北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何本章综合与测试习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何本章综合与测试习题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知空间向量a＝(λ＋1,1，λ)，b＝(6，μ－1,4)，若a∥b，则λ＋μ＝( )
A．3 B．－3
C．5 D．－5
2．在三棱锥A­BCD中，E是棱CD的中点，且eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))，则eq \(AF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
C．－5eq \(AB,\s\up6(→))＋3eq \(AC,\s\up6(→))＋3eq \(AD,\s\up6(→))
D.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
3．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基的一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a
C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c
4．如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列选项中与向量eq \(MC1,\s\up6(→))相等的是( )
A．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c
B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c
D.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－c
5．在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABCD的法向量，则y2等于( )
A．2 B．0
C．1 D．无意义
6．正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E、F分别是CC1，D1B1的中点，则EF与AB1所成角的大小为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
7．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离是( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
8．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝eq \r(6)，则AA1与平面AB1C1所成的角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，则下列四式中其中正确的有( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
B.eq \(AC′,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(B′C′,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(→))
C.eq \(AA′,\s\up6(→))＝eq \(CC′,\s\up6(→))
D.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB′,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(C′C,\s\up6(→))＝eq \(AC′,\s\up6(→))
10．以下四个命题中，其中正确的是( )
A．已知e1和e2是两个互相垂直的单位向量，a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，且a⊥b，则实数k＝6
B．已知正四面体O­ABC的棱长为1，则(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝1
C．已知A(1,1,0)，B(0,3,0)，C(2,2,3)，则向量eq \(AC,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上正投影的数量是eq \f(\r(5),5)
D．已知a＝e1－2e2＋e3，b＝－e1＋3e2＋2e3，c＝－3e1＋7e2({e1，e2，e3}为空间向量的一个基)，则向量a，b，c不可能共面
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD­A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A．(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq \(AC,\s\up6(→)))2
B.eq \(AC1,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝0
C．向量eq \(B1C,\s\up6(→))与eq \(AA1,\s\up6(→))的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为eq \f(\r(6),3)
12．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝eq \r(3)AD＝eq \r(3)AA1＝eq \r(3)，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．当eq \(A1C,\s\up6(→))＝2eq \(A1P,\s\up6(→))时，B1，P，D三点共线
B．当eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(A1C,\s\up6(→))时，eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(D1P,\s\up6(→))
C．当eq \(A1C,\s\up6(→))＝3eq \(A1P,\s\up6(→))时，D1P∥平面BDC1
D．当eq \(A1C,\s\up6(→))＝5eq \(A1P,\s\up6(→))时，A1C⊥平面D1AP
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．直三棱柱ABC­A1B1C1中，若eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq \(BA1,\s\up6(→))＝________.
14．已知a＝(x，－3,4)，b＝(－2，y，－8)，且a∥b则|a|＝________.
15．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝eq \r(5)，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．
16．如图所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为________；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．求证：四边形ABCD是一个梯形．
18．(本小题满分12分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为直角梯形，DE∥CF，∠EDC＝90°，四边形ABCD为矩形，平面CDEF⊥平面ABCD，AD＝DE＝2，CD＝CF＝4，点P为CF的中点，点Q为BE的中点．
(1)求证：DQ⊥BP；
(2)求二面角Q－AD－B的余弦值．
19．(本小题满分12分)
四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点．
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求点D到平面PFB的距离．
20．(本小题满分12分)
如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，FD⊥平面ABCD，BE∥FD，且DF＝2BE＝2.
(1)求直线AD和平面AEF所成角的大小；
(2)求二面角E－AF－D的平面角的大小．
21．(本小题满分12分)
等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满足eq \f(AD,DB)＝eq \f(CE,EA)＝eq \f(1,2)(如图①)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②)．
(1)求证：A1D⊥平面BCED；
(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分12分)
如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求eq \f(BD,BC1)的值．
章末质量检测(三) 空间向量与立体几何
1．解析：因为a∥b，所以eq \f(λ＋1,6)＝eq \f(1,μ－1)＝eq \f(λ,4)，
所以4λ＋4＝6λ，所以λ＝2，
所以eq \f(1,μ－1)＝eq \f(1,2)，所以μ＝3，所以λ＋μ＝5.
故选C.
答案：C
2．解析：因为E是棱CD的中点，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)).
故选D.
