高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线与圆的位置关系习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线与圆的位置关系习题，共6页。
1．圆心为(3,0)且与直线x＋eq \r(2)y＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－eq \r(3))2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－eq \r(3))2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A.eq \r(3) B．2
C.eq \r(6) D．2eq \r(3)
4．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为( )
A．k＝－eq \f(1,2)，b＝－4 B．k＝eq \f(1,2)，b＝4
C．k＝eq \f(1,2)，b＝－4 D．k＝4，b＝3
5．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )
A．1.4米 B．3.0米
C．3.6米 D．4.5米
6．[多选题]若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r可以取值( )
A.eq \f(9,2) B．5
C.eq \f(11,2) D．6
7．若直线2x＋ay＋3＝0与圆x2＋y2－2x－4＝0相切，则实数a等于________．
8．若点P(－1，－3)为圆C：(x－2)2＋y2＝16的弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
9．直线过点P(0,2)，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为________．
10．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2eq \r(19)时，求直线l的方程．
[提能力]
11．[多选题]已知点A是直线l：x＋y－eq \r(2)＝0上一定点，点P、Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是( )
A．(0，eq \r(2)) B．(1，eq \r(2)－1)
C．(eq \r(2)，0) D．(eq \r(2)－1,1)
12．[多选题]已知直线l：(m＋1)x＋(1－m)y－2＝0，圆C：x2＋y2－4x－6y＋4＝0，则( )
A．直线l与圆C恒相交
B．当直线l平分圆C时，m＝3
C．当直线l截圆C的弦长最小时，m＝－3
D．设直线l交圆C于A，B两点，当S△ABC＝2eq \r(2)时，这样的直线l有4条
13．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq \r(6)，则圆C的方程为____________．
14．已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为________．
15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
[培优生]
16．[多选题]已知二次函数y＝x2－2x＋m(m≠0)交x轴于A，B两点(A，B不重合)，交y轴于C点．圆M过A，B，C三点．下列说法正确的是( )
A．圆心M在直线x＝1上
B．m的取值范围是(0,1)
C．圆M半径的最小值为1
D．存在定点N，使得圆M恒过点N
课时作业(十一)
1．解析：由题意知所求圆的半径r＝eq \f(|3＋\r(2)×0|,\r(1＋2))＝eq \r(3)，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.
答案：B
2．解析：圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝eq \r(2)⇔eq \f(|a＋1|,\r(2))≤eq \r(2)⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1.故选C.
答案：C
3．解析：由题意可知，直线l的方程为y＝eq \r(3)x，圆x2＋y2－4y＝0可化为x＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(0，2)，半径R＝2，圆心(0，2)到直线eq \r(3)x－y＝0的距离d＝eq \f(2,\r(（\r(3)）2＋（－1）2))＝1，所以弦长l＝2eq \r(R2－d2)＝2eq \r(3).故选D.
答案：D
4．解析：因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，
故直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，
且直线2x＋y＋b＝0过圆心(2，0)，
所以k×(－2)＝－1，2×2＋0＋b＝0，
所以k＝eq \f(1,2)，b＝－4.故选C.
答案：C
5.
解析：可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得|OD|＝eq \r(|OC|2－|CD|2)＝3.6(米).
故选C.
答案：C
6．解析：圆心(0，0)到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝eq \f(|0－0＋25|,\r(16＋9))＝5，半径为r，若圆上恰有一个点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r＝4或r＝6，
故当圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，
所以r∈(4，6)，故选ABC.
答案：ABC
7．解析：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝5，因此圆心坐标为(1，0)，半径r＝eq \r(5)，依题意得eq \f(|2＋3|,\r(4＋a2))＝eq \r(5)，解得a＝±1.
答案：±1
8．解析：kPC＝eq \f(0－（－3）,2－（－1）)＝1，由题意知AB⊥PC，所以kAB＝－1，因此直线AB的方程为y＋3＝－(x＋1)，即x＋y＋4＝0.
答案：x＋y＋4＝0
9．解析：如图所示，
点P(0，2)是圆与y轴的一个交点，过点P作弦，使弦长为2，亦即圆心到弦所在的直线的距离为eq \r(3).
易知弦所在直线的斜率存在，设为k，则方程为：y＝kx＋2.
由点到直线的距离公式，可得：d＝eq \f(2,\r(1＋k2))＝eq \r(3)，
所以1＋k2＝eq \f(4,3).所以k2＝eq \f(1,3).
