三年广东中考数学模拟题分类汇总之分式方程

这是一份三年广东中考数学模拟题分类汇总之分式方程，共20页。
A．1250x−1000x=30B．30×1.25x﹣30x＝1000
C．1000x−10001.25x=30D．10001.25x−1000x=30
2．（2023•衢江区三模）小宇妈妈上午在某水果超市买了16.5元的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄在打7.5折降价处理，小宇妈妈又买了16.5元的葡萄，结果恰好比早上多了0.5千克．若设该水果店早上葡萄的价格是x元/千克，则（ ）
A．16.5x+0.5=B．16.5x+0.5=
C．16.5x−0.5=D．16.5x−0.5=
3．（2023•义乌市模拟）若分式3x−2的值为1，则x的值是（ ）
A．5B．4C．3D．1
4．（2023•西湖区校级三模）甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，甲做90个零件所用的时间比乙做100个零件所用的时间多1小时，若设甲每小时做x个零件，则可列方程（ ）
A．90x−1=10035−xB．9035−x+1=100x
C．90x+1=10035−xD．9035−x−1=100x
5．（2022•金华模拟）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ）
A．36000.8x−3600x=4B．3600x−24000.8x=4
C．24000.8x−3600x=0D．24000.8x−2400x=4
6．（2022•南浔区一模）随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（ ）
A．400x=600x−5B．400x−5=600x
C．400x=600x+5D．400x+5=600x
7．（2021•鹿城区校级二模）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．900（x+1）×2＝900（x﹣3）B．900（x+1）＝900（x﹣3）×2
C．90（x+1）×2＝900（x+3）D．900（x+1）＝900（x+3）×2
8．（2021•浙江模拟）已知关于x的方程x−1x−3=mx−3无解，则m的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．（2021•湖州模拟）解分式方程1x−3−4=23−x时，去分母正确的是（ ）
A．1﹣4（x﹣3）＝﹣2B．1﹣4（x﹣3）＝2
C．1﹣4（3﹣x）＝﹣2D．1﹣4（3﹣x）＝2
10．（2021•杭州模拟）若实数x满足x2−3x+2=3x−1x2，则x+1x的值为（ ）
A．3B．0C．3或0D．±3
二．填空题（共6小题）
11．（2023•南湖区模拟）分式方程：3x+1=2x−1的解是 ．
12．（2023•上城区二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 千克．
13．（2022•嘉兴二模）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度．设自行车的速度为x千米/时，则根据题意可列方程为 ．
14．（2022•鹿城区校级二模）口罩已成为疫情时代的重要用品，某厂计划加工120万个口罩，由于订购商急需，所以实际生产时每天的加工量比原计划提高了20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天加工多少个口罩？设原计划每天加工x万个，根据题意可列方程为 ．
15．（2021•杭州模拟）若关于x的分式方程xx−3+2a3−x=2a无解，则a的值为 ．
16．（2021•定海区模拟）分式方程x+32x−3=27的解为 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•杭州模拟）解分式方程：xx−2+42−x=3
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
18．（2023•舟山模拟）某欧洲客商准备采购一批特色商品，下面是一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型商品的件数，且不小于78件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式？
（3）在第（2）问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润．
19．（2022•北仑区二模）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．
（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）
20．（2022•常山县模拟）小王和小凌在解答“解分式方程：2x+3x=1−x−1x”的过程如下框，请你判断他们的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程．
21．（2021•上城区二模）以下是琦琦同学解《作业本》中的一个分式方程5−xx−4+14−x=1的解答过程．
解：去分母，得5﹣x﹣1＝1，
移项，合并同类项，得x＝3，
检验：将x＝3代入最简公分母x﹣4＝3﹣4＝﹣1≠0，
∴x＝3是原方程的根．
琦琦的解答过程对吗？如果不对，请写出正确的解答过程．
22．（2021•萧山区二模）小李午休时从单位出发，到距离单位2000米的书店去买书，他先步行800米后，换骑公共自行车（自行车投放点固定）到达书店，全程用时15分钟．已知小李骑自行车的平均速度是步行速度的3倍（转换出行方式时，所需时间忽略不计）．
（1）分别求小李步行和骑自行车的平均速度；
（2）买完书后，小李原路返回，采取先骑公共自行车后步行．此时离上班时间只剩10分钟，为按时上班，他的骑行速度提升到原来的1.5倍．问：小李按原来的步行速度能按时到单位吗？若不行，他的步行速度至少提升到多少（米/分）？
三年广东中考数学模拟题分类汇总之分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023•鹿城区校级二模）体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A．1250x−1000x=30B．30×1.25x﹣30x＝1000
C．1000x−10001.25x=30D．10001.25x−1000x=30
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为1.25x，然后根据“小超比小铭快了30秒”列出方程即可．
【解答】解：设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为1.25x，小铭跑1000米用的时间为1000x秒，小超跑1000米用的时间为10001.25x秒，
由小超比小铭快了30秒，则可列方程1000x−10001.25x=30．
故选：C．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题，正确找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
