三年广东中考数学模拟题分类汇总之二元一次方程组

这是一份三年广东中考数学模拟题分类汇总之二元一次方程组，共24页。试卷主要包含了《九章算术》中有这样一段表述等内容，欢迎下载使用。
1．（2023•永嘉县校级二模）用代入法解二元一次方程组y=1−x①x+2y=4②时，将方程①代入方程②，得到结果正确的是（ ）
A．x﹣2﹣2x＝4B．x+2﹣2x＝4C．x+2+x＝4D．x+2﹣x＝4
2．（2023•金东区三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．问这个物品的价格是多少元？（ ）
A．118B．102C．88D．78
3．（2023•绍兴模拟）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A．5x+6y=165x+y=6y+xB．5x+6y=164x+y=5y+x
C．6x+5y=166x+y=5y+xD．6x+5y=165x+y=4y+x
4．（2023•江山市模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A．x−y=4.52x+1=yB．x−y=4.512x+1=y
C．y−x=4.52x−1=yD．x−y=4.512x−1=y
5．（2022•江北区一模）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺x文，罗布每尺y文，那么可列方程组为（ ）
A．x7=y9x−y=36B．x7=y9y−x=36
C．7x=9yx−y=36D．7x=9yy−x=36
6．（2022•上城区校级模拟）小华和爸爸玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分，两人一共投中30次．经过计算发现爸爸比小华多得2分．设小华投中的次数为x，爸爸投中的次数为y，根据题意列出的方程组正确的是（ ）
A．x+y=303x+2=5yB．x+y=303x=5y+2
C．x+y=305x+2=3yD．x+y=305x=3y+2
7．（2022•西湖区模拟）关于x、y的二元一次方程组的解3x−4y=5−k2x−y=2k+3满足x﹣3y＝10+k，则k的值是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣3D．3
8．（2022•海曙区校级模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？价钞各该分端的．若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢x疋，布y疋，依据题意可列方程组为（ ）
A．x+y=30504x+903y=570
B．x+y=30904x+503y=570
C．x+y=30903x+504y=570
D．x+y=30503x+904y=570
9．（2021•宁波模拟）《九章算术》中有这样一段表述：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗．下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”其意大致为：今有上等稻七捆，减去一斗，加入下等稻二捆，共计十斗；下等稻八捆，加上一斗、上等稻二捆，共计十斗．问上等稻、下等稻一捆各几斗？
设一捆上等稻有x斗，一捆下等稻y斗，根据题意，可列方程组为（ ）
A．7x+2y−11=02x+8y−9=0
B．7x+2y+9=02x+8y+9=0
C．7x+2y+11=02x+8y−11=0
D．7x+2y−11=02x+8y+9=0
10．（2021•滨江区三模）以方程组y=−x+2y=x−1的解为坐标，点（x，y）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二．填空题（共6小题）
11．（2023•西湖区校级二模）已知x=2y=m是方程2x+6y=8的一个解，则m的值是 ．
12．（2023•永康市一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里/小时．
13．（2022•诸暨市二模）已知x=1y=−3是方程4x﹣ay＝7的一个解，那么a的值是 ．
14．（2022•吴兴区一模）二元一次方程组2x+y=2x−y=1的解是 ．
15．（2021•永嘉县模拟）方程组2x+y=10x+2y=8的解为 ．
16．（2021•下城区校级二模）点点去文具店购买水笔和笔记本（水笔的单价相同，笔记本的单价相同）．已知购买3支水笔和2本笔记本，则需要支付12元，够买1支水笔和2本笔记本，则需要支付8元．若点点购买1支水笔和1本笔记本，则需要支付 元．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•鹿城区校级二模）根据以下素材，探索完成任务．
18．（2023•绍兴模拟）（1）计算：8+2sin30°−(3−π)0；
（2）解方程组：x−y=42x+y=2．
19．（2022•瑞安市二模）2022年中国航天在诸多领域实现重大突破，在全国掀起航天知识学习的浪潮．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分A、B、C三个场馆，且购买2张A场馆门票和1张B场馆门票共需要140元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要230元．由于场地和疫情原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观．
（1）求A场馆和B场馆门票的单价．
（2）已知C场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1200元，求所有满足条件的购买方案．
20．（2022•宁海县模拟）（1）计算：(π−3)0−(12)−2−1−sin260°．
（2）解方程组；4x+y=5x−2y=1．
21．（2021•拱墅区二模）如图，某型号动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号动车挂8节车厢以38米/秒的速度通过某观测点用时6秒，挂12节车厢以41米/秒的速度通过该观测点用时8秒．
（1）车头及每节车厢的长度分别是多少米？
（2）小明乘坐该型号动车匀速通过某隧道时，如果车头进隧道5秒后他也进入了隧道，此时车内屏幕显示速度为180km/h，请问他乘坐的是几号车厢？
22．（2021•宁波模拟）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，则这批消毒液可使用多少天？