所以k＝±eq \f(\r(3),3).
答案：±eq \f(\r(3),3)
10．解析：(1)设圆A的半径为r，
因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
所以r＝eq \f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq \r(5)，
所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程x＝－2，
此时有|MN|＝2eq \r(19)，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，
因为Q是MN的中点，所以AQ⊥MN，
所以|AQ|2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|MN|))eq \s\up12(2)＝r2，
又因为|MN|＝2eq \r(19)，r＝2eq \r(5)，
所以|AQ|＝eq \r(20－19)＝1，
解方程|AQ|＝eq \f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq \f(3,4)，
所以此时直线l的方程为y－0＝eq \f(3,4)(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.
综上所得，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
11．解析：设点A坐标为(t，eq \r(2)－t)，当AP、AQ均为圆切线时，∠PAQ＝90°，
此时四边形PAQO为正方形，则|OA|＝eq \r(2)，即t2＋(eq \r(2)－t)2＝2，解得t＝0，t＝eq \r(2)，
故A(0，eq \r(2))或(eq \r(2)，0)，故选AC.
答案：AC
12．解析：对于A，因为直线l：(m＋1)x＋(1－m)y－2＝0，可化为(x－y)m＋x＋y－2＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,x＋y－2＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))所以直线l恒过定点P(1，1)，又因为点P(1，1)在圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝9内，所以直线l与圆C恒相交，即A正确；对于B，因为直线l平分圆C，故圆心C(2，3)在直线l上，所以(m＋1)×2＋(1－m)×3－2＝0⇒m＝3，即B正确；对于C，当直线l截圆C的弦长最小时，设过圆心C且与直线l垂直的直线为l′，则kl′·kl＝－1，因为kl′＝eq \f(3－1,2－1)＝2，kl＝eq \f(m＋1,m－1)，所以2×eq \f(m＋1,m－1)＝－1⇒m＝－eq \f(1,3)，即C错误；对于D，因为圆C的圆心C(2，3)，半径R＝3，所以圆心C到直线l的距离为d＝eq \f(|2（m＋1）＋3（1－m）－2|,\r(（m＋1）2＋（1－m）2))＝eq \f(|3－m|,\r(2m2＋2))，因为S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|×d＝eq \f(1,2)×2eq \r(R2－d2)×d＝eq \r(9－d2)×d，所以由S△ABC＝2eq \r(2)，得eq \r(9－d2)×d＝2eq \r(2)⇒d2＝1或d2＝8，当d2＝1时，解得m＝－7或m＝1，当d2＝8时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|3－m|,\r(2m2＋2))))eq \s\up12(2)＝8，无解，所以符合条件的直线有2条，即D错误．故选AB.
答案：AB
13．解析：所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
所以设所求圆的圆心为(a，－a).
又因为所求圆与直线x－y＝0相切，
所以半径r＝eq \f(2|a|,\r(2))＝eq \r(2)|a|.
又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|2a－3|,\r(2))，
所以d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))eq \s\up12(2)＝r2，即eq \f(（2a－3）2,2)＋eq \f(3,2)＝2a2，
解得a＝1，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
14．解析：因为x2＋y2－2x＋2y－1＝0可变形为(x－1)2＋(y＋1)2＝3.
所以其圆心为M(1，－1)，半径为r＝eq \r(3)；
所以圆心M(1，－1)到直线l：x－y＝1的距离为eq \f(|1＋1－1|,\r(2))＝eq \f(1,\r(2)).
由题知，当BD为过圆心M且垂直于AC的直径时，四边形ABCD的面积取最大值，
为eq \f(1,2)×|AC|×|BD|＝eq \f(1,2)×2eq \r(3－\f(1,2))×2eq \r(3)＝eq \r(30).
答案：eq \r(30)
15．解析：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－eq \f(3,4)x).
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×eq \f(1,2)×|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋eq \f(3,4)x)2＝(eq \f(5,4)x＋1)2＋9.
所以当x＝－eq \f(4,5)时，|PC| eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(min)) ＝9.
所以|AP|min＝eq \r(9－1)＝2eq \r(2).
即四边形PACB面积的最小值为2eq \r(2).
(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．
16．解析：A中，因为二次函数y＝x2－2x＋m(m≠0)的对称轴是x＝1，且A，B两点关于x＝1对称，所以圆心M在直线x＝1上，故正确；B中，因为二次函数y＝x2－2x＋m(m≠0)交x轴于A，B两点，所以Δ＝4－4m>0解得m