2．（2023•衢江区三模）小宇妈妈上午在某水果超市买了16.5元的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄在打7.5折降价处理，小宇妈妈又买了16.5元的葡萄，结果恰好比早上多了0.5千克．若设该水果店早上葡萄的价格是x元/千克，则（ ）
A．16.5x+0.5=B．16.5x+0.5=
C．16.5x−0.5=D．16.5x−0.5=
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】由葡萄早上的价格及晚上的折扣率，可得出晚上该批葡萄的价格是0.75x元/千克，利用数量＝总价÷单价，结合晚上比早上多了0.5千克，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵该水果店早上葡萄的价格是x元/千克，晚上该批葡萄在打7.5折降价处理，
∴晚上该批葡萄的价格是0.75x元/千克．
根据题意得：16.5x+0.5=．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．（2023•义乌市模拟）若分式3x−2的值为1，则x的值是（ ）
A．5B．4C．3D．1
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：3x−2=1，
去分母得：x﹣2＝3，
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝5．
故选：A．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．（2023•西湖区校级三模）甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，甲做90个零件所用的时间比乙做100个零件所用的时间多1小时，若设甲每小时做x个零件，则可列方程（ ）
A．90x−1=10035−xB．9035−x+1=100x
C．90x+1=10035−xD．9035−x−1=100x
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】由两人工作效率间的关系，可得出乙每小时做（35﹣x）个零件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲做90个零件所用的时间比乙做100个零件所用的时间多1小时，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，且甲每小时做x个零件，
∴乙每小时做（35﹣x）个零件．
根据题意得：90x−1=10035−x．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2022•金华模拟）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ）
A．36000.8x−3600x=4B．3600x−24000.8x=4
C．24000.8x−3600x=0D．24000.8x−2400x=4
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，
依题意得：3600x−24000.8x=4．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2022•南浔区一模）随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（ ）
A．400x=600x−5B．400x−5=600x
C．400x=600x+5D．400x+5=600x
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】应用题；分式方程及应用．
【答案】C
【分析】根据“第一次购买的单价＝第二次购买的单价”可列方程．
【解答】解：设该书店第一次购进x套，
根据题意可列方程：400x=600x+5，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7．（2021•鹿城区校级二模）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．900（x+1）×2＝900（x﹣3）B．900（x+1）＝900（x﹣3）×2
C．90（x+1）×2＝900（x+3）D．900（x+1）＝900（x+3）×2
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
900x+1×2=900x−3，
即900（x+1）＝900（x﹣3）×2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8．（2021•浙江模拟）已知关于x的方程x−1x−3=mx−3无解，则m的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣3＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：x﹣1＝m，即x＝1+m，
∵分式方程无解，
∴x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：1+m＝3，
解得：m＝2，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
9．（2021•湖州模拟）解分式方程1x−3−4=23−x时，去分母正确的是（ ）
A．1﹣4（x﹣3）＝﹣2B．1﹣4（x﹣3）＝2
C．1﹣4（3﹣x）＝﹣2D．1﹣4（3﹣x）＝2
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：分式方程整理得：1x−3−4=−2x−3，
去分母得：1﹣4（x﹣3）＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
10．（2021•杭州模拟）若实数x满足x2−3x+2=3x−1x2，则x+1x的值为（ ）
A．3B．0C．3或0D．±3
【考点】换元法解分式方程．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】本题需先对方程进行变形，再用换元法即可求出x+1x的值．
【解答】解：由题意可得
(x+1x)2−3(x+1x)=0，
故x+1x=3或0（其中0不符合题意，舍去）
故选：A．
【点评】本题主要考查了如何用换元法解分式方程，在解题时要能够对分式方程进行变形，并要换元法解出方程是本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2023•南湖区模拟）分式方程：3x+1=2x−1的解是 x＝5 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x＝5．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x﹣3＝2x+2，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（2023•上城区二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 10 千克．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】10．