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
三年广东中考数学模拟题分类汇总之二元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023•永嘉县校级二模）用代入法解二元一次方程组y=1−x①x+2y=4②时，将方程①代入方程②，得到结果正确的是（ ）
A．x﹣2﹣2x＝4B．x+2﹣2x＝4C．x+2+x＝4D．x+2﹣x＝4
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】方程组利用代入消元法变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：用代入法解二元一次方程组y=1−x①x+2y=4②时，将方程①代入方程②得：x+2﹣2x＝4，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023•金东区三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．问这个物品的价格是多少元？（ ）
A．118B．102C．88D．78
【考点】二元一次方程组的应用；数学常识；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】设共有x人，这个物品的价格是y元，根据每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设共有x人，这个物品的价格是y元，
由题意得：11x−8=y9x+12=y，
解得：x=10y=102，
即这个物品的价格是102元，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2023•绍兴模拟）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A．5x+6y=165x+y=6y+xB．5x+6y=164x+y=5y+x
C．6x+5y=166x+y=5y+xD．6x+5y=165x+y=4y+x
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
5x+6y=164x+y=5y+x．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
4．（2023•江山市模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A．x−y=4.52x+1=yB．x−y=4.512x+1=y
C．y−x=4.52x−1=yD．x−y=4.512x−1=y
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x﹣y＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴12x+1=y．
∴所列方程组为x−y=4.512x+1=y．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2022•江北区一模）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺x文，罗布每尺y文，那么可列方程组为（ ）
A．x7=y9x−y=36B．x7=y9y−x=36
C．7x=9yx−y=36D．7x=9yy−x=36
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，且每尺罗布比绫布便宜36文”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，
∴7x＝9y；
∵每尺罗布比绫布便宜36文，
∴x﹣y＝36．
∴根据题意可列出方程组7x=9yx−y=36．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2022•上城区校级模拟）小华和爸爸玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分，两人一共投中30次．经过计算发现爸爸比小华多得2分．设小华投中的次数为x，爸爸投中的次数为y，根据题意列出的方程组正确的是（ ）
A．x+y=303x+2=5yB．x+y=303x=5y+2
C．x+y=305x+2=3yD．x+y=305x=3y+2
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“两人一共投中30次，且爸爸比小华多得2分”，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵两人一共投中30次，
∴x+y＝30；
∵小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分，爸爸比小华多得2分，
∴5x+2＝3y．
∴根据题意得可列二元一次方程组x+y=305x+2=3y．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（2022•西湖区模拟）关于x、y的二元一次方程组的解3x−4y=5−k2x−y=2k+3满足x﹣3y＝10+k，则k的值是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣3D．3
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程的解．
【专题】整体思想；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】将两个方程作差，可得x﹣3y＝2﹣3k，从而解方程2﹣3k＝10+k即可．
【解答】解：原方程组中两个方程作差可得，
（3x﹣4y）﹣（2x﹣y）＝（5﹣k）﹣（2k+3），
整理得，x﹣3y＝2﹣3k，
由题意得方程，2﹣3k＝10+k，
解得，k＝﹣2，
故选：B．
【点评】此题考查了解决含有字母参数的二元一次方程组的能力，关键是能应用整体思想进行求解．
8．（2022•海曙区校级模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？价钞各该分端的．若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢x疋，布y疋，依据题意可列方程组为（ ）
A．x+y=30504x+903y=570
B．x+y=30904x+503y=570
C．x+y=30903x+504y=570
D．x+y=30503x+904y=570
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；符号意识；应用意识．
