高中数学3.1 组合课时作业

这是一份高中数学3.1 组合课时作业，共5页。

1．若Aeq \\al(3,n)＝12Ceq \\al(n－2,n)，则n＝( )
A．4 B．6
C．7 D．8
2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．Aeq \\al(3,10)种 B．Ceq \\al(3,10)种
C．Ceq \\al(3,10)Aeq \\al(3,10)种 D．30种
3．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )
A．3 B．4
C．12 D．24
4．Ceq \\al(97,98)＋2Ceq \\al(96,98)＋Ceq \\al(95,98)等于( )
A．Ceq \\al(97,99) B．Ceq \\al(97,100)
C．Ceq \\al(98,99) D．Ceq \\al(98,100)
5．若Ceq \\al(n,12)＝Ceq \\al(2n－3,12)，则n等于( )
A．3 B．5
C．3或5 D．15
6．[多选题]以下式子中正确的是( )
A．Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),m！) B．Aeq \\al(m,n)＝mAeq \\al(m－1,n－1)
C．Ceq \\al(m,n)÷Ceq \\al(m＋1,n)＝eq \f(m＋1,n－m) D．Ceq \\al(m＋1,n＋1)＝eq \f(n＋1,m＋1)Ceq \\al(m,n)
7．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有的组合为________．
8．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．
9．若Ceq \\al(3,n)＝Ceq \\al(3,n－1)＋Ceq \\al(4,n－1)，则n的值为________．
10．(1)计算：Ceq \\al(4,7)＋Ceq \\al(48,50)·Ceq \\al(9,9)；
(2)已知eq \f(C\\al(5,n－1)＋C\\al(3,n－3),C\\al(3,n－3))＝3eq \f(4,5)，求n的值．
[提能力]
11．组合数Ceq \\al(r,n)(n>r ≥1 ，n，r∈Z)恒等于( )
A.eq \f(r＋1,n＋1)Ceq \\al(r－1,n－1) B．(n＋1)(r＋1)Ceq \\al(r－1,n－1)
C．nrCeq \\al(r－1,n－1) D.eq \f(n,r)Ceq \\al(r－1,n－1)
12．[多选题]由Ceq \\al(x＋1,10)＋C17－x10可得相同值的x的值有( )
A．6 B．7
C．8 D．9
13．如果Aeq \\al(5,n)＝aCeq \\al(n－5,n)，则a的值是________．
14．已知Ceq \\al(4,n)，Ceq \\al(5,n)，Ceq \\al(6,n)成等差数列，则Ceq \\al(12,n)＝________.
15．(1)已知6Ceq \\al(x－7,x－3)＝10Aeq \\al(2,x－4)(x≥7，x∈N＋)，求x的值；
(2)解不等式Ceq \\al(4,n)＞Ceq \\al(6,n)(n≥6，n∈N＋)．
[培优生]
16．证明：m！＋eq \f(m＋1！,1！)＋eq \f(m＋2！,2！)＋…＋eq \f(m＋n！,n！)＝m！Ceq \\al(n,m＋n＋1).
课时作业(三十九)
1．解析：∵A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) ＝12C eq \\al(\s\up1(n－2),\s\d1(n)) ＝12C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ，
∴n(n－1)(n－2)＝12×eq \f(n（n－1）,2)，即n－2＝6，∴n＝8，故选D.
答案：D
2．解析：三张票没区别，从10人中选3人即可，即C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ，故选B.
答案：B
3．解析：从A、B、C、D四点中任意取出3点为顶点都能构成三角形，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝4种取法．
答案：B
4．解析：原式＝C eq \\al(\s\up1(97),\s\d1(98)) ＋C eq \\al(\s\up1(96),\s\d1(98)) ＋C eq \\al(\s\up1(96),\s\d1(98)) ＋C eq \\al(\s\up1(95),\s\d1(98)) ＝C eq \\al(\s\up1(97),\s\d1(99)) ＋C eq \\al(\s\up1(96),\s\d1(99)) ＝C eq \\al(\s\up1(97),\s\d1(100)) .
答案：B
5．解析：由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5.