答案：D
3．解析：对于A，因为2a＝eq \f(4,3)(a－b)＋eq \f(2,3)(a＋2b)，得2a、a－b、a＋2b三个向量共面，故它们不能构成一个基，A不正确；
对于B，因为2b＝eq \f(4,3)(b－a)＋eq \f(2,3)(b＋2a)，得2b、b－a、b＋2a三个向量共面，故它们不能构成一个基，B不正确；
对于C，因为找不到实数λ，μ，使a＝λ·2b＋μ(b－c)成立，故a、2b、b－c三个向量不共面，它们能构成一个基，C正确；
对于D，因为c＝eq \f(1,2)(a＋c)－eq \f(1,2)(a－c)，得c、a＋c、a－c三个向量共面，故它们不能构成一个基，D不正确．
故选C.
答案：C
4．解析：如图所示，∵MC1＝eq \(MC,\s\up6(→))＋CC1，
eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，CC1＝c，
∴MC1＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋CC1＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋CC1＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，故选B.
答案：B
5．解析：由题得，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，－1，－2)，又a为平面ABCD的法向量，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·\(AB,\s\up6(→))＝0,a·\(AC,\s\up6(→))＝0))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＋y＝0,1－y－2z＝0))，则y＝1，那么y2＝1.故选C.
答案：C
6．答案：C
7．答案：B
8．答案：A
9．答案：ABC
10．解析：A中，∵a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，且a⊥b，
∴a·b＝(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝2ke eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋(3k－8)e1·e2－12e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2k－12＝0，解得k＝6，所以A正确．
B中，(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝1×1×cs60°＋1×1×cs90°＋1×1×cs90°＋1×1×cs60°＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1，所以B正确．
C中，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，1，3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，2，0)，
向量eq \(AC,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上正投影＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1×（－1）＋1×2＋3×0,\r(（－1）2＋22＋02))＝eq \f(\r(5),5)，所以C正确．
D中，假设向量a，b，c共面，则a＝xb＋yc，
所以e1－2e2＋e3＝x(－e1＋3e2＋2e3)＋y(－3e1＋7e2)，
e1－2e2＋e3＝(－x－3y)e1＋(3x＋7y)e2＋2xe3，
所以1＝－x－3y，－2＝3x＋7y，1＝2x，
得x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)，
所以向量a，b，c共面，所以D不正确．
故选ABC.
答案：ABC
11．解析：以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1，则AA1·eq \(AB,\s\up6(→))＝AA1·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝1×1×cs60°＝eq \f(1,2)，(AA1＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝AA12＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋2AA1·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2AA1·eq \(AD,\s\up6(→))
＝1＋1＋1＋3×2×eq \f(1,2)＝6
而2(eq \(AC,\s\up6(→)))2＝2(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)))＝2(1＋1＋2×eq \f(1,2))＝2×3＝6，所以A正确．
AC1·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝(AA1＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))
＝AA1·eq \(AB,\s\up6(→))－AA1·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))2＝0，所以B正确．
向量B1C＝A1D，
显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.
所以向量A1D与AA1的夹角是120°，向量B1C与AA1的夹角是120°，则C不正确．
又BD1＝eq \(AD,\s\up6(→))＋AA1－eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))
则|BD1|＝eq \r(（\(AD,\s\up6(→))＋AA1－\(AB,\s\up6(→))）2)＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(（\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))）2)＝eq \r(3)
BD1·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋AA1－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝1
所以cs〈BD1，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(BD1·\(AC,\s\up6(→)),|BD1|·|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(3))＝eq \f(\r(6),6)，所以D不正确．
故选AB.
答案：AB
12．答案：ACD
13．解析：直三棱柱ABC­A1B1C1中，若eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，CC1＝c，BA1＝eq \(BA,\s\up6(→))＋AA1＝eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＋CC1＝a－b＋c
故答案为a－b＋c.
答案：a－b＋c
14．解析：因为a∥b，所以存在λ使得b＝λa⇒(－2，y，－8)＝λ(x，－3，4)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2＝λx，,y＝－3λ，,－8＝4λ，))解得：λ＝－2，x＝1，
所以a＝(1，－3，4)⇒|a|＝eq \r(1＋9＋16)＝eq \r(26).
故答案为eq \r(26).
答案：eq \r(26)
15．答案：eq \f(8\r(85),85)
16．答案：eq \r(3)－1 eq \f(2,3)
17．证明：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，又eq \f(－2,4)＝eq \f(3,－6)＝eq \f(－3,6)，所以eq \(AB,\s\up6(→))和eq \(CD,\s\up6(→))共线，即AB∥CD.