【答案】B
【分析】设有绢x疋，布y疋，依据“今有绵与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯”列出方程组，此题得解．
【解答】解：设有绢x疋，布y疋，依据题意可列方程组为x+y=30904x+503y=570．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2021•宁波模拟）《九章算术》中有这样一段表述：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗．下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”其意大致为：今有上等稻七捆，减去一斗，加入下等稻二捆，共计十斗；下等稻八捆，加上一斗、上等稻二捆，共计十斗．问上等稻、下等稻一捆各几斗？
设一捆上等稻有x斗，一捆下等稻y斗，根据题意，可列方程组为（ ）
A．7x+2y−11=02x+8y−9=0
B．7x+2y+9=02x+8y+9=0
C．7x+2y+11=02x+8y−11=0
D．7x+2y−11=02x+8y+9=0
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据题意表示出7捆上等稻+2捆下等稻＝11，8捆下等稻+1+2捆上等稻＝10，分别得出等式即可．
【解答】解：设一捆上等稻有x斗，一捆下等稻y斗，根据题意，可列方程组为：
7x+2y−11=02x+8y−9=0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
10．（2021•滨江区三模）以方程组y=−x+2y=x−1的解为坐标，点（x，y）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】解二元一次方程组；点的坐标．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】此题可解出的x、y的值，然后根据x、y的值可以判断出该点在何象限内．
【解答】解：y=−x+2①y=x−1②，
①+②得，2y＝1，
解得，y=12．
把y=12代入①得，12=−x+2，
解得x=32．
∵32＞0，12＞0，根据各象限内点的坐标特点可知，
点（x，y）在平面直角坐标系中的第一象限．
故选：A．
【点评】此题考查二元一次方程组的解法及象限的符号特征：
利用代入消元或加减消元求得方程组的解为x=32，y=12，
第一象限横纵坐标都为正；
第二象限横坐标为负；纵坐标为正；
第三象限横纵坐标都为负；
第四象限横坐标为正，纵坐标为负．
二．填空题（共6小题）
11．（2023•西湖区校级二模）已知x=2y=m是方程2x+6y=8的一个解，则m的值是 6 ．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】6．
【分析】把方程的解代入方程，得到关于m的一次方程，求解即可．
【解答】解：把x=2y=m代入方程，得2×2+6m＝8，
∴2+6m＝8．
∴m=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元一次方程，掌握一元一次方程的解的意义是解决本题的关键．
12．（2023•永康市一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 60 里/小时．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】60．
【分析】设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解．
【解答】解：戴宗顺风行走的速度为：180÷2＝90（里/小时），
戴宗逆风行走的速度为：180÷6＝30（里/小时），
设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，
由题意得：，
解得：，
∴设戴宗的速度为60里/小时，
答：戴宗的速度为60里/小时．
故答案为：60．
【点评】本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系．
13．（2022•诸暨市二模）已知x=1y=−3是方程4x﹣ay＝7的一个解，那么a的值是 1 ．
【考点】二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把x=1y=−3代入方程得：4+3a＝7，
解得：a＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
14．（2022•吴兴区一模）二元一次方程组2x+y=2x−y=1的解是 x=1y=0 ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x=1y=0．
【分析】两个方程相加，得x的解，把x＝1代入x﹣y＝1，得y＝0．
【解答】解：两个方程相加，得3x＝3，
∴x＝1，
把x＝1代入x﹣y＝1，得y＝0，
∴此方程组的解：x=1y=0，
故答案为：x=1y=0，
【点评】此题考查的是解二元一次方程组，掌握用加减法消元法解方程组是解题关键．
15．（2021•永嘉县模拟）方程组2x+y=10x+2y=8的解为 x=4y=2 ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x=4y=2．
【分析】①×2﹣②得出3x＝12，求出x，再把x＝4代入①求出y即可．
【解答】解：2x+y=10①x+2y=8②，
①×2﹣②，得3x＝12，
解得：x＝4，
把x＝4代入①，得8+y＝10，
解得：y＝2，
所以原方程组的解是x=4y=2，
故答案为：x=4y=2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
16．（2021•下城区校级二模）点点去文具店购买水笔和笔记本（水笔的单价相同，笔记本的单价相同）．已知购买3支水笔和2本笔记本，则需要支付12元，够买1支水笔和2本笔记本，则需要支付8元．若点点购买1支水笔和1本笔记本，则需要支付 5 元．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】5．
【分析】设笔记本的单价为x元，水笔的单价为y元，根据“购买3支水笔和2本笔记本，则需要支付12元，够买1支水笔和2本笔记本，则需要支付8元”列方程组求解即可．
【解答】解：设笔记本的单价为x元，水笔的单价为y元，依题意有
2x+3y=122x+y=8，
解得x=3y=2．
∴点点购买1支水笔和1本笔记本，则需要支付2+3＝5（元）；
