北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程一课一练

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程一课一练，共6页。

1．抛物线y2＝8px(p>0)，F为焦点，则p表示( )
A．F到准线的距离 B．F到准线距离的eq \f(1,4)
C．F到准线距离的eq \f(1,8) D．F到y轴的距离
2．若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
3．已知点P(m，m)(m≠0)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，且点P到该抛物线焦点的距离为30，则p＝( )
A．10 B．12
C．20 D．30
4．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
5．已知点F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则M点的纵坐标为( )
A．2eq \r(2) B．4
C．±2eq \r(2) D．±4
6．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝( )
A．9 B．6
C．4 D．3
7．抛物线y＝x2的准线方程为________．
8．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为________．
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－eq \f(y2,a)＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
10．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2eq \r(5)，求该抛物线的方程．
[提能力]
11．[多选题]已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则p的值可取( )
A．1 B．2
C．9 D．18
12．已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种情形都有可能
13．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程是________．
14．已知M为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F(2，0)为该抛物线的焦点，O为坐标原点，若∠MFO＝120°，N(－2,0)，则p＝________，△MNF的面积为________．
15．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[培优生]
16．已知圆C1：(x－3)2＋(y－2eq \r(2))2＝1和焦点为F的抛物线C2：y2＝8x，N是C1上一点，M是C2上一点，当点M在M1时，|MF|＋|MN|取得最小值，当点M在M2时，|MF|－|MN|取得最大值，则|M1M2|＝( )
A．2eq \r(2) B．3eq \r(2)
C．4eq \r(2) D.eq \r(17)
课时作业(十七)
1．解析：设y2＝2mx(m>0)，则m表示焦点到准线的距离，又2m＝8p，∴p＝eq \f(m,4).故选B.
答案：B
2．解析：抛物线y2＝2mx的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，0))，圆x2＋y2－4x＝0的圆心为(2，0)，所以eq \f(m,2)＝2，∴m＝4.故选D.
答案：D
3．解析：因为点P(m，m)(m≠0)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，
所以m2＝2pm即m＝2p，
由抛物线的焦半径公式可得：PF＝xp＋eq \f(p,2)＝m＋eq \f(p,2)＝eq \f(5p,2)＝30，
解得：p＝12.
故选B.
答案：B
4．解析：由题意知，a＝eq \r(6)，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(a2－b2)＝2.∴椭圆的右焦点为(2，0)，即抛物线的焦点为F(2，0)，
∴eq \f(p,2)＝2，p＝4.
答案：D
5.
解析：由题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，
若M为FN的中点，如图所示，
可知M的横坐标为1，则M的纵坐标为±2eq \r(2)，故选C.
答案：C
6．解析：因为eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝xA＋eq \f(p,2)＋xB＋eq \f(p,2)＋xC＋eq \f(p,2)＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.
答案：B
7．解析：由抛物线的标准方程为x2＝y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2p＝1，∴其准线方程是y＝－eq \f(p,2)，y＝－eq \f(1,4).
答案：y＝－eq \f(1,4)
8．解析：抛物线方程化为标准形式为x2＝eq \f(1,a)y，由题意得a<0，∴2p＝－eq \f(1,a)，∴p＝－eq \f(1,2a)，∴准线方程为y＝eq \f(p,2)＝－eq \f(1,4a)＝2，∴a＝－eq \f(1,8).
答案：－eq \f(1,8)
9．解析：根据抛物线的定义得1＋eq \f(p,2)＝5，p＝8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－eq \r(a)×2＝－1，故a＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
10．解析：由题意，设抛物线方程为x2＝2ay (a≠0).
设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|＝|AN|，
而|AN|＝eq \r(5).
因为|ON|＝3，所以|OA|＝eq \r(32－（\r(5)）2)＝2，所以N(eq \r(5)，±2).
因为N点在抛物线上，所以5＝2a× (±2)，即2a＝±eq \f(5,2)，
故抛物线的方程为x2＝eq \f(5,2)y或x2＝－eq \f(5,2)y.
11．解析：由抛物线y2＝2px(p>0)可得准线l的方程为：
x＝－eq \f(p,2).
设点M(x1，y1).∴y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝2px1.
∵点M到准线及对称轴的距离分别为10和6.
∴x1＋eq \f(p,2)＝10，y1＝±6，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝2px1.
解得x1＝1，p＝18，或x1＝9，p＝2，
即p的值分别为18，2.
故选BD.
答案：BD
12．解析：如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，准线l与x轴相交于点N，
则MD＝MF，ON＝OF，
∴AB＝eq \f(OF＋CM,2)＝eq \f(ON＋CM,2)＝eq \f(DM,2)＝eq \f(MF,2)，∴这个圆与y轴相切．故选B.
答案：B
13．解析：当焦点在x轴上时，根据y＝0，
x－2y－4＝0可得焦点坐标为(4，0)，
则抛物线的标准方程为y2＝16x，
当焦点在y轴上时，根据x＝0，x－2y－4＝0可得焦点坐标为(0，－2)，
则抛物线的标准方程为x2＝－8y.
答案：x2＝－8y或y2＝16x
14．解析：如图所示做出图象，过M作ME⊥x轴，由F(2，0)为该抛物线的焦点，得eq \f(p,2)＝2，则p＝4，所以y2＝8x.
∵∠MFO＝120°，∴∠MFE＝60°，
在Rt△MEF中，∠FME＝30°
设EF＝a(a>0)，则有MF＝2a，ME＝eq \r(3)a
∴OE＝OF＋EF＝a＋2，即M(a＋2，eq \r(3)a)
代入抛物线解析式得：3a2－8a－16＝0，
即(3a＋4)(a－4)＝0
解得a＝－eq \f(4,3)(舍)或者a＝4
∴ME＝4eq \r(3).∵NF＝4，∴S△MNF＝eq \f(1,2)×4×4eq \r(3)＝8eq \r(3).
答案：4 8eq \r(3)
15．解析：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±eq \r(12)，
因为eq \r(12)>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)，
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
16.
解析：由已知得C1(3，2eq \r(2))，F(2，0)，记C2的准线为l.如图，过点M作l的垂线，垂足为D，过点C1作l的垂线，垂足为D1，则|MF|＋|MN|＝|MD|＋|MN|≥|MD|＋|MC1|－1≥|C1D1|－1，当且仅当M，C1，D三点共线，且点N在线段MC1上时等号成立，此时|MF|＋|MN|取得最小值，则点M1的坐标为(1，2eq \r(2)).|MF|－|MN|≤|MF|－(|MC1|－1)＝|MF|－|MC1|＋1≤|FC1|＋1，当且仅当M为线段FC1的延长线与抛物线的交点，且点N在线段MC1上时等号成立，此时|MF|－|MN|取得最大值．
又直线FC1的方程为y＝2eq \r(2)(x－2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)（x－2），,y2＝8x，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2\r(2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4\r(2)，))
所以M2的坐标为(4，4eq \r(2))，
所以|M1M2|＝eq \r(（4－1）2＋（4\r(2)－2\r(2)）2)＝eq \r(17).故选D.
答案：D