数学选择性必修 第一册2.2 空间向量的运算同步测试题

这是一份数学选择性必修 第一册2.2 空间向量的运算同步测试题，共8页。

1．[多选题]对于任意非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，以下说法错误的有( )
A．若a⊥b，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
B．若a∥b，则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2)
C．cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋z\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋z\\al(2,2)))
D．若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量
2．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．0° B．45° C．90° D．180°
3．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1), 则|2a＋b|等于( )
A.eq \r(14) B．5eq \r(2) C．25 D．50
4．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq \r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．已知a＝(cs θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cs θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A．90° B．60° C．30° D．0°
6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(55),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(11,5)
7．若A(－1,2,3)，B(2，－4,1)，C(x，－1，－3)是BC为斜边的直角三角形的三个顶点，则x＝________.
8．如图，建立空间直角坐标系O­xyz.单位正方体ABCD­A′B′C′D顶点A位于坐标原点，其中B(1,0,0)，D(0,1,0)，A′(0,0,1)．若点E是棱B′C′的中点，点F是棱B′B的中点，点G是侧面CDD′C′的中心．则|eq \(EG,\s\up6(→))|的值为________．
9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cs∠EAF＝________，EF＝________.
10．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1,1，－4)．
(1)计算2a－3b和|2a－3b|；
(2)求〈a，b〉．
[提能力]
11．棱长为1的正方体ABCD­EFGH如图所示，M，N分别为直线AF，BG上的动点，则线段MN长度的最小值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.eq \f(\r(6),2)
12．[多选题]如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq \f(\r(2),2)，则下列结论中正确的是( )
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A­BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
13．已知向量a＝(5,3,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，t，－\f(2,5)))，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为____________________________．
14．已知三角形的顶点是A(1，－1,1)，B(2,1，－1)，C(－1，－1，－2)，则这个三角形的面积为________．
15．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD，H是C1G的中点．
(1)求EF与B1C所成的角；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求F，H两点间的距离．
[培优生]
16.
已知棱长为a的正四面体ABCD，如图，建立空间直角坐标系，O为A在底面上的射影，M，N分别为线段AB，AD的中点，则M的坐标是________，CN与DM所成角的余弦值为________．
课时作业(二十八)
1．解析：对于A选项，因为a⊥b，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0，A选项正确；对于B选项，若x2＝0，且y2≠0，z2≠0，若a∥b，但分式eq \f(x1,x2)无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )·\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ))，C选项正确；对于D选项，若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝eq \r(12＋12＋12)＝eq \r(3)，此时，a不是单位向量，D选项错误．故选BD.
答案：BD
2．解析：∵cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－2,\r(5)×\r(6))＝0，0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝90°.故选C.
答案：C
3．解析：∵2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
∴|2a＋b|＝eq \r(02＋（－5）2＋52)＝5eq \r(2).故选B.
答案：B
4．解析：由题意可得|a|＝eq \r(14)，|b|＝eq \r(56)，且b＝－2a，所以－a·c＝7，
cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(－7,14)＝－eq \f(1,2)，所以〈a，c〉＝120°，故选C.
答案：C
5．解析：a＋b＝(sinθ＋csθ，2，sinθ＋csθ)，a－b＝(csθ－sinθ，0，sinθ－csθ)
∴(a＋b)·(a－b)＝cs2θ－sin2θ＋sin2θ－cs2θ＝0
∴(a＋b)⊥(a－b)，即a＋b与a－b的夹角为eq \f(π,2)，故选A.
答案：A
6．解析：∵a－b＝(1－t，1－t，t)－(2，t，t)＝(－1－t，1－2t，0)，
∴|a－b|＝eq \r(（t＋1）2＋（1－2t）2)＝eq \r(5t2－2t＋2)＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,5)))\s\up12(2)＋\f(9,5))，∴|a－b|min＝eq \f(3\r(5),5).故选C.
答案：C
7．解析：由题意可得eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－6，－2)，即|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(9＋36＋4)＝7，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(x＋1，－3，－6)，即|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(（x＋1）2＋45)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝(x－2，3，－4)，即|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(（x－2）2＋25)，
由勾股定理可得：|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|eq \(BC,\s\up6(→))|2，
即49＋(x＋1)2＋45＝(x－2)2＋25，
整理得6x＝－66，∴x＝－11.
答案：－11
8．解析：因为点E是棱B′C′的中点，点G是侧面CDD′C′的中心，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，1))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，\f(1,2)))
所以eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，
所以|eq \(EG,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)
9．解析：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系
设正方体棱长为1，则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))
∴cs〈eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(AF,\s\up6(→)),|\(AE,\s\up6(→))||\(AF,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(2,5)
∴cs∠EAF＝eq \f(2,5)，EF＝|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(6),2).
答案：eq \f(2,5) eq \f(\r(6),2)
10．解析：(1)因为向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4)
所以2a－3b＝2(2，－1，－2)－3(1，1，－4)＝(4，－2，－4)－(3，3，－12)＝(1，－5，8)，
所以|2a－3b|＝eq \r(12＋（－5）2＋82)＝3eq \r(10).
(2)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(9,3×3\r(2))＝eq \f(\r(2),2)因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq \f(π,4).