故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的相等关系，列方程求解．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•鹿城区校级二模）根据以下素材，探索完成任务．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）长方体的高度为10cm；
（2）共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
（3）76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为2504元．
【分析】任务1：根据“底面长与宽之比为3：1”列方程求解；
任务2：根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解；
任务3：根据题意理出函数表达式，再根据函数的性质求解．
【解答】解：任务1：设长方体的高度为acm，
则：80﹣2a＝3（40﹣2a），
解得：a＝10，
答：长方体的高度为10cm；
任务2：设x张木板制作无盖的收纳盒，
则：2(100−x)＞x−2(100−x)2(100−x)＜2[x−2(100−x)]，
解得：75＜x＜80，
∴x的整数解有：76，77，78，79，
∴共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
任务3：设：m张木板制作无盖的收纳盒，则（100﹣m）张制作盒盖，利润为y元，
由题意得：y＝28×2（100﹣m）+5（100﹣m）+20×[m﹣（100﹣m）]，
即：y＝﹣21m+4100，
∵x的整数解有：76，77，78，79，
∴当m＝76时，y有最大值，为：﹣21×76+4100＝2504，
答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为2504元．
【点评】本题考查了方程组及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键．
18．（2023•绍兴模拟）（1）计算：8+2sin30°−(3−π)0；
（2）解方程组：x−y=42x+y=2．
【考点】解二元一次方程组；特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）22；
（2）x=2y=−2．
【分析】（1）先算二次根式的化简，特殊角的三角函数值，零指数幂，再算乘法，最后算加减即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：（1）8+2sin30°−(3−π)0
＝22+2×12−1
=22+1−1
＝22；
（2）x−y=4①2x+y=2②，
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝4，
解得：y＝﹣2，
故原方程组的解是：x=2y=−2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（2022•瑞安市二模）2022年中国航天在诸多领域实现重大突破，在全国掀起航天知识学习的浪潮．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分A、B、C三个场馆，且购买2张A场馆门票和1张B场馆门票共需要140元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要230元．由于场地和疫情原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观．
（1）求A场馆和B场馆门票的单价．
（2）已知C场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1200元，求所有满足条件的购买方案．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元；
（2）①1210元；
②共有2种购买方案，
方案1：购买5张A场馆门票，20张B场馆门票，10张C场馆门票；
方案2：购买10张A场馆门票，16张B场馆门票，4张C场馆门票．
【分析】（1）设A场馆门票的单价为x元，B场馆门票的单价为y元，根据“购买2张A场馆门票和1张B场馆门票共需要140元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要230元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，根据到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可求出a的取值范围，设此次购买门票所需总金额为w元，利用购买门票所需总金额＝门票单价×购买数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），利用购买门票所需总金额＝门票单价×购买数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值，再结合到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设A场馆门票的单价为x元，B场馆门票的单价为y元，
依题意得：2x+y=1403x+2y=230，
解得：x=50y=40．
答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元．
（2）①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，
依题意得：a＜40﹣2a，
解得：a＜403．
设此次购买门票所需总金额为w元，则w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600，
∵﹣30＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵a＜403，且a为整数，
∴当a＝13时，w取得最小值，最小值＝﹣30×13+1600＝1210．
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．
②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），
依题意得：50m+40（40﹣2m﹣n）+15n＝1200，
∴n＝16−65m．
又∵m，n均为正整数，
∴m=5n=10或m=10n=4．
当m＝5，n＝10时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×5﹣10＝20＞5，符合题意；
