专题4.4 辅助圆定点定长（题型专练）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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模型一：定点定长作圆
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，
则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。
模型二：点圆最值
已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.
【典例1】（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则∠BDC＝ ．
【变式1-2】如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（ ）
A．68°B．88°C．90°D．112°
【变式1-3】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝ 度．
【变式1-4】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，则∠BAD＝ ．
【变式1-5】如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝70°，那么∠BDC＝ ．
【变式1-6】如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为a（0°＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）求证：BD1＝CE1；
（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，则旋转角为a＝ （直接写结果）
（3）连接PA，△PAB面积的最大值为 （直接写结果）
【典例2】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AC上的任意一点（点E不与点C重合），沿DE翻折△DCE使点C落在点F处，请画出点F的轨迹．
【变式2-1】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，将△AEB绕点B顺时针旋转，使AB与边BC重合，得到△MNB，请画出在旋转过程中点M的运动轨迹．
【变式2-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC边上一动点，将△ABD沿AD对折，得到△AB'D，当点B'落在AC边上时，点D停止运动，若AB'＝AC，则在点D的运动过程中，点B'的运动路径长为 ．
【变式2-3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝3，将菱形ABCD绕点B逆时针旋转，得到菱形A'BC'D'，求出当点D'在BA的延长线上时，点C'运动的路径长．
【典例3】如图，在矩形ABCD中，，，E是AB边的中点，F是线面BC边上的动点，将沿EF所在的直线折叠得到，连接，求的最小值。
【变式3-1】如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为 ．
​
【变式3-2】（锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是 ．
【变式3-3】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 ，点F到线段BC的最短距离是 ．
【变式3-4】（2022•武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为 ．
【变式3-5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是 ．
【典例4】（邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【变式4-1】（武江区校级期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
【变式4-2】（萨尔图区校级期末）如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 ．
【变式4-3】（2022•鱼峰区模拟）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 ．
【变式4-4】如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 ．

位置关系
点D在O内
点D在O上
点D在O外
图示
DE的最大值
d＋r
2r
d＋r
此时点E的位置
连接DO并延长交O于点E

DE的最小值
r－d
0
d－r
此时点E的位置
连接OD并延长交O于点E
点E与点D重合
连接OD交O于点E