高中1.6 平面直角坐标系中的距离公式精练

这是一份高中1.6 平面直角坐标系中的距离公式精练，共5页。
1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
2．已知平面上两点A(x，eq \r(2)－x)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0))，则|AB|的最小值为( )
A．3 B.eq \f(1,3)
C．2 D.eq \f(1,2)
3．已知两直线l1：x＋y－2＝0，l2：2x－y－1＝0相交于点P，则点P到原点的距离为( )
A.eq \r(5) B．5
C.eq \r(2) D．2
4．已知点M(－1,3)，N(5,1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是( )
A．x＋3y－8＝0 B．x－3y＋8＝0
C．x－3y＋9＝0 D．3x－y－4＝0
5．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x平行，则|AB|的值为( )
A．6 B.eq \r(6)
C.eq \r(2) D．2
6．[多选题]等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能为( )
A．(2,0) B．(6,4)
C．(0,2) D．(4,6)
7．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a等于________．
8．点P与x轴及点A(－4,2)的距离都是10，则P的坐标为________．
9．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程．
[提能力]
11．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．3＋2eq \r(3)
C．6＋3eq \r(2) D．6＋eq \r(10)
12．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形
13．等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．
14．在△ABC中，A(1,1)，B(3,1)，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标为________．
15．已知正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF交于点G，求证：|AG|＝|AD|.
[培优生]
16．已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则|PQ|的最小值为________．
课时作业(七)
1．解析：由|AB|＝eq \r(（－2－a）2＋（－1－3）2)＝5⇒a＝1或a＝－5，故选C.
答案：C
2．解析：∵|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋（\r(2)－x－0）2)
＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)＋\f(1,4))≥eq \f(1,2)，当且仅当x＝eq \f(3\r(2),4)时等号成立，
∴|AB|min＝eq \f(1,2).
答案：D
3．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,2x－y－1＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))两直线的交点坐标为(1，1)，故到原点的距离为eq \r(（1－0）2＋（1－0）2)＝eq \r(2).
答案：C
4．解析：由|PM|＝|PN|，得(x＋1)2＋(y－3)2＝(x－5)2＋(y－1)2，化简得3x－y－4＝0.
答案：D
5．解析：kAB＝eq \f(b－a,5－4)＝b－a.又因为过点A，B的直线与y＝x平行，所以b－a＝1，所以|AB|＝eq \r(（5－4）2＋（b－a）2)＝eq \r(2).
答案：C
6．解析：设B(x，y)，则由BC⊥AC，得kBC·kAC＝eq \f(y－3,x－3)·eq \f(1,－3)＝－1，所以y＝3x－6.又|BC|＝|AC|，则(x－3)2＋(y－3)2＝(0－3)2＋(4－3)2＝10.两方程联立解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝6，))所以点B的坐标为(2，0)或(4，6).
答案：AD
7．解析：|AB|2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2＝2a2－2a＋25＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(49,2)，所以当a＝eq \f(1,2)时，|AB|取得最小值．
答案：eq \f(1,2)
8．解析：设P(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|y|＝10，,（x＋4）2＋（y－2）2＝100.))
当y＝10时，x＝2或－10，当y＝－10时无解．
则P(2，10)或P(－10，10).
答案：(2，10)或(－10，10)
9．解析：设A(x，0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴eq \f(x,2)＝2，eq \f(y,2)＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，
∴|AB|＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5).
答案：2eq \r(5)
10．解析：∵点B在直线l1上，∴设B(x0，6－2x0)，
∵|AB|＝5，∴eq \r(（x0－1）2＋（7－2x0）2)＝5，
整理，得x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.
∴点B的坐标为(1，4)或(5，－4).
∴直线l2的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
11．解析：|AB|＝eq \r(（2＋1）2＋32)＝3eq \r(2)，|BC|＝eq \r(（2＋1）2＋0)＝3，|AC|＝eq \r(（2－2）2＋32)＝3，则△ABC的周长为6＋3eq \r(2).故选C.
答案：C
12．解析：根据两点间的距离公式，得|AB|＝eq \r(（5－1）2＋（5－4）2)＝eq \r(17)，|AC|＝eq \r(（5－4）2＋（5－1）2)＝eq \r(17)，|BC|＝eq \r(（1－4）2＋（4－1）2)＝3eq \r(2)，所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，故△ABC是等腰非等边三角形．故选C.
答案：C
13．解析：|BD|＝eq \f(1,2)|BC|＝2，|AD|＝eq \r(（5－3）2＋（4－0）2)＝2eq \r(5).
在Rt△ADB中，
由勾股定理得腰长|AB|＝eq \r(22＋（2\r(5)）2)＝2eq \r(6).
答案：2eq \r(6)
14．解析：设点C的坐标为(x，y)，因为△ABC为等边三角形，
所以|AC|＝|BC|，
即eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)＝eq \r(（x－3）2＋（y－1）2).①
又|AC|＝|AB|，
即eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)＝eq \r(（1－3）2＋（1－1）2).②
由①得x＝2，代入②得y＝1±eq \r(3).
所以所求点C的坐标为(2，1＋eq \r(3))或(2，1－eq \r(3)).
答案：(2，1＋eq \r(3))或(2，1－eq \r(3))
15．解析：建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，0)，F(0，1)，D(2，2).
直线DE的方程为y＝2x－2，
直线CF的方程为y＝－eq \f(1,2)x＋1，
联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x－2，,y＝－\f(1,2)x＋1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(6,5)，,y＝\f(2,5)，))
即点Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(2,5))).
从而|AG|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)－2))\s\up12(2))＝2＝|AD|，
所以|AG|＝|AD|.
16．解析：易知A(0，1)，B(1，0)，所以直线AB：y＝1－x.
又Q(0，－2)，设P(x0，y0)，则y0＝1－x0，所以|PQ|＝eq \r(（x0－0）2＋（y0＋2）2)＝eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋（3－x0）2)＝eq \r(2（x0－\f(3,2)）2＋\f(9,2))≥eq \r(\f(9,2))＝eq \f(3\r(2),2)(当且仅当x0＝eq \f(3,2)时等号成立)，所以|PQ|的最小值为eq \f(3\r(2),2).
答案：eq \f(3\r(2),2)