江西省上饶市广丰区2023-2024学年高二上册期末模拟数学检测试卷（附答案）

这是一份江西省上饶市广丰区2023-2024学年高二上册期末模拟数学检测试卷（附答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．已知椭圆的右焦点为，点和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的离心率为，圆与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆与中心在原点､焦点在轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知四面体是的重心，若，则（ ）
A．4B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的.正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．过双曲线的右焦点作渐近线的垂线交轴于点，垂足为点，若，则（ ）
A．直线与圆相切
B．与有相同的焦点
C．的渐近线方程为
D．的离心率为
10．在边长为1的正方体中，动点满足．下列说法正确的是（ ）
A．四面体的体积为
B．若，则的轨迹长度为
C．异面直线与所成角的余弦值的最大值为
D．有且仅有三个点，使得
11．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．不存在实数，使得D．若，则
12．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆的一个“太极函数”，设圆，则下列说法中正确的是（ ）

A．函数是圆的一个太极函数
B．函数的图象关于原点对称是为圆的太极函数的充要条件
C．圆的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
D．函数是圆的一个太极函数
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为 .
14．大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知是坐标原点，，若，则线段长的最大值是 .
15．数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点A(4，0)，B(0，2)，，则的欧拉线所在直线方程为 .
16．著名的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中指出：三角形的外心、垂心和重心在同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的一般式方程为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
18．已知双曲线，点A，B在双曲线右支上，O为坐标原点．
(1)若过点A作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点M，N，证明：平行四边形的面积为定值；
(2)若，D为垂足，求点D的轨迹的长度．
19．设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．
20．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，．
(1)证明：平面平面；
(2)若与所成角为，求二面角的余弦值．
1．A
【分析】根据和长轴是短轴长的2倍可设椭圆方程，再联立直线和椭圆方程通过韦达定理可求解出斜率，从而求得.
【详解】因为长轴长是短轴长的2倍，所以，而，则.
设，
直线的方程为
代入椭圆方程可得，整理得，
即.
，.
，，
所以，则，即，化简得，解得，
因为，所以.
故选：A.
2．D
【分析】利用空间向量的数量求出，再利用向量夹角公式求解即得.
【详解】向量，，由，得，解得，，
因此，而，则，
所以向量与的夹角为.
故选：D
3．B
【分析】根据空间向量加减运算，结合长方体的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，，错误；
对于B，，正确；
对于C，，错误；
对于D，，错误.
故选：B
4．C
【分析】求出双曲线的焦点坐标，然后利用抛物线的定义，求解p即可
【详解】双曲线的焦点坐标，
抛物线的准线过双曲线的一个焦点，
所以，可得．
故选：C．
5．B
【分析】设椭圆的右焦点为，利用中点坐标公式求出的中点坐标，代入椭圆方程得到，方程两边同除以即可求得椭圆离心率.
【详解】由题意，设椭圆的右焦点为，
则的中点为，
代入椭圆方程得，
整理得，
方程两边同除以得，，解得，
因为，故.
故选：B
6．D
【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为，结合弦长可得，运算求解即可.
【详解】设双曲线的半焦距为，
则，解得，
且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线为，
因为圆的圆心为，半径，
可知圆关于x轴对称，不妨取渐近线为，即，
则圆心到渐近线的距离，可得，
又因为圆与双曲线C的一条渐近线相交弦长为，
由题意可得，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D.
7．B
【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求解.
【详解】将化为标准方程为：，
故圆心坐标为，半径，
设焦点在轴上的双曲线渐近线方程为：，
因为圆与渐近线相切，
所以，解得，
所以离心率.
故选：B
8．B
【分析】取的中点，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得.
【详解】取的中点，
所以
，
又，
可得，所以.
故选：B.
9．ABD
【分析】作出图象，利用直角三角形全等易得焦点到渐近线的距离为,并得到进而在直角三角形中利用射影定理得到的关系，得到渐近线方程，离心率和椭圆的焦点坐标，从而对各选项作出判定.
【详解】过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点,则,
不妨设在轴上方，则
,，，
∴
∴,，
由已知得,
由，得,∴,∴
∴双曲线的渐近线为,故C错误；
，
∴，故D正确；
∵⊥直线,且,∴直线与圆相切，故A正确；
双曲线的焦点为,,
,即，为中心在原点焦点在轴上的椭圆，
半焦距,焦点坐标为,.
∴与有相同的焦点，故B正确.
故选:ABD.
10．AC
【分析】对于A，由题意可得点的轨迹在内，利用等体积法转换即可；对于B，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，利用解三角形知识求出圆心角弧度即可；对于C，由题意为异面直线与所成的角，故只需求出其正弦值的最小值即可；对于D，由题意点在以为直径的圆上，由此即可判断.
【详解】如图所示，

连接，由，
可得点的轨迹在内（包括边界）．
因为平面平面，
所以，故A正确．
易知平面，设与平交于点．
由于，
则点到平面的距离为．
若，则，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
如图所示，