答案：C
6．解析：A式显然成立；
B式中A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n－1)) ＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝nA eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n－1)) ，故B不成立；
对于C式，C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ÷C eq \\al(\s\up1(m＋1),\s\d1(n)) ＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ,C eq \\al(\s\up1(m＋1),\s\d1(n)) )＝eq \f(A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ·（m＋1）！,m！·A eq \\al(\s\up1(m＋1),\s\d1(n)) )＝eq \f(m＋1,n－m)，故C式成立；
对于D式，C eq \\al(\s\up1(m＋1),\s\d1(n＋1)) ＝eq \f(A eq \\al(\s\up1(m＋1),\s\d1(n＋1)) ,（m＋1）！)＝eq \f(（n＋1）·A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ,（m＋1）m！)＝eq \f(n＋1,m＋1)C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ，故D式成立．
答案：ACD
7．解析：要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来．如图所示．
答案：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de
8．解析：甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝eq \f(3×2,2)＝3.
答案：3
9．解析：组合数性质1：C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(n－m),\s\d1(n)) ，性质2：C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n＋1))
顺次应用性质2和性质1可得C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(n－4),\s\d1(n)) ，∴n－4＝3⇒n＝7.
答案：7
10．解析：(1)原式＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(50)) ×1＝eq \f(7×6×5,3×2×1)＋eq \f(50×49,2×1)＝35＋1225＝1260.
(2)原方程可变形为eq \f(C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n－1)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n－3)) )＋1＝eq \f(19,5)，即C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n－1)) ＝eq \f(14,5)C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n－3)) ，
即eq \f(（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）（n－5）,5！)
＝eq \f(14,5)·eq \f(（n－3）（n－4）（n－5）,3！).
化简整理，得n2－3n－54＝0.
解得n＝－6(舍去)或n＝9.故n＝9.
11．解析：eq \f(n,r)C eq \\al(\s\up1(r－1),\s\d1(n－1)) ＝eq \f(n,r)·eq \f(（n－1）！,（r－1）！[n－1－（r－1）]！)
＝eq \f(n·（n－1）！,r·（r－1）！（n－r）！)＝eq \f(n！,r！（n－r）！)＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) .
答案：D
12．解析：因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1≤10，,17－x≤10，,x＋1≥0，,17－x≥0，))
所以7≤x≤9，
又x∈N＋，所以x＝7，8，9.
当x＝7时，C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(10),\s\d1(10)) ＝46；
当x＝8时，C eq \\al(\s\up1(9),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(9),\s\d1(10)) ＝20；
当x＝9时，C eq \\al(\s\up1(10),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(10)) ＝46.
答案：BD
13．解析：a＝eq \f(A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ,C eq \\al(\s\up1(n－5),\s\d1(n)) )＝eq \f(A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ,C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) )＝eq \f(A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ·5！,A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) )＝5！＝120.
答案：120
14．解析：因为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ，C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ，C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(n)) 成等差数列，
所以2C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(n)) ，
所以2×eq \f(n！,5！（n－5）！)＝eq \f(n！,4！（n－4）！)＋eq \f(n！,6！（n－6）！)，
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝14，n＝7(舍去)，则C eq \\al(\s\up1(12),\s\d1(14)) ＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(14)) ＝91.
答案：91
15．解析：(1)原方程变为
eq \f(6（x－3）！,（x－7）！（x－3－x＋7）！)＝eq \f(10（x－4）！,（x－4－2）！)(x≥7)，
即x2－9x－22＝0，解得x1＝11，x2＝－2(舍去)，
经检验x＝11符合，所以x的值为11.
(2)因为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ＞C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(n)) ，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) >C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(n)) ，,n≥6))，⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n！,4！（n－4）！)＞\f(n！,6！（n－6）！)，,n≥6，))
⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2－9n－10<0，,n≥6，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1因为n∈N＋，所以n＝6，7，8，9.
所以不等式的解集为{6，7，8，9}．
16．证明：方法一 原式左边＝m！(1＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(m＋1)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m＋2)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m＋n)) )
＝m！(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(m＋1)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(m＋1)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m＋2)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m＋n)) )
＝m！(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(m＋2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m＋2)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m＋n)) )
＝m！(C2m＋3＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(m＋3)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m＋n)) )
…
＝m！C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m＋n＋1)) ＝右边．
故原式成立．
方法二 运用结论：C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(m)) ＋C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(m＋1)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(m＋1),\s\d1(n＋1)) ，
原式左边＝m！(1＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(m＋1)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m＋2)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m＋n)) )
＝m！(C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(m)) ＋C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(m＋1)) ＋C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(m＋2)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(m＋n)) )
＝m！·C eq \\al(\s\up1(m＋1),\s\d1(m＋n＋1)) ＝m！C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m＋n＋1)) ＝右边．