11．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
设P(1，y0，1－y0)，Q(x0，1，x0)，
则eq \(PQ,\s\up6(→))＝(x0－1，1－y0，x0＋y0－1)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，eq \(GB,\s\up6(→))＝(1，0，1).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(AF,\s\up6(→))·\(PQ,\s\up6(→))＝0,\(GB,\s\up6(→))·\(PQ,\s\up6(→))＝0))，∴x0＝y0＝eq \f(2,3)，∴P(1，eq \f(2,3)，eq \f(1,3))，Q(eq \f(2,3)，1，eq \f(2,3)).
所以|MN|min＝|PQ|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)－1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),3).故选A.
答案：A
12．解析：连接BD，易证AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故A正确；∵B1D1∥平面ABCD，又E，F在B1D1上运动，∴EF∥平面ABCD，故B正确；由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为定值，故VA­BEF为定值，故C正确；当点E在D1处，F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1，1，0)，B(0，1，0)，E(1，0，1)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，
又|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(BF,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(6),2)，∴cs〈eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\f(3,2),\r(2)×\f(\r(6),2))＝eq \f(\r(3),2)，
∴eq \(AE,\s\up6(→))与eq \(BF,\s\up6(→))成30°角；当E为D1B1中点，F在B1处时，
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，F(0，1，1)，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，eq \(BF,\s\up6(→))＝(0，0，1)，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝1，|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(6),2)，|eq \(BF,\s\up6(→))|＝1，
∴cs〈eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(6),3)≠eq \f(\r(3),2)，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
13．解析：由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)))＝3t－eq \f(52,5)，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，
即3t－eq \f(52,5)<0，所以t若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5，3，1)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，t，－\f(2,5)))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5＝－2λ，,3＝tλ，,1＝－\f(2,5)λ，))所以t＝－eq \f(6,5)，
故t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(6,5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(52,15))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(6,5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(52,15)))
14．解析：由题意得eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，0，－3)，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋22＋（－2）2)＝3，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－2）2＋0＋（－3）2)＝eq \r(13)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，2，－2)·(－2，0，－3)＝－2＋6＝4，
∴csA＝cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(4,3×\r(13))＝eq \f(4\r(13),39)，
∴sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(101×13),39)，
S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sinA＝eq \f(\r(101),2).
答案：eq \f(\r(101),2)
15．解析：
如图所示，分别以eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，DD1为单位正交基建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，E(0，0，eq \f(1,2))，F(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)，
C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，eq \f(3,4)，0).
(1)易得eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2))，B1C＝(－1，0，－1)，则eq \(EF,\s\up6(→))·B1C＝(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2))·(－1，0，－1)＝eq \f(1,2)×(－1)＋eq \f(1,2)×0＋(－eq \f(1,2))×(－1)＝0.
∴eq \(EF,\s\up6(→))⊥B1C，即EF⊥B1C，∴EF与B1C所成的角为90°.
(2)C1G＝(0，－eq \f(1,4)，－1)，则|C1G|＝eq \f(\r(17),4).
又|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)，且eq \(EF,\s\up6(→))·C1G＝eq \f(3,8)，
∴cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，C1G〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·C1G,|\(EF,\s\up6(→))||C1G|)＝eq \f(\f(3,8),\f(\r(3),2)×\f(\r(17),4))＝eq \f(\r(51),17).
即EF与C1G所成角的余弦值为eq \f(\r(51),17).
(3)∵H是C1G的中点，∴H(0，eq \f(7,8)，eq \f(1,2))，
则eq \(FH,\s\up6(→))＝(－eq \f(1,2)，eq \f(3,8)，eq \f(1,2)).
∴FH＝|eq \(FH,\s\up6(→))|＝eq \r(（－\f(1,2)）2＋（\f(3,8)）2＋（\f(1,2)）2)＝eq \f(\r(41),8).
16．解析：由正四面体棱长为a，知△BCD的外接圆半径为eq \f(\r(3),3)a，
∴B(－eq \f(1,2)a，－eq \f(\r(3),6)a，0)，又正四面体的高为eq \r(a2－（\f(\r(3),3)a）2)＝eq \f(\r(6),3)a，
∴A(0，0，eq \f(\r(6),3)a)，
∴AB的中点M的坐标为(－eq \f(1,4)a，－eq \f(\r(3),12)a，eq \f(\r(6),6)a).
又D(0，eq \f(\r(3),3)a，0)，∴eq \(DM,\s\up6(→))＝(－eq \f(1,4)a，－eq \f(5\r(3),12)a，eq \f(\r(6),6)a)，
同理可得eq \(CN,\s\up6(→))＝(－eq \f(1,2)a，eq \f(\r(3),3)a，eq \f(\r(6),6)a).
∴eq \(DM,\s\up6(→))与eq \(CN,\s\up6(→))夹角的余弦值为cs〈eq \(DM,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(DM,\s\up6(→))·\(CN,\s\up6(→)),|\(DM,\s\up6(→))||\(CN,\s\up6(→))|)＝－eq \f(1,6).
∴异面直线CN与DM所成角的余弦值为eq \f(1,6).
答案：(－eq \f(1,4)a，－eq \f(\r(3),12)a，eq \f(\r(6),6)a) eq \f(1,6)