在中，，，设，
由余弦定理得，解得，
则，
所以的轨迹长度为，故B错误．
因为，所以为异面直线与所成的角，
则，所以，故C正确．
由三垂线定理可知，又平面，要使得，
则点在以为直径的圆上，所以存在无数个点，使得，故D错误．
故选：AC.
关键点睛：本题的解题关键是利用空间向量推得的所在位置，从而得解.
11．AC
【分析】对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出.
【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，故B错误；
对于C，假设，则，
所以，该方程组无解，故C正确；
对于D，因为，所以，解得，
所以，，所以，故D错误.
故选：AC.
12．AD
【分析】根据题中所给的定义对四个选项逐一判断即可.
【详解】选项A：设，
因为，
所以函数是奇函数，它的图象将圆周长与面积分别等分，如下图所示：

所以函数是圆O的一个太极函数，故本说法正确；
选项C：如下图所示：函数是偶函数，也是圆O的一个太极函数，故本说法不正确；

选项B：根据选项C的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确；
选项D：因为是奇函数，所以它的图象将圆周长与面积同时等分，下图所示：因此函数是圆O的一个太极函数，故本说法是正确的；

故选:AD.
13．
【分析】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.
【详解】设点，由可得，整理可得，
化为标准方程可得，
因为为的中点，

所以，
，
记圆心为，当点为线段与圆的交点时，
取最小值，此时，，
所以，.
故答案为.
14．5
【分析】点在以原点为圆心，4为半径的圆上，点在圆内，当三点共线，且在点两侧时，线段长的最大.
【详解】已知是坐标原点，，则点在以原点为圆心，4为半径的圆上，
，点在圆内，
当三点共线，且在点两侧时，线段长的最大，
此时.
故5.
15．2x-y-3=0
根据题意求出线段AB的垂直平分线即可求解.
【详解】线段AB的中点为(2，1)，，
线段AB的垂直平分线为：y=2(x-2)+1，即2x-y-3=0
AC=BC，
三角形的外心､重心､垂心依次位于AB的垂直平分线上，
因此的欧拉线方程为2x-y-3=0.
故2x-y-3=0.
16．
【分析】可分别计算得到边和边中垂线方程，由此可得外心坐标；由中线和方程可联立求得重心坐标，由此可确定欧拉线方程.
【详解】由题意得：中点，中点，
边中垂线方程为：；边中垂线方程为：，外心为；
又方程为：，即；
方程为，即；
由得：，重心为；
欧拉线的方程为：，即.
故答案为.
17．(1)
(2)存在定点满足题意.
【分析】（1），结合，即可求解；
（2）设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，求得，设在x轴上存在定点，对于任意的都有，由求解.
【详解】（1）由题意得，
又，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为：，
令得，即，
联立，得，
所以，
则，，
若在x轴上存在定点，对于任意的都有，
则，即，
解得，
所以存在定点.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1) 设，将渐近线方程分别与过点直线的直线方程联立得到，，进而得到即可求解；
(2) 设，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和已知条件得到，然后将椭圆方程和双曲线方程联立得到，进而计算即可求解.
【详解】（1）设，双曲线的渐近线为，
∴，解得，记，
同理可得．
∴．
所以．
（2）设，
当直线斜率不存在时，为，∴．
当直线斜率存在时，令，
由方程组得．其中.
∴．
∵，
∴，
解得．
∴到直线的距离为．∴．
又∵A，B在双曲线右支上，∴D在双曲线右支内部，
则，解得（取正），或（取正），，
记，
∴．
∴．
∴D的轨迹为圆心角为的圆弧．所以D的轨迹长度为．
圆锥曲线的定值问题常见的两种方法：
（1） 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值.
19．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）求出点的坐标，利用抛物线的定义列方程可得，进而得出抛物线的方程；
（2）设出直线，与抛物线联立，消元写出韦达定理，利用直线斜率公式代入化简，可得，即为的角平分线，命题得证．
【详解】（1）由点到轴的距离为得：，
将代入得：，
由抛物线的定义得，，
由已知，，
所以，
所以抛物线的方程为；
（2）由得，
由题意知与抛物线交于两点，
可设直线的方程为，，，
联立方程，得，
所以，，，
所以
，
所以，
则
所以为的角平分线，
由角平分线的性质定理，得．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据，为的中点，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
（2）以为原点，以为轴，为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，再由平面的一个法向量为，由求解.
【详解】（1）证明：
∵，是的中点，∴，
又，，、平面，
∴平面，∵平面，
∴平面平面；
（2）解：∵、、，∴，
以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，
连接，
∵、，∴四边形为平行四边形，
∴，∴是异面直线与所成的角，则，
∴，则、、、，
∴，
设平面的法向量为，又、，
∴，令，则、，
∴，又平面的法向量，
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
∴．