【分析】设需加入甲种糖x千克，利用单价＝总价÷数量，结合要使什锦糖的单价每千克提高1元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设需加入甲种糖x千克，
根据题意得：25(20+x)+15×3020+x+30−25×20+15×3020+30=1，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴需加入甲种糖10千克．
故答案为：10．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13．（2022•嘉兴二模）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度．设自行车的速度为x千米/时，则根据题意可列方程为 123x=12x−12 ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】123x=12x−12．
【分析】设自行车的速度是x千米/时，则汽车的速度是3x千米/时，根据某班同学到距离学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达可列方程．
【解答】解：设自行车的速度是x千米/时，则汽车的速度是3x千米/时，
根据题意，得123x=12x−12，
故答案为：123x=12x−12．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
14．（2022•鹿城区校级二模）口罩已成为疫情时代的重要用品，某厂计划加工120万个口罩，由于订购商急需，所以实际生产时每天的加工量比原计划提高了20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天加工多少个口罩？设原计划每天加工x万个，根据题意可列方程为 120x−120(1+20%)x=4 ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】120x−120(1+20%)x=4．
【分析】设原计划每天加工x万个，则实际每天加工（1+20%）x个，根据共用了4天完成全部任务，列方程即可．
【解答】解：设原计划每天加工x万个，则实际每天加工（1+20%）x个，
根据题意得，120x−120(1+20%)x=4，
故答案为：120x−120(1+20%)x=4．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
15．（2021•杭州模拟）若关于x的分式方程xx−3+2a3−x=2a无解，则a的值为 0.5或1.5 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接解分式方程，再分类讨论当1﹣2a＝0时，当1﹣2a≠0时，分别得出答案．
【解答】解：xx−3+2a3−x=2a，
去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；
当1﹣2a≠0时，x=4a2a−1=3时，分式方程无解，则a＝1.5，
则a的值为0.5或1.5．
故答案为：0.5或1.5．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
16．（2021•定海区模拟）分式方程x+32x−3=27的解为 x＝﹣9 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣9．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项后求出方程的解为x＝﹣9，最后对方程的根进行检验即可．
【解答】解：x+32x−3=27，
7（x+3）＝2（2x﹣3），
7x+21＝4x﹣6，
7x﹣4x＝﹣6﹣21，
3x＝﹣27，
x＝﹣9，
经检验，x＝﹣9是方程的根，
∴原方程的解为x＝﹣9．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程根的检验是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•杭州模拟）解分式方程：xx−2+42−x=3
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见解答．
【分析】根据解分式方程的步骤计算即可．
【解答】解：有错误．
去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），
去括号，得：x﹣4＝3x﹣6，
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣2，
两边同时除以﹣2，得：x＝1．
经检验，x＝1是原方程的解．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
18．（2023•舟山模拟）某欧洲客商准备采购一批特色商品，下面是一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型商品的件数，且不小于78件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式？
（3）在第（2）问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元；
（2）购进A型商品78件，B型商品82件；购进A型商品79件，B型商品81件；购进A型商品80件，B型商品80件．
（3）购进A型商品80件，B型商品80件获得利润最大，最大利润为12 000元．
【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，由数量关系列出方程，即可求解；
（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160﹣m）件．由A型商品的件数不大于B型商品的件数，且不小于78件，列出不等式，即可求解；
（3）分别求出三种方案的利润，即可求解．
【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，
根据题意，得16000x+10=7500x×2，
解得x＝150．
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意．
∴x+10＝160．
答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．
（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160﹣m）件．
根据题意，得m≤160−mm≥78，
解得78≤m≤80，
因为m为整数，所以m可以为78，79，80；
所以共有3种进货方式：购进A型商品78件，B型商品82件；购进A型商品79件，B型商品81件；购进A型商品80件，B型商品80件．
（3）方式1获得的利润为（240﹣160）×78+（220﹣150）×82＝11 980（元）；
方式2获得的利润为（240﹣160）×79+（220﹣150）×81＝11 990（元）；
方式3获得的利润为（240﹣160）×80+（220﹣150）×80＝12 000（元）．
因为11 980＜11 990＜12 000，
