高中数学北师大版 (2019)选择性必修第一册1.1 椭圆及其标准方程达标测试

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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修第一册1.1 椭圆及其标准方程达标测试，共6页。

1．椭圆3x2＋4y2＝12的焦点坐标为( )
A．(±1,0) B．(0，±1)
C．(±eq \r(7)，0) D．(0，±eq \r(7))
2．“0A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．设F1，F2是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )
A．16 B．18
C．20 D．不确定
4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
5．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．3
6．[多选题]下列说法正确的有( )
A．方程x2＋xy＝x表示两条直线
B．椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m＝4
C．曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1关于坐标原点对称
D．椭圆C：eq \f(y2,5)＋x2＝1的焦距是2
7．设F1，F2为椭圆eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1的两个焦点，P为椭圆上任一点，∠PF2F1为直角，则eq \f(|PF1|,|PF2|)＝________.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上，则eq \f(sin A＋sin C,sin B)等于________．
9．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
10．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，且F1(－1,0)，椭圆经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).求椭圆的方程．
[提能力]
11．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的两焦点F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则△F1PF2的内切圆半径为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(2\r(3),3)
C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
12．[多选题]设椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是( )
A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6
B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为eq \r(3)
C．存在点P，使PF1⊥PF2
D．PF1的取值范围是[1,3]
13．点P为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上位于第一象限内的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则△PMO的面积的最大值为________．
14．已知点P(0,1)，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为________．
15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BF1⊥F1F2，|F1B|＝eq \f(5,3)，|F1F2|＝4.
(1)试建立适当的坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程；
(2)如图，若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
[培优生]
16．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1)，即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：
已知椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,4)＝1，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(图2)，其体积等于________．
课时作业(十三)
1．解析：椭圆标准方程为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，
∴c2＝a2－b2＝4－3＝1，
∴c＝1，
又椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(±1，0).
故选A.
答案：A
2．解析：若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2－m)＝1表示椭圆，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>0,2－m>0,m≠2－m))解得0因此，“0答案：B
3．解析：∵a＝5，b＝3，∴c＝4.
又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，
∴△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B.
答案：B
4．解析：方程x2＋ky2＝2可化为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1，若焦点在y轴上，则必有eq \f(2,k)>2，且k>0，即0答案：D
5．解析：由椭圆的定义可得△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8，
∴a＝2，则c＝eq \r(a2－1)＝eq \r(3)，
则△MF1F2面积的最大值为eq \f(1,2)·2c·b＝bc＝eq \r(3)，故选B.
答案：B
6．解析：A中，方程x2＋xy＝x即x(x＋y－1)＝0，表示x＝0或x＋y－1＝0两条直线，A正确；B中，由10－m－(m－2)＝4或m－2－(10－m)＝4，解得m＝4或m＝8，B错误；C中，由点(－x，－y)代(x，y)得方程不变，C正确；D中，由c2＝5－1＝4得c＝2，∴焦距2c＝4，D错误．故选AC.
答案：AC
7．解析：由题意知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2eq \r(5).
且|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2
∴|PF1|2＝(6－|PF1|)2＋20
解得|PF1|＝eq \f(14,3)
∴|PF2|＝eq \f(4,3)，∴eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(7,2).
答案：eq \f(7,2)
8．解析：由椭圆定义知：|BA|＋|BC|＝10，|AC|＝8，∴由正弦定理得：eq \f(sinA＋sinC,sinB)＝eq \f(|BC|＋|AB|,|AC|)＝eq \f(10,8)＝eq \f(5,4).
答案：eq \f(5,4)
9．解析：∵F1、F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝9，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝4c2＋2|PF1||PF2|＝4a2，∴36＝4(a2－c2)＝4b2，∴b＝3.
答案：3
10．解析：已知点F2(1，0)，由椭圆的定义得
2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2))＋eq \r(02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝4，
∴a＝2，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3).
因此，椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
11．解析：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，a2＝25，b2＝16，c2＝9，
由题意得|F1P|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝6，
由余弦定理得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(（|PF1|＋|PF2|）2－2|F1P|·|PF2|－|F1F2|2,2|F1P|·|PF2|)，
得|F1P|·|PF2|＝eq \f(64,3)，
S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sinθ＝eq \f(1,2)×eq \f(64,3)×sin60°＝eq \f(16\r(3),3)，
设内切圆的半径为r，则
S△PF1F2＝eq \f(1,2)(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r＝eq \f(1,2)×16×r＝eq \f(16\r(3),3)，
所以r＝eq \f(2\r(3),3).故选B.
答案：B
12．解析：由椭圆方程可知，a＝2，b＝eq \r(3)，从而c＝eq \r(a2－b2)＝1.据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，
所以△PF1F2的周长是6，A项正确．
设点P(x0，y0)(y0≠0)，因为|F1F2|＝2，
则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|＝|y0|.
因为|y0|≤eq \r(3)，则△PF1F2面积的最大值为eq \r(3)，B项正确．
由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大，
此时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，又|F1F2|＝2，
则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，
所以不存在点P，使PF1⊥PF2，C项错误．
当点P为椭圆C的右顶点时，PF1取最大值，
此时|PF1|＝a＋c＝3；
当点P为椭圆C的左顶点时，PF1取最小值，此时|PF1|＝a－c＝1，
所以|PF1|∈[1，3]，D项正确，
故选ABD.
答案：ABD
13．解析：设P(x，y)(x>0，y>0)，因为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1≥2eq \r(\f(x2,4)·\f(y2,3))＝eq \f(xy,\r(3))，即xy≤eq \r(3)，
所以S△PMO＝eq \f(1,2)xy≤eq \f(\r(3),2)(当且仅当eq \r(3)x＝2y时取等号)，面积的最大值为eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)
14．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x1＝2x2，,1－y1＝2（y2－1），))
即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)＋（3－2y2）2＝m，,\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝m，))
得y2＝eq \f(1,4)m＋eq \f(3,4)，所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝m－(3－2y2)2＝－eq \f(1,4)m2＋eq \f(5,2)m－eq \f(9,4)＝－eq \f(1,4)(m－5)2＋4≤4，
所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
答案：5 2
15．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
设截口BAC所在椭圆的方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
因为BF1⊥F1F2，|F1B|＝eq \f(5,3)，|F1F2|＝4，
所以在直角△BF1F2中，|BF2|＝eq \r(|BF1|2＋|F1F2|2)＝eq \f(13,3)，
故2a＝|F1B|＋|F2B|＝6，a＝3，
又2c＝|F1F2|＝4，c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，
所以，所求的椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.
(2)∵点P在椭圆上，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
又∠F1PF2＝90°，即△F1PF2为直角三角形，
∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝6 ①,|PF1|2＋|PF2|2＝16 ②))，①2－②得：
|PF1|·|PF2|＝10，
故△PF1F2的面积为：eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝5.
16．解析：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，
根据祖暅原理得出椭球的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π×22×5－\f(1,3)π×22×5))＝eq \f(80π,3).
答案：eq \f(80π,3)

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