因为eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，
又eq \f(0,－2)≠eq \f(－4,－1)≠eq \f(1,－2)，所以AD与BC不平行，所以四边形ABCD为梯形．
18．解析：(1)证明：∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，∠EDC＝90°，DE⊂平面CDEF，
∴DE⊥平面ABCD；
又AD⊥CD，
如图，以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
由已知得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，Q(1，2，1)，P(0，4，2)，
所以eq \(DA,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq \(DQ,\s\up6(→))＝(1，2，1)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(－2，0，2)
∴eq \(DQ,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝1×(－2)＋2×0＋1×2＝0，∴DQ⊥BP.
(2)设平面ADQ的一个法向量m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(DA,\s\up6(→))＝0，,m·\(DQ,\s\up6(→))＝0，))所以，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＝0，,x＋2y＋z＝0，))
令y＝－1，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝－1，,z＝2))则m＝(0，－1，2)
又DE⊥平面ABCD，故取平面ABCD的一个法向量n＝(0，0，1)
∴cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m|·|n|)＝eq \f(2,1×\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)
∴由图可知，二面角Q­AD­B的余弦值为eq \f(2\r(5),5).
19．解析：(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，2)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1).
则eq \(FP,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(1，2，0)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(0，1，1)，
∴eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→))，∴eq \(DE,\s\up6(→))∥平面PFB.
又∵D不在平面PFB内，∴DE∥平面PFB.
(2)设平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(FB,\s\up6(→))＝0，,n·\(FP,\s\up6(→))＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝0，,－x＋2z＝0，))令x＝2，得y＝－1，z＝1，
∴n＝(2，－1，1)，
又eq \(FD,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，
∴点D到平面PFB的距离d＝eq \f(|\(FD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(2,\r(6))＝eq \f(\r(6),3).
20．解析：
(1)因为BE∥FD，所以B，E，F，D四点共面，
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，设AC与BD的交点为O，以O为坐标原点，OA，OB以及垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz如图所示，则
A(eq \r(3)，0，0)，F(0，－1，2)，E(0，1，1)，D(0，－1，0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，－1，2)，
eq \(AD,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，－1，0)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，1)，
设m＝(x1，y1，z1)为平面AEF的一个法向量，
则有：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(AF,\s\up6(→))·m＝0,\(AE,\s\up6(→))·m＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\r(3)x1－y1＋2z1＝0,－\r(3)x1＋y1＋z1＝0))，
令y1＝1可得，m＝(eq \r(3)，1，2)
设直线AD和平面AEF所成角为θ，则
sinθ＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·m|,|\(AD,\s\up6(→))||m|)＝eq \f(|－4|,2×\r(8))＝eq \f(\r(2),2)，
所以直线AD和平面AEF所成角为45°.
(2)由(1)可知，平面AEF的一个法向量为m＝(eq \r(3)，1，2)
设n＝(x2，y2，z2)为平面ADF的一个法向量，
则有：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(AF,\s\up6(→))·n＝0,\(AD,\s\up6(→))·n＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\r(3)x2－y2＋2z2＝0,－\r(3)x2－y2＝0))，
令x2＝eq \r(3)
可得，n＝(eq \r(3)，－3，0)，
cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(3－3,\r(8)\r(12))＝0，
所以二面角E－AF－D的平面角为90°.
21．略
22．解析：
(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.
由题意知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4).
所以A1B＝(0，3，－4)，A1C1＝(4，0，0).
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·A1B＝0，,n·A1C1＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3y－4z＝0，,4x＝0.))
令z＝3，则x＝0，y＝4，所以平面A1BC1的一个法向量为n＝(0，4，3).
同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m＝(3，4，0).
所以cs〈n，m〉＝eq \f(n·m,|n||m|)＝eq \f(16,25).
由题意知二面角A1－BC1－B1为锐角，
所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为eq \f(16,25).
(3)假设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，
且eq \(BD,\s\up6(→))＝λBC1(λ∈[0，1])，
所以(x1，y1－3，z1)＝λ(4，－3，4).
解得x1＝4λ，y1＝3－3λ，z1＝4λ，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝(4λ，3－3λ，4λ).由eq \(AD,\s\up6(→))·A1B＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝eq \f(9,25).
因为eq \f(9,25)∈[0，1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.
此时eq \f(BD,BC1)＝λ＝eq \f(9,25).