北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 从平面向量到空间向量练习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 从平面向量到空间向量练习题，共7页。
1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋eq \r(13)
C．4 D．13
3．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为( )
A．a2 B.eq \f(1,2)a2
C.eq \f(1,4)a2 D.eq \f(\r(3),4)a2
5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(1,2) D．0
6．[多选题]已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列向量的数量积可能为0的是( )
A.eq \(AD1,\s\up6(→))·eq \(B1C,\s\up6(→)) B.eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD1,\s\up6(→)) D.eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))
7．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq \r(7)，则cs〈a，b〉＝________.
8．在空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝________.
9．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq \(B1C,\s\up6(→))·eq \(A1P,\s\up6(→))＝________，eq \(B1C,\s\up6(→))与eq \(A1P,\s\up6(→))所成角的大小为________．
10．已知正三棱锥A­BCD的侧棱长和底面边长均为a，点E，F分别是AB，AD上的点，且AEEB＝AFFD＝12，求下列向量的数量积：
(1)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))；(2)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))；(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→)).
[提能力]
11．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为( )
A.eq \r(13) B.eq \r(23)
C.eq \r(33) D.eq \r(43)
12．[多选题]在空间四边形ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则下列结论成立的是( )
A．|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|
B．|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2
C．(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0
D.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))
13．已知空间向量a，b，|a|＝3eq \r(2)，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．
14．如图，已知正四面体ABCD中，AE＝eq \f(1,4)AB，CF＝eq \f(1,4)CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．
15．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为eq \r(2)的正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为eq \f(π,3)，求侧棱长．
[培优生]
16．如图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；
(2)求〈eq \(DM,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))〉．
课时作业(二十五)
1．解析：∵a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝|a||b|
∴cs〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0
当a与b反向时，不能成立．故选A.
答案：A
2．解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cs120°＝2×4－2×5×(－eq \f(1,2))＝13.故选D.
答案：D
3．解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，
|e1|＝|e2|＝1，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.
答案：B
4．解析：eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a×a×\f(1,2)＋a×a×\f(1,2)))＝eq \f(1,4)a2.故选C.
答案：C
5．解析：eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|－eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，∴cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝0.故选D.
答案：D
6．解析：对于选项A，在正方形ADD1A1中，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有AD1·B1C＝0；对于选项B，在正方形ABCD中，AC⊥BD，易得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有·eq \(AC,\s\up6(→))＝0；对于选项C，由正方体的性质，可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有eq \(AB,\s\up6(→))·＝0；对于选项D，由正方体的性质，可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即·eq \(BC,\s\up6(→))≠0.故选ABC.
答案：ABC
7．解析：将|a－b|＝eq \r(7)两边平方，得(a－b)2＝7.
因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝eq \f(1,2).
又a·b＝|a||b|cs〈a，b〉，故cs〈a，b〉＝eq \f(1,8).
答案：eq \f(1,8)
8．解析：原式＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＋eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0.
答案：0
9．解析：方法一 连接A1D，则∠PA1D就是B1C与A1P所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq \r(2)，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即B1C与A1P所成角的大小为60°.因此B1C·A1P＝eq \r(2)×eq \r(2)×cs60°＝1.
方法二 根据向量的线性运算可得
B1C·A1P＝(＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)))＝AD2＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝eq \r(2)，则eq \r(2)×eq \r(2)×cs〈B1C，A1P〉＝1，从而〈B1C，A1P〉＝60°.
答案：1 60°
10．解析：
如图，
(1)由题意知，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝a，|eq \(DB,\s\up6(→))|＝a，〈eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))〉＝120°，所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(DB,\s\up6(→))|cs120°＝－eq \f(1,2)a2.
(2)因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→)).
又|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝a，〈eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝〈eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝60°，
所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a2＝0.
(3)因为点E，F分别是AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶2，所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up6(→))，所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→)).
又〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝60°，所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a2cs60°＝eq \f(1,6)a2.
11．解析：∵eq \(AC′,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(→))，
∴eq \(AC′,\s\up6(→))2＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(→)))2
＝AB2＋BC2＋eq \(CC′,\s\up6(→))2＋2(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CC′,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CC′,\s\up6(→)))
＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cs60°＋2×3cs60°)
＝14＋2×eq \f(9,2)＝23，
∴|eq \(AC′,\s\up6(→))|＝eq \r(23)，即AC′的长为eq \r(23).
答案：B
12．解析：因为eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))两两垂直，所以(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，所以(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋2(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2，(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))2＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2－2(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2，故|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|，因此A正确；易得B正确；C中，(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2－eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2，当|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|时，|eq \(AC,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝0，否则不成立，因此C不正确；D中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，同理可得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，因此D正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：由题意知a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝3eq \r(2)×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－15，由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，即|a|2＋a·λb＋a·b＋λ|b|2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0，解得λ＝－eq \f(3,10).
答案：－eq \f(3,10)
14．解析：因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，则eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→)))·(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))＝0＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＋0＝4×1×cs120°＋1×4×cs120°＝－4，BF＝DE＝eq \r(42＋12－2×4×1×cs60°)＝eq \r(13)，所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为csθ＝eq \f(|\(BF,\s\up6(→))·\(DE,\s\up6(→))|,|\(BF,\s\up6(→))||\(DE,\s\up6(→))|)＝eq \f(4,13).
答案：eq \f(4,13)
15．解析：(1)证明：＝eq \(AB,\s\up6(→))＋，＝＋eq \(BC,\s\up6(→)).
∵BB1⊥平面ABC，∴·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝π－〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3).
∴·＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋)·(＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋2＋·eq \(BC,\s\up6(→))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＋2
＝eq \r(2)×eq \r(2)×(－eq \f(1,2))＋1＝0，
∴AB1⊥BC1，即AB1⊥BC1.
(2)结合(1)，知·＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＋2＝2－1.
又|AB1|＝eq \r(（\(AB,\s\up6(→))＋BB1）2)＝eq \r(2＋|BB1|2)＝|BC1|.
∴cs〈，〉＝eq \f(|BB1|2－1,2＋|BB1|2)＝eq \f(1,2)，
∴|BB1|＝2，即侧棱长为2.
16．解析：(1)证明：设eq \(VA,\s\up6(→))＝a，eq \(VB,\s\up6(→))＝b，eq \(VC,\s\up6(→))＝c，正四面体的棱长为1，
则eq \(VD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)，eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(b＋c－5a)，
eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(a＋c－5b)，eq \(CO,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(a＋b－5c)，
所以eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(1,36)(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝eq \f(1,36)(18a·b－9|a|2)＝eq \f(1,36)(18×1×1×cs60°－9)＝0，
所以eq \(AO,\s\up6(→))⊥eq \(BO,\s\up6(→))，
即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO.
所以AO，BO，CO两两垂直．
(2)eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \(DV,\s\up6(→))＋eq \(VM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(a＋b＋c)＋eq \f(1,2)c＝eq \f(1,6)(－2a－2b＋c)，所以|eq \(DM,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,6)（－2a－2b＋c）))\s\up12(2))＝eq \f(1,2).
又|eq \(AO,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,6)（b＋c－5a）))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2)，
eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(－2a－2b＋c)·eq \f(1,6)(b＋c－5a)＝eq \f(1,4)，
所以cs〈eq \(DM,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))〉＝eq \f(\f(1,4),\f(1,2)×\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(2),2).
又〈eq \(DM,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))〉∈[0，π]，
所以〈eq \(DM,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))〉＝eq \f(π,4).