高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程巩固练习

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程巩固练习，共6页。

1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
2．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )
A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4
C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－3)2＋y2＝4
3．方程y＝eq \r(9－x2)表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
4．若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )
A．|a|＜eq \f(\r(5),5) B．|a|＜1
C．|a|≤eq \f(\r(5),5) D．|a|≤1
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq \r(5)为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
6．[多选题]若圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上存在到原点的距离为eq \r(2)的点，则实数a可以为( )
A．－3 B．－1
C．0 D．1
7．已知两点M(0,2)，N(2，－2)，以线段MN为直径的圆的方程为________．
8．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________________．
9．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则eq \r(x－12＋y－12)的最大值为________．
10．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
[提能力]
11．[多选题]实数x，y满足(x＋1)2＋y2＝1，则下列关于eq \f(y,x－1)的判断正确的是( )
A.eq \f(y,x－1)的最大值为eq \r(3) B.eq \f(y,x－1)的最小值为－eq \r(3)
C.eq \f(y,x－1)的最大值为eq \f(\r(3),3) D.eq \f(y,x－1)的最小值为－eq \f(\r(3),3)
12．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
13．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为________________________________________________________________________．
14．已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为____________，与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为____________．
15．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系xOy中的点E(eq \r(2)，0)，F(2eq \r(2)，0)，则满足|PF|＝eq \r(2)|PE|的动点P的轨迹记为圆E.
(1)求圆E的方程；
(2)若点A(－2,2)，B(－2,6)，C(4，－2)，当P在E上运动时，记|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值和最小值分别为M和m，求M＋m的值．
[培优生]
16．瑞士数学家欧拉(LenhardEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－2,0) D．(0，－2)
课时作业(九)
1．解析：设圆心C(0，m)，则有eq \r(1＋（m－2）2)＝1，解得m＝2，所以圆的方程是x2＋(y－2)2＝1.故选A.
答案：A
2．解析：已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.故选A.
答案：A
3．解析：y＝eq \r(9－x2)可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．故选D.
答案：D
4．解析：由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25，∴a2≤1，∴|a|≤1.故选D.
答案：D
5．解析：直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1＝0,－x－y＋1＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2))
∴C(－1，2).
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
答案：C
6．解析：方法一 逐一验证可得ABD正确，C不正确．
方法二 圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|eq \r(2)a|，半径r＝2eq \r(2)，因为圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为eq \r(2)的点，
所以2eq \r(2)－eq \r(2)≤|eq \r(2)a|≤2eq \r(2)＋eq \r(2)，即1≤|a|≤3，
解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.
故选ABD.
答案：ABD
7．解析：由题得圆心的坐标为(1，0)，
|MN|＝eq \r(22＋（－2－2）2)＝2eq \r(5)，
所以圆的半径为eq \r(5)，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝5.
答案：(x－1)2＋y2＝5
8．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,2x＋y－8＝0，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4))，即圆心为(2，4)，从而r＝eq \r(（2－0）2＋（4－0）2)＝2eq \r(5)，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
9．解析：eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)表示点A(1，1)到点P(x，y)的距离，它的最大值为A到圆心(0，0)的距离加上半径，即eq \r(2)＋1.
答案：eq \r(2)＋1
10．解析：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即圆心为线段AB的中点(0，1)，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(10).
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)方法一 直线AB的斜率k＝eq \f(4－（－2）,－1－1)＝－3，
即线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝eq \f(1,3)x，即x－3y＋3＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y＋3＝0，,2x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2，))
即圆心的坐标是C(3，2).
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
方法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1－a）2＋（－2－b）2＝r2，,（－1－a）2＋（4－b）2＝r2，,2a－b－4＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2，,r2＝20.))
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
11．解析：由题意知(x＋1)2＋y2＝1为圆心是C(－1，0)，半径为1的圆．
由eq \f(y,x－1)为圆上的点与定点P(1，0)的斜率的值．
过P(1，0)点的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
圆心到直线的距离d＝r，即eq \f(|2k|,\r(1＋k2))＝1，整理可得3k2＝1
解得k＝±eq \f(\r(3),3)，
所以eq \f(y,x－1)∈[－eq \f(\r(3),3)，eq \f(\r(3),3)]，即eq \f(y,x－1)的最大值为eq \f(\r(3),3)，最小值为－eq \f(\r(3),3)，故选CD.
答案：CD
12．解析：由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径为r＝eq \r(2)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq \f(|2＋2|,\r(1＋1))＝2eq \r(2)，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3eq \r(2)，最小距离是d－r＝eq \r(2)，易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq \r(2)，
∴eq \f(1,2)|AB|·(d－r)≤S△ABP≤eq \f(1,2)|AB|·(d＋r)，即2≤S△ABP≤6.故选A.
答案：A
13．解析：直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0).
∴r2＝|AB|2＝(2－0)2＋(0－4)2＝20.
∴圆的方程为x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20.
答案：x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20
14．解析：由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(－2，2)，半径为2，
所以圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.
设(－2，2)关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b).
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a－2,2)－\f(b＋2,2)＋2＝0，,\f(b－2,a＋2)＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0，))
故所求圆的圆心为(0，0)，半径为2.
所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋(y－2)2＝4 x2＋y2＝4
15．解析：(1)设点P(x，y)，由|PF|＝eq \r(2)|PE|，且E(eq \r(2)，0)，F(2eq \r(2)，0)得
eq \r(（x－2\r(2)）2＋y2)＝eq \r(2)eq \r(（x－\r(2)）2＋y2)，整理得x2＋y2＝4，
所以圆E的方程为x2＋y2＝4.
(2)由A(－2，2)，B(－2，6)，C(4，－2)，设P(x，y)得
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y－2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－12y＋68＝12＋68－12y＝80－12y，
而－2≤y≤2，当y＝2时，取得最小值m＝56；当y＝－2时，取得最大值M＝104，所以m＋M＝160.
16．解析：∵A(－4，0)，B(0，4)，∴AB的垂直平分线方程为x＋y＝0，
又外心在欧拉线x－y＋2＝0上，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0,x－y＋2＝0))，解得三角形ABC的外心为G(－1，1).
又r＝|GA|＝eq \r(（－1＋4）2＋（1－0）2)＝eq \r(10)，
∴△ABC外接圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝10.
设C(x，y)，则三角形ABC的重心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－4,3)，\f(y＋4,3)))在欧拉线上，即eq \f(x－4,3)－eq \f(y＋4,3)＋2＝0.
整理得x－y－2＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋1）2＋（y－1）2＝10,x－y－2＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝0))，
所以顶点C的坐标可以是(0，－2).
故选D.
答案：D