北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质巩固练习

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1．下列关于抛物线y＝2x2的图象描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))
B．开口向右，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))
C．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
D．开口向右，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
2．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A．x＋4＝0 B．x－4＝0
C．y2＝8x D．y2＝16x
3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))
4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
5．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－eq \f(4,3) B．－1
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,2)
6．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．4 D．2eq \r(5)
7．抛物线y＝2x2的准线方程为________．
8．准线与x轴垂直，且经过点(1，－eq \r(2))的抛物线的标准方程是________．
9．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
10．抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
[提能力]
11．[多选题]下列条件中满足抛物线方程y2＝10x的是( )
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)
12．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2eq \r(3) km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )
A．(2＋eq \r(3))a B．2(eq \r(3)＋1)a
C．5a D．6a
13．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝eq \f(8\r(3),3)y B．x2＝eq \f(16\r(3),3)y
C．x2＝8y D．x2＝16y
14．抛物线y＝－eq \f(1,4)x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
15．如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
[培优生]
16．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2eq \r(3)，则抛物线的方程是________．
课时作业(十八)
1．解析：抛物线y＝2x2，即x2＝eq \f(1,2)y，
可知抛物线的开口向上，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8))).
故选A.
答案：A
2．解析：依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x，故选D.
答案：D
3．解析：由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上．而Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，所以P点的横坐标为eq \f(1,8)，代入抛物线方程得y＝±eq \f(\r(2),4)，故点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4))).故选B.
答案：B
4．解析：抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，则点P到准线的距离为6，即点P到抛物线焦点的距离是6.故选B.
答案：B
5．解析：抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2，0).从而kAF＝eq \f(3－0,－2－2)＝－eq \f(3,4).故选C.
答案：C
6．解析：由于抛物线关于x轴对称，且经过点M(2，y0)，可知抛物线开口向右，设方程为y2＝2px(p>0)，准线为x＝－eq \f(p,2)，而M点到准线距离为3，可知eq \f(p,2)＝1，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.当x＝2时，可得y0＝±2eq \r(2)，所以|OM|＝2eq \r(3).
答案：B
7．解析：化方程为标准方程为x2＝eq \f(1,2)y，故eq \f(p,2)＝eq \f(1,8)，开口向上，∴准线方程为y＝－eq \f(1,8).
答案：y＝－eq \f(1,8)
8．解析：由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－eq \r(2))2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x.
答案：y2＝2x
9．解析：设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6.代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6eq \r(2).因此P(－6，6eq \r(2))或P(－6，－6eq \r(2)).
答案：(－6，6eq \r(2))或(－6，－6eq \r(2))
10．解析：设焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，M点到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即9＋eq \f(p,2)＝10，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.
∴M点坐标为(－9，6)或(－9，－6).
11．解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋eq \f(p,2)＝1＋eq \f(5,2)＝eq \f(7,2)≠6，所以C不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，过该焦点的直线方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以D满足．故选BD.
答案：BD
12．解析：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2eq \r(3)km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，
∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C.
答案：C
13．解析：由e2＝1＋eq \f(b2,a2)＝4得eq \f(b,a)＝eq \r(3)，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，即eq \r(3)x±y＝0，抛物线C2的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，则有eq \f(\f(p,2),2)＝2，解得p＝8，故抛物线C2的方程为x2＝16y.故选D.
答案：D
14．解析：抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4.
答案：4
15．解析：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，于是4＋eq \f(p,2)＝5，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2).
又F(1，0)，所以kAF＝eq \f(4,3)，则FA的方程为y＝eq \f(4,3)(x－1).
因为MN⊥FA，所以kMN＝－eq \f(3,4)，
则MN的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋2.
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(3,4)x＋2，,y＝\f(4,3)（x－1），))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5)，))
所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).
16．解析：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2eq \r(3)，即y1－y2＝2eq \r(3).由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq \r(3)，把y1＝eq \r(3)代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，eq \r(3))在抛物线y2＝2px上，点(－1，eq \r(3))在抛物线y2＝－2px上，可得p＝eq \f(3,2).于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
答案：y2＝3x或y2＝－3x