当m＝10，n＝4时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×10﹣4＝16＞10，符合题意．
∴共有2种购买方案，
方案1：购买5张A场馆门票，20张B场馆门票，10张C场馆门票；
方案2：购买10张A场馆门票，16张B场馆门票，4张C场馆门票．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
20．（2022•宁海县模拟）（1）计算：(π−3)0−(12)−2−1−sin260°．
（2）解方程组；4x+y=5x−2y=1．
【考点】解二元一次方程组；特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）−194；
（2）x=119y=19．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的法则以及特殊角的锐角三角函数值计算即可；
（2）根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可．
【解答】解：（1）(π−3)0−(12)−2−1−sin260°
＝1﹣4﹣1−(32)2
＝﹣4−34
=−194；
（2）4x+y=5①x−2y=1②，
①×2得，8x+2y＝10③，
③+②得，9x＝11，
解得x=119，
把x=119代入②得，119−2y=1，
解得y=19，
所以方程组的解为x=119y=19．
【点评】本题考查了实数的运算以及二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练掌握实数运算的法则，先乘方，后乘除，再加减，有括号的先算括号内的．
21．（2021•拱墅区二模）如图，某型号动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号动车挂8节车厢以38米/秒的速度通过某观测点用时6秒，挂12节车厢以41米/秒的速度通过该观测点用时8秒．
（1）车头及每节车厢的长度分别是多少米？
（2）小明乘坐该型号动车匀速通过某隧道时，如果车头进隧道5秒后他也进入了隧道，此时车内屏幕显示速度为180km/h，请问他乘坐的是几号车厢？
【考点】二元一次方程组的应用；有理数的混合运算．
【专题】常规题型；模型思想．
【答案】（1）车头长28米，每节车厢长25米；（2）小明乘坐的是9号车厢．
【分析】本题一动车运转为背景，考察了学生应用二元一次方程组解决实际问题的能力，解题的关键是找到问题中的两个相等关系，列出方程组，从而解决问题．
【解答】解：（1）设车头x米，车厢每节y米，根据题意得：
x+8y=38×6x+12y=41×8，
解得x=28y=25．
答：车头28米，车厢每节25米．
（2）180km/h＝50m/s，
（50×5﹣28）÷25＝8.88；
答：小明乘坐的是9号车厢．
【点评】本题考察二元一次方程组的应用，要正确理解题意，准确找出题目中包含的两个相等关系从而列出二元一次方程组是解决此类问题的关键．
22．（2021•宁波模拟）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，则这批消毒液可使用多少天？
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合可使用时间＝免洗手消毒液总体积÷每天需消耗的体积，即可求出结论；
（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将9.6L的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗20ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方案，选择（m+n）最小的方案即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，
依题意，得：2x+y=553x+4y=145，
解得：x=15y=25．
答：甲种免洗手消毒液的单价为15元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．
（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，
依题意，得：15a+25b＝5000，
∴300a+500b1000×10=20(15a+25b)1000×10=20×50001000×10=10．
答：这批消毒液可使用10天．
（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，
依题意，得：300m+500n+20（m+n）＝9600，
∴m＝30−138n．
∵m，n均为正整数，
∴m=17n=8和m=4n=16．
∵要使分装时总损耗20（m+n）最小，
∴m=4n=16，
即分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，才能使总损耗最小．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程。如何确定木板分配方案？
素材1
我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm．
素材2
现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3
义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1
计算盒子高度
求出长方体收纳盒的高度．
任务2
确定分配方案1
若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3
确定分配方案2
为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．
如何确定木板分配方案？
素材1
我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm．
素材2
现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3
义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1
计算盒子高度
求出长方体收纳盒的高度．
任务2
确定分配方案1
若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3
确定分配方案2
为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．