（2022秋•浦北县期末）如图，点A，B，C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠AOC＝110°，则∠CBD的度数为（ ）
A．50°B．52.5°C．55°D．62.5°
【答案】C
【解答】解：设点E是优弧AC（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，
∵∠AOC＝110°，
∴∠E＝＝55°，
∴∠CBD＝∠E＝55°．
故选：C．
20．（2022秋•召陵区期末）如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（ ）
A．192°B．120°C．132°D．150
【答案】C
【解答】解：如图做圆周角∠ADB，使D在优弧上，
∵∠AOB＝96°，
∴∠D＝∠AOB＝48°，
∵A、D、B、C四点共圆，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝132°，
故选：C．
21．（2022秋•仪征市期中）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABC＝110°，则∠AOC的度数是（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】D
【解答】解：如图：
∵∠ABC＝110°，
∴∠1＝2∠ABC＝220°，
∴∠AOC＝360°﹣∠1＝140°，
故选：D．
22．（2022秋•科尔沁区期末）如图，A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝130°，则∠ACB的大小为（ ）度．
A．100°B．110°C．115°D．125°
【答案】C
【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，DB．
∵∠ADB＝∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠ADB＝65°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝115°，
故选：C．
23．（2022秋•萨尔图区校级期末）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，则∠D的度数是（ ）
A．70°B．100°C．110°D．120°
【答案】C
【解答】解：连接BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
24．（2023•长岭县模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100°B．128°C．104°D．124°
【答案】C
【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，
由圆周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，
故选：C．
25．（2023•岳麓区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为的中点，若∠A＝50°，则∠CBD的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．25°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵点C为的中点，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD＝×（180°﹣130°）＝25°，
故选：D．
26．（2023•白山四模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．65°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝130°，
∴∠B＝50°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．
故选：B．
27．（2023•子洲县校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ABC＝118°，则∠AOC的度数为（ ）
A．162°B．152°C．124°D．118°
【答案】C
【解答】解：∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣118°＝62°，
∴∠AOC＝2∠D＝124°，
故选：C．
28．（2023•伊通县四模）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，若∠BCD＝110°，则∠ADB的度数为（ ）
A．10°B．20°C．50°D．70°
【答案】B
【解答】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝20°，
∴∠ADB＝∠ACB＝20°．
故选：B．
29．（2023•端州区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC．
∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×40°＝20°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°．
故选：A．
30．（2023•长春一模）如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（ ）
A．131°B．119°C．122°D．58°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝122°，
∴∠D＝∠AOB＝61°，
∵四边形ADBC为⊙O内接四边形，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣61°＝119°．
故选：B．
【题型3 利用直径构造直角三角形转化角】
31．（2021秋•永顺县期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C＝40°，那么∠ABD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝∠C＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝50°．
故选：B．
32．（2022秋•道里区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，连接AD、AC、BC，若∠CAB＝65°，则∠D的度数为（ ）
A．65°B．40°C．25°D．35°
【答案】C
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∴∠D＝∠B＝25°．
故选：C．
33．（2022秋•西湖区期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，BC是⊙O的直径．若∠D＝36°，则∠BCA的度数是（ ）
A．72°B．54°C．45°D．36°
【答案】B
【解答】解：∠B＝∠D＝36°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BCA＝90°﹣∠B＝54°，
故选：B．
34．（2023•海州区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且点D在上．若∠D＝130°．则∠CAB的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝130°，
∴∠B＝50°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°．
故选：B．
35．（2023•四平模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，∠ABD＝25°，则∠BCD等于（ ）
A．80°B．70°C．65°D．50°
【答案】C
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝25°，
∴∠ACD＝25°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣25°＝65°，
故选：C．
36．（2023•淮阴区二模）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝54°，则∠BAC的度数为（ ）
A．36°B．46°C．54°D．42°
【答案】A
【解答】解：∵∠ADC＝54°，
∴∠ABC＝∠ADC＝54°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣54°＝36°，
故选：A．
37．（2023•兰山区校级模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ACB＝32°，则∠ADC的大小为（ ）
A．68°B．62°C．58°D．52°
【答案】C
【解答】解：∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝58°，
∴∠D＝∠B＝58°，
故选：C．
38．（2023•宁乡市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为（ ）
A．4B．C．D．8
【答案】B
【解答】解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF＝CF，
∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠CBE，
在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BC＝DF，
∵OF＝BC，
∴OF＝DF，
∴OF＝OD＝1，
在Rt△OAF中，AF＝＝2，
∴AC＝2AF＝4．
故选：B．
39．（2023•碑林区校级二模）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，连接AD，AC，AB，若∠COD＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．10°B．25°C．35°D．50°
【答案】B
【解答】解：∵∠COD＝130°，
∴∠BOC＝180°﹣130°＝50°，
∵＝，
∴∠BAC＝∠BOC＝×50°＝25°，
故选：B．
40．（2023•新泰市三模）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于（ ）
A．68°B．58°C．72°D．56°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝34°，
∴∠AOC＝68°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣68°）＝56°，
故选：D．
41．（2023•高新区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BF∥OC，若AB＝10，BC＝2，则CF＝（ ）
A．4B．5C．4D．3
【答案】C
【解答】解：连OF、AC．
∵BF∥OC，
∴∠A＝∠BFC＝∠FCO．
∵OF＝OC＝OA，
∴∠ACO＝∠A＝∠FCO＝∠OFC，
∴△OAC≌△OFC（AAS），
∴CF＝AC＝＝4，
故选：C．
42．（2023•泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】A
【解答】解：如图，连接OC，
∵∠ADC＝115°，
∴优弧所对的圆心角为2×115°＝230°，
∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，
∴∠BAC＝∠BOC＝25°，
故选：A．
43．（2023•新泰市二模）如图，AB是⊙O直径，C，D是圆上的点，若∠D＝20°，则∠BAC的值是（ ）
A．20°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【解答】解：∵∠D＝20°，
∴∠B＝20°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
故选：C．
【题型4 利用特殊数量关系构造特殊角转化角】
44.（石家庄模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝5，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【答案】D
【解答】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°．
Rt△ACD中，AD＝2r＝10，AC＝5．
根据勾股定理，得：CD＝＝5，
∴CD＝AD，
∴∠DAC＝30°，
∴∠B＝∠D＝90°﹣30°＝60°；
故选：D．
45.（2022秋•无为市期中）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45°B．30°C．75°D．60°
【答案】D
【解答】解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于C，则∠ODA＝∠ODB＝90°，
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD＝CD＝OC＝OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝120°，
∴∠APB＝AOB＝60°，
故选：D．