高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 二项式系数的性质课后复习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 二项式系数的性质课后复习题，共5页。
1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( )
A．8 B．6
C．4 D．2
2．(2x－3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为( )
A．－1 B．512
C．－512 D．1
3．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20
C．30 D．120
4．已知Ceq \\al(0,n)＋2Ceq \\al(1,n)＋22Ceq \\al(2,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n)＝729，则Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)的值等于( )
A．64 B．32
C．63 D．31
5．已知(x－1)9(1－x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝( )
A．－45 B．27
C．－27 D．45
6．[多选题]若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))n的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
7．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax－\f(1,x)))4的展开式中各项系数之和是16.则a＝________.
8．若(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a0＋a1＋a2＋…＋a6＝________.
9．二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x2)))7的展开式中，所有二项式系数的和是________，含x的项的系数是________．
10．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2\r(x))))n的展开式中前三项的系数成等差数列.
(1)求展开式的二项式系数的和；
(2)求展开式中含x2的项．
[提能力]
11．[多选题]关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))6的展开式，下列结论正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为32
B．所有项的系数和为0
C．常数项为－20
D．二项式系数最大的项为第3项
12．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“0－1三角”．在“0－1三角”中，从第1行起，设第n(n∈N＋)次出现全行为1时，1的个数为an，则a3等于( )
A．26 B．27
C．7 D．8
13．观察下列等式：
(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，
(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，
(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，
(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，
……
由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝________.
14．早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知(ax－1)6的展开式中x3的系数为－160，则实数a＝________；展开式中各项系数之和为________．(用数字作答)
15．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
求：(1)a1＋a2＋…＋a14；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
[培优生]
16．若(2x＋4)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n(n∈N*)，则a2＋a4＋…＋a2n被3除的余数是________．
课时作业(四十二)
1．解析：由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.
答案：B
2．解析：(a＋b)n展开式中所有项的二项系数和为2n.
(2x－3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为29＝512.
答案：B
3．解析：由2n＝64，得n＝6，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(6)的展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) x6－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(k)＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) x6－2k(0≤k≤6，k∈N).由6－2k＝0，得k＝3，∴T4＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＝20.故选B.
答案：B
4．解析：由已知得3n＝729，∴n＝6，
∴C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(6)) ＝32.
答案：B
5．解析：当(1－x)取1时，(x－1)9取8个x，则a8＝－1×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) ，
当(1－x)取－x时，(x－1)9取7个x，则a8＝－1×C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(9)) ×(－1)2，
所以a8＝－1×C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(9)) ×(－1)2－1×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) ＝－45.
答案：A
6．解析：由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ，C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(n)) ，
又因为其相等，则n＝9
所以该展开式中二项式系数最大的项为eq \f(9－1,2)＋1＝5与eq \f(9＋1,2)＋1＝6项
即为第5项；第6项．
答案：CD
7．解析：由题意可得(a－1)4＝16，a－1＝±2，解得a＝－1或a＝3.
答案：－1或3
8．解析：在(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6中，令x＝1可得，(1＋1)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.
所以a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26＝64.
答案：64
9．解析：由题意所有二项式系数的和为27＝128，
题中二项式展开式通项公式为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(7)) x7－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x2)))eq \s\up12(k)＝2kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(7)) k7－3k，令7－3k＝1，k＝2，
所以含x的项的系数是22C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝84.
答案：128 84
10．解析：二项展开式的通项公式为：Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) xn－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2\r(x))))k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))kxn－eq \f(3k,2)
∴展开式前三项的系数依次为C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ，eq \f(1,2)C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ，eq \f(1,4)C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n))
∴C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ＋eq \f(1,4)C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ，整理可得：n2－9n＋8＝0
解得：n＝1(舍)或n＝8
∴二项展开式的通项公式为：Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(8)) x8－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2\r(x))))k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(8)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))kx8－eq \f(3k,2)
(1)二项展开式的二项式系数的和为：C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(8)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(8)) ＝28＝256
(2)令8－eq \f(3,2)k＝2，解得：k＝4
∴展开式中含x2的项为T5＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4x2＝eq \f(35,8)x2.
11．解析：二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(6)展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) x6－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up12(k)＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) x6－2k(－1)k令6－2k＝0，解得k＝3，则常数项为T4＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) (－1)3＝－20，故C正确；
且二项式系数最大的项为第4项，故D错误；
二项式系数和C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ＝26＝64；
令x＝1，得所有项的系数和为0，故A错误，B正确；
答案：BC
12．解析：第3次出现全行为1，这说明杨辉三角中这一行全是奇数，即C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) (k＝0，1，2，…，n)是奇数，经验证可知，第3次出现全行为1时，1的个数为8.
答案：D
13．解析：观察给出各展开式中x2的系数：1，3，6，10，据此可猜测a2＝eq \f(n（n＋1）,2).
答案：eq \f(n（n＋1）,2)
14．解析：由于(ax－1)6展开式的通项公式为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(6)) ·a6－k·x6－k·(－1)k，
令6－k＝3，解得k＝3，故(ax－1)6展开式中x3的系数为(－1)3C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ·a3＝－160，解得a＝2，
故(ax－1)6＝(2x－1)6展开式中各项系数和为 (2－1)6＝1.
答案：2 1
15．解析：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27，令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a14＝27－1.
(2)由(1)，得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27，①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝67，②
由①－②，得2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝eq \f(27－67,2).
16．解析：令x＝0，得a0＝42n；分别令x＝1和x＝－1，将得到的两式相加，得a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝eq \f(1,2)(62n＋22n)，
所以a2＋a4＋…＋a2n＝eq \f(1,2)(62n＋22n)－42n＝22n－1(32n＋1)－42n＝(3－1)2n－1·(32n＋1)－(3＋1)2n.
根据二项式定理，展开后不能被3整除的算式为(－1)2n－1×1－12n＝－2，所以余数为1.
答案：1