高中北师大版 (2019)1.2 空间两点间的距离公式习题

这是一份高中北师大版 (2019)1.2 空间两点间的距离公式习题，共8页。

1．[多选题]下列说法正确的有( )
A．离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的平均水平
B．离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的波动水平
C．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平
D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平
2．随机变量X的分布列如下：
若E(X)＝eq \f(15,8)，则DX等于( )
A.eq \f(7,32) B.eq \f(9,32)
C.eq \f(33,64) D.eq \f(55,64)
3．随机变量X的取值范围为0,1,2，若P(X＝0)＝eq \f(1,4)，EX＝1，则DX＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
4．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为( )
A．EX＝0，DX＝1
B．EX＝eq \f(1,2)，DX＝eq \f(1,2)
C．EX＝0，DX＝eq \f(1,2)
D．EX＝eq \f(1,2)，DX＝1
5．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq \f(2,3)，P(X＝x2)＝eq \f(1,3)，且x1A．3 B.eq \f(5,3)
C.eq \f(7,3) D.eq \f(11,3)
6．[多选题]已知随机变量X的分布列为
则下列式子正确的是( )
A．P(X＝0)＝eq \f(1,3) B．a＝eq \f(1,6)
C．EX＝－eq \f(1,3) D．DX＝eq \f(23,27)
7．已知随机变量ξ的分布列如下表：
则ξ的均值为________，方差为________．
8．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知EX1＝EX2，DX1>DX2，则自动包装机________的质量较好．
9．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x>0，y>0，随机变量ξ的方差D(ξ)＝eq \f(1,2)，则x＋y＝________.
10.袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，取1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的得分之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．
[提能力]
11．A，B两台机床同时加工零件，当生产一批数量较大的产品时，两台机床出次品的概率分别如下表：
A机床
B机床
两台机床的价格相差不大，若工厂派你去选购机床，你会选购( )
A．A机床 B．B机床
C．都一样 D．不确定
12．[多选题]设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列如下，则下列结论正确的有( )
A.Eξ随着p的增大而增大
B．Eξ随着p的增大而减小
C．P(ξ＝0)＜P(ξ＝2)
D．P(ξ＝2)的值最大
13．已知0＜a＜eq \f(1,2)，0＜b＜eq \f(1,2)，随机变量X的分布列是：
若EX＝eq \f(2,3)，则a＝________，DX＝________.
14．设0则当p变化时，Dξ的最大值是________．
15．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案：
第一种方案，李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．据分析预测，投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为eq \f(1,2).
第二种方案，李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测，投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq \f(3,5)，eq \f(1,5)，eq \f(1,5).
第三种方案，李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由．
[培优生]
16．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0A．Eξ1B．Eξ1Dξ2
C．Eξ1>Eξ2，Dξ1D．Eξ1>Eξ2，Dξ1>Dξ2
课时作业(四十八)
1．解析：∵离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的平均水平，∴选项A正确，选项B错误．
∵离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的波动水平，∴选项C错误，选项D正确．
答案：AD
2．解析：由题意得，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1×\f(1,2)＋2x＋3y＝\f(15,8)，,\f(1,2)＋x＋y＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,8)，,y＝\f(3,8)．))
所以DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(15,8)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(15,8)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,8)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(15,8)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,8)＝eq \f(55,64).故选D.
答案：D
3．解析：设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，
由题意，EX＝0×eq \f(1,4)＋p＋2q＝1，且eq \f(1,4)＋p＋q＝1，
解得p＝eq \f(1,2)，q＝eq \f(1,4)，
∴DX＝eq \f(1,4)(0－1)2＋eq \f(1,2)(1－1)2＋eq \f(1,4)(2－1)2＝eq \f(1,2).
答案：C
4．解析：抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的分布列为
所以EX＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，DX＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.
答案：A
5．解析：由题知eq \f(2,3)x1＋eq \f(1,3)x2＝eq \f(4,3)，
又DX＝(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(4,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(4,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9)，两式联立可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝1，,x2＝2，))又x1答案：A
6．解析：由分布列可知，P(X＝0)＝eq \f(1,3)，
a＝1－eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，EX＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)；
DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,6)＝eq \f(5,9).
答案：ABC
7．解析：均值Eξ＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)；
方差Dξ＝(－1－Eξ)2×eq \f(1,2)＋(0－Eξ)2×eq \f(1,3)＋(1－Eξ)2×eq \f(1,6)＝eq \f(5,9).
