高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4. 1 直线的方向向量与平面的法向量同步训练题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4. 1 直线的方向向量与平面的法向量同步训练题，共6页。
1．若A(0,2,1)，B(3,2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(－3,0，－6) B．(9,0，－6)
C．(－2,0,2) D．(－2,1,3)
2．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)
3．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且eq \f(|A\(C,\s\up6(→))|,|A\(B,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,3)，则点C的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，－\f(1,2)，\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，－3，2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，－1，\f(7,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(7,2)，\f(3,2)))
4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列各点中，在平面α内的是( )
A．P(1，－1,1) B．Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))
C．Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2))) D．Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
5．[多选题]若Peq \(A,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是( )
A．Peq \(A,\s\up6(→))⊥Aeq \(B,\s\up6(→)) B．Peq \(A,\s\up6(→))⊥Ceq \(D,\s\up6(→))
C．Peq \(C,\s\up6(→))⊥Beq \(D,\s\up6(→)) D．Peq \(C,\s\up6(→))⊥Aeq \(B,\s\up6(→))
6．[多选题]已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果Aeq \(B,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，Aeq \(D,\s\up6(→))＝(4,2,0)，Aeq \(P,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的是( )
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．Aeq \(P,\s\up6(→))是平面ABCD的一个法向量
D．Aeq \(P,\s\up6(→))∥Beq \(D,\s\up6(→))
7．已知直线l1的一个方向向量为(－5,3,2)，另一个方向向量为(x，y,8)，则x＝____________，y＝____________.
8．棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为_____________________________．
9．已知向量b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)，若在直线AB上，存在一点E，使得Oeq \(E,\s\up6(→))⊥b(O为原点)，则点E的坐标为________．
10．如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设Beq \(C,\s\up6(→))＝a，Beq \(D,\s\up6(→))＝b，Beq \(A,\s\up6(→))＝c，以{a，b，c}为空间的一个基，求直线EF的一个方向向量．
[提能力]
11．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A．(1,1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))
12．[多选题]已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)，若c为平面α的一个法向量，则( )
A．m＝－1 B．m＝1
C．n＝2 D．n＝－2
13．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，\f(19,8)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(5,8)))是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x:y:z＝________.
14．已知空间直角坐标系O­xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则直线OA的一个方向向量为________，点P的坐标满足的条件为________．
15．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：Aeq \(E,\s\up6(→))是平面A1D1F 的一个法向量．
[培优生]
16．已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)如图，以Aeq \(B,\s\up6(→))的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为数轴上的两点，求分别满足下列条件的点P和点Q的坐标．
(1)AP:PB＝1:2；
(2)AQ:QB＝2:1.
课时作业(二十九)
1．解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，0，－2)＝eq \f(1,3)(9，0，－6)，故选B.
答案：B
2．解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·n＝0，,b·n＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋z＝0，,5x＋6y＋4z＝0，))
令z＝1，得x＝－2，y＝1∴n＝(－2，1，1).故选C.
答案：C
3．解析：设C(x，y，z)∵C为线段AB上一点且eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,3)，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，即(x－4，y－1，z－3)＝eq \f(1,3)(－2，－6，－2)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4＝－\f(2,3),y－1＝－2，,z－3＝－\f(2,3)))，∴x＝eq \f(10,3)，y＝－1，z＝eq \f(7,3)，
因此点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，－1，\f(7,3))).
故选C.
答案：C
4．解析：对于B，eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，4，－\f(1,2)))，则n·eq \(AQ,\s\up6(→))＝(3，1，2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，4，－\f(1,2)))＝0，
∴n⊥eq \(AQ,\s\up6(→))，则点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))在平面α内．
答案：B
5．解析：由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．
答案：ABC
6．解析：∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确；又eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))不平行，∴eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的一个法向量，则C正确；
由于eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3，4)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，∴eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(AP,\s\up6(→))不平行，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
7．解析：∵直线的方向向量平行，
∴eq \f(x,－5)＝eq \f(y,3)＝eq \f(8,2)，
∴x＝－20，y＝12.
答案：－20 12
8．解析：由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以DB1＝(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1).
答案：(1，1，1)(答案不唯一)
9．解析：eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，因eq \(OE,\s\up6(→))⊥b，则eq \(OE,\s\up6(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，
解得t＝eq \f(9,5)，因此存在点E，使得OE⊥b，此时点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5)))
10．解析：eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))－eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c.
故直线EF的一个方向向量为eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c.
答案：eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
11．解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，又eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·n＝－y＋z＝0，,\(BC,\s\up6(→))·n＝－x＋y＝0))
∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确．
答案：B
12．解析：c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的一个法向量，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c·a＝0，,c·b＝0，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋4＋m＋2n－4＋m－n＋1＝0，,2（m＋2n－4）－（m－n＋1）＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝2.))
答案：AC
13．解析：由已知得，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，－\f(7,4)))，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－1，－\f(7,4)))，
∵a是平面α的一个法向量，
∴a·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，a·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y－\f(7,4)z＝0，,－2x－y－\f(7,4)z＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)y，,z＝－\f(4,3)y，))
∴x∶y∶z＝eq \f(2,3)y∶y∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)y))＝2∶3∶(－4).
答案：2∶3∶(－4)
14．解析：由题意知，OA⊥α，直线OA的一个方向向量为eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1，1)，因为P∈α，所以eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AP,\s\up6(→))，所以(1，1，1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3.
答案：(1，1，1)(答案不唯一) x＋y＋z＝3
15．证明：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，
D1(0，0，1)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，A1(1，0，1)，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，D1F＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1)).
A1D1＝(－1，0，0)∵eq \(AE,\s\up6(→))·D1F＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1))＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝0，又eq \(AE,\s\up6(→))·A1D1＝0，
∴eq \(AE,\s\up6(→))⊥D1F，eq \(AE,\s\up6(→))⊥A1D1，即AE⊥D1F，AE⊥A1D1，又A1D1∩D1F＝D1，A1D1，D1F⊂平面A1D1F，∴AE⊥平面A1D1F，∴eq \(AE,\s\up6(→))是平面A1D1F的一个法向量．
16．解析：(1)由已知，得eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(AP,\s\up6(→))，即eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝2(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)).设点P的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)＝eq \f(2,3)(2，4，0)＋eq \f(1,3)(1，3，3)，即x＝eq \f(4,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,3)，y＝eq \f(8,3)＋eq \f(3,3)＝eq \f(11,3)，z＝0＋1＝1，因此，点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(11,3)，1)).
(2)因为AQ∶QB＝2∶1，所以eq \(AQ,\s\up6(→))＝－2eq \(QB,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝－2(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OQ,\s\up6(→)))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→)).设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，Q点的坐标是(0，2，6).