高中数学第三章 空间向量与立体几何2 空间向量与向量运算2.1 从平面向量到空间向量习题

这是一份高中数学第三章 空间向量与立体几何2 空间向量与向量运算2.1 从平面向量到空间向量习题，共5页。
1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．1 C.eq \r(2) D．2eq \r(2)
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则平面α外的点P(－2,1,4)到平面α的距离为( )
A．10 B．3 C.eq \f(8,3) D.eq \f(10,3)
3．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(3),2)
4．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A.eq \r(2)a B.eq \r(3)a C.eq \f(\r(2),3)a D.eq \f(\r(3),3)a
5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为2，则异面直线AC与A1D的距离为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \r(2) D．1
6．[多选题]已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，若点P(－2,1，z)到α的距离为eq \f(10,3)，则z＝( )
A．－16 B．－4 C．4 D．16
7．在空间直角坐标系O­xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d＝________.
8．如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2，BC＝3，AA′＝4，则点B到直线A′C的距离为________．
9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为4，则点A1到平面AB1D1的距离是________．
10．已知三棱柱ABC­A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．求点C到平面AB1D的距离．
[提能力]
11．已知ABCD­EFGH是棱长为1的正方体，若点P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则点P到AB的距离为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(\r(181),12)
C.eq \f(10\r(30),6) D.eq \f(\r(5),6)
12．如图，在直二面角D­AB­E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(2\r(3),3)
C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
13．如图，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是所在棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为________.

13题图 14题图
14．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．则点D到平面PEF的距离为____________，直线AC到平面PEF的距离为________________．
15．如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
[培优生]
16．已知在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求点C1到平面A1AB的距离．
课时作业(三十四)
1．解析：∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，2，－2)，
∴点A到直线BC的距离为：d＝|eq \(AB,\s\up6(→))|eq \r(1－（cs〈\(AB,\s\up6(→))，\(BC,\s\up6(→))〉）\(2,\s\up6( )))＝1×eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1,1×3)))\s\up12(2))＝eq \f(2\r(2),3).
答案：A
2．解析：由题意可知eq \(PA,\s\up6(→))＝(1，2，－4).设点P到平面α的距离为h，则h＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq \f(10,3).
答案：D
3．答案：D
4．解析：由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．显然A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D­xyz，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1).又A(a，0，0)，B(a，a，0)，∴eq \(BA,\s\up6(→))＝(0，－a，0)，则两平面间的距离为d＝eq \f(|\(BA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(a,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)a.
答案：D
5．答案：A
6．解析：因为n＝(－2，－2，1)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，－2，z)，且d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|2＋4＋z|,\r(4＋4＋1))＝eq \f(|6＋z|,3)＝eq \f(10,3)，所以z＝4或－16.
答案：AC
7．解析：d＝eq \f(|n·\(OP,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(|－2－6＋2|,\r(4＋4＋1))＝2.
答案：2
8．解析：∵AB＝2，BC＝3，AA′＝4，则B(2，0，0)，C(2，3，0)，A′(0，0，4)，
∴eq \(CA′,\s\up6(→))＝(0，0，4)－(2，3，0)＝(－2，－3，4)，
∴eq \(CB,\s\up6(→))＝(2，0，0)－(2，3，0)＝(0，－3，0)，
∴eq \(CB,\s\up6(→))在eq \(CA′,\s\up6(→))上的投影为
eq \f(\(CB,\s\up6(→))·\(CA′,\s\up6(→)),|\(CA′,\s\up6(→))|)＝eq \f(（0，－3，0）·（－2，－3，4）,\r(（－2）2＋（－3）2＋42))＝eq \f(9,\r(29))＝eq \f(9\r(29),29).
∴点B到直线A′C的距离
d＝eq \r(|\(CB,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(CB,\s\up6(→))·\(CA′,\s\up6(→)),|\(CA′,\s\up6(→))|)))\(2,\s\up6( )))＝eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,\r(29))))2)＝eq \f(6\r(145),29).
答案：eq \f(6\r(145),29)
9．答案：eq \f(4,3)
10．略
11．答案：A
12．答案：B
13．答案：eq \f(2,3)
14．解析：建立以D为坐标原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DP,\s\up6(→))分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，－1))，
eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\(PE,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＝0，,x＋\f(1,2)y－z＝0.))
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离d＝eq \f(|\(DE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|2＋1|,\r(4＋4＋9))＝eq \f(3\r(17),17)，
因此点D到平面PEF的距离为eq \f(3\r(17),17).
因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.
又因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，所以AC∥平面PEF.
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，所以点A到平面PEF的距离d＝eq \f(|\(AE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(17))＝eq \f(\r(17),17).
所以直线AC到平面PEF的距离为eq \f(\r(17),17).
答案：eq \f(3\r(17),17) eq \f(\r(17),17)
15．略
16．略