答案：－eq \f(1,3) eq \f(5,9)
8．解析：因为EX1＝EX2，DX1>DX2，故乙包装机的质量稳定．
答案：乙
9．解析：由题意可得，2x＋y＝1，即y＝1－2x，
所以Eξ＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝4x＋2(1－2x)＝2，
所以Dξ＝(1－2)2x＋(2－2)2(1－2x)＋(3－2)2x＝2x.
因为Dξ＝eq \f(1,2)，所以2x＝eq \f(1,2)，解得x＝eq \f(1,4)，所以y＝1－2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，
所以x＋y＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
10．解析：由题意可知，X的所有可能的取值为5，4，3.
P(X＝5)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝eq \f(1,5)，
P(X＝4)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝eq \f(3,5)，
P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝eq \f(1,5)，
故X的分布列为
EX＝5×eq \f(1,5)＋4×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,5)＝4，
DX＝(5－4)2×eq \f(1,5)＋(4－4)2×eq \f(3,5)＋(3－4)2×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5).
11．解析：由题意可得，Eξ1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，
Eξ2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.1＝0.44，
Dξ1＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.6064，
Dξ2＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.1＝0.9264.
因为Eξ1＝Eξ2，Dξ1所以选购A机床．故选A.
答案：A
12．解析：由题意Eξ＝p2＋2(1－p)＝(p－1)2＋1，由于0＜p＜1，所以Eξ随着p的增大而减小，A错，B正确；
又p－p2＝p(1－p)＜1－p，所以C正确；p＝eq \f(3,4)时，p(ξ＝2)＝eq \f(1,4)，而P(ξ＝1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,16)＞eq \f(1,4)，D错．
答案：BC
13．解析：由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋\f(1,2)＝1，,EX＝a＋2b＝\f(2,3)，,0＜a＜\f(1,2),0＜b＜\f(1,2)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,3),b＝\f(1,6)))，
因此DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,6)＝eq \f(5,9).
答案：eq \f(1,3) eq \f(5,9)
14．解析：因为Eξ＝0×eq \f(p,2)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1－p,2)＝eq \f(3－2p,2)，
所以Dξ＝eq \f(p,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(3－2p,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3－2p,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1－p,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3－2p,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)[2－(2p－1)2]≤eq \f(1,2)，当且仅当p＝eq \f(1,2)时取等号，因此Dξ的最大值是eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
15．解析：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为
所以Eξ＝4×eq \f(1,2)＋(－2)×eq \f(1,2)＝1(万元).
若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为
所以Eη＝2×eq \f(3,5)＋0×eq \f(1,5)＋(－1)×eq \f(1,5)＝1(万元).
若按方案三执行，收益y＝10×4%＝0.4(万元).
因为Eξ＝Eη>y，所以应从方案一、方案二中选择一种投资方式．
Dξ＝(4－1)2×eq \f(1,2)＋(－2－1)2×eq \f(1,2)＝9，
Dη＝(2－1)2×eq \f(3,5)＋(0－1)2×eq \f(1,5)＋(－1－1)2×eq \f(1,5)＝eq \f(8,5).
易知Dξ>Dη.这说明虽然方案一、方案二收益均值相等，但方案二更稳定，所以建议李师傅家选择第二种投资方案．
16．解析：方法一 Eξ1＝0×(1－p1)＋1×p1＝p1，
同理，Eξ2＝p2，∵0Dξ1＝(0－p1)2(1－p1)＋(1－p1)2·p1＝p1－p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，
同理，Dξ2＝p2－p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) .
Dξ1－Dξ2＝p1－p2－(p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －p eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝(p1－p2)(1－p1－p2).
∵00，∴(p1－p2)(1－p1－p2)<0，∴Dξ1方法二 Eξ1＝0×(1－p1)＋1×p1＝p1，同理，Eξ2＝p2，∵0令f(x)＝x－x2，则f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上为增函数，∵0答案：A
X
1
2
3
P
eq \f(1,2)
x
y
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
a
ξ
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
ξ
1
2
3
P
x
y
x
次品数ξ1
0
1
2
3
概率P
0.7
0.2
0.06
0.04
次品数ξ2
0
1
2
3
概率P
0.8
0.06
0.04
0.1
ξ
0
1
2
P
p－p2
p2
1－p
X
0
1
2
P
eq \f(1,2)
a
b
ξ
0
1
2
P
eq \f(p,2)
eq \f(1,2)
eq \f(1－p,2)
X
1
－1
P
0.5
0.5
X
5
4
3
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
ξ
4
－2
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
η
2
0
－1
P
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
eq \f(1,5)