所以购进A型商品80件，B型商品80件获得利润最大，最大利润为12 000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找出正确的数量关系是解题的关键．
19．（2022•北仑区二模）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．
（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元；
（2）书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元．
【分析】（1）设乙种图书进阶每本x元，则甲种图书进阶为每本1.4x元，由题意：用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设书店甲种图书进货a本，总利润为w元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，求出w＝2a+12000，再由新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，列出a的一元一次不等式，解得a≤500，再由一次函数的性质求出最大利润即可．
【解答】解：（1）设乙种图书进阶每本x元，则甲种图书进阶为每本1.4x元，
由题意得：1400x−16801.4x=10，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
则1.4x＝1.4×20＝28，
答：甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元；
（2）设书店甲种图书进货a本，总利润为w元，
由题意得：w＝（40﹣28）a+（30﹣20）（1200﹣a）＝2a+12000，
∵28a+20×（1200﹣a）≤28000，
解得：a≤500，
∵w随a的增大而增大，
∴当a最大时w最大，
∴当a＝500时，w最大＝2×500+12000＝13000（元），
此时，乙种图书进货本数为1200﹣500＝700（本）
答：书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
20．（2022•常山县模拟）小王和小凌在解答“解分式方程：2x+3x=1−x−1x”的过程如下框，请你判断他们的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程．
【考点】解分式方程；分式方程的定义．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】它们的解法都不正确，解答过程见解答．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可判断．
【解答】解：它们的解法都不正确，
2x+3x=1−x−1x，
2x+3＝x﹣（x﹣1），
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
21．（2021•上城区二模）以下是琦琦同学解《作业本》中的一个分式方程5−xx−4+14−x=1的解答过程．
解：去分母，得5﹣x﹣1＝1，
移项，合并同类项，得x＝3，
检验：将x＝3代入最简公分母x﹣4＝3﹣4＝﹣1≠0，
∴x＝3是原方程的根．
琦琦的解答过程对吗？如果不对，请写出正确的解答过程．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】不对；见解答．
【分析】琦琦在去分母的时候，方程右边的1没有乘以（x﹣4），所以琦琦的解答不对，正确解答即可．
【解答】解：琦琦的解答不对，正确的解答过程如下：
方程两边都乘以（x﹣4）得：5﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝4．
检验：当x＝4时，x﹣4＝0，
∴x＝4是原方程的增根，原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解题的关键，最后记得检验．
22．（2021•萧山区二模）小李午休时从单位出发，到距离单位2000米的书店去买书，他先步行800米后，换骑公共自行车（自行车投放点固定）到达书店，全程用时15分钟．已知小李骑自行车的平均速度是步行速度的3倍（转换出行方式时，所需时间忽略不计）．
（1）分别求小李步行和骑自行车的平均速度；
（2）买完书后，小李原路返回，采取先骑公共自行车后步行．此时离上班时间只剩10分钟，为按时上班，他的骑行速度提升到原来的1.5倍．问：小李按原来的步行速度能按时到单位吗？若不行，他的步行速度至少提升到多少（米/分）？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）小李步行的平均速度为80米/分，骑自行车的平均速度为240米/分；
（2）小李按原来的步行速度不能按时到单位，若想按时到达，他的步行速度至少提升到120米/分．
【分析】（1）设小李步行的平均速度为x米/分，则小李骑自行车的平均速度为3x米/分，根据时间＝路程÷速度，结合小李全程用时15分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用时间＝路程÷速度，可求出小李按原来的步行速度到达单位所需时间，将其与10分钟比较后可得出小李按原来的步行速度不能按时到单位，设他的步行速度应提升到y米/分，根据路程＝速度×时间，结合10分钟步行及骑行的路程之和不少于2000米（即按时到达或提前到达），即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设小李步行的平均速度为x米/分，则小李骑自行车的平均速度为3x米/分，
依题意得：800x+2000−8003x=15，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝240．
答：小李步行的平均速度为80米/分，骑自行车的平均速度为240米/分．
（2）∵2000−800240×1.5+80080=1313（分钟），1313＞10，
∴小李按原来的步行速度不能按时到单位．
设他的步行速度应提升到y米/分，
依题意得：2000﹣800+（10−2000−800240×1.5）y≥2000，
解得：y≥120，
∴他的步行速度至少提升到120米/分．
答：小李按原来的步行速度不能按时到单位，若想按时到达，他的步行速度至少提升到120米/分．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式甲种糖果
乙种糖果
千克数
20
30
单价（元/千克）
25
15
小王的解法：
解，去分母得：2x+3＝1﹣（x﹣1）①
去括号得：2x+3＝1﹣x+1②
移项得：2x+x＝1+1﹣3③
合并同类项得：3x＝﹣1④
系数化为1得：x=−13⑤∴x=−13是原分式方程的解 ⑥
小凌的解法：
解，去分母得：2x+3＝x﹣x﹣1①
移项得：2x＝﹣3﹣1②
合并同类项得：2x＝﹣4③
系数化为1得：x＝﹣2④∴x＝﹣2是原分式方程的解 ⑤
甲种糖果
乙种糖果
千克数
20
30
单价（元/千克）
25
15
小王的解法：
解，去分母得：2x+3＝1﹣（x﹣1）①
去括号得：2x+3＝1﹣x+1②
移项得：2x+x＝1+1﹣3③
合并同类项得：3x＝﹣1④
系数化为1得：x=−13⑤∴x=−13是原分式方程的解 ⑥
小凌的解法：
解，去分母得：2x+3＝x﹣x﹣1①
移项得：2x＝﹣3﹣1②
合并同类项得：2x＝﹣4③
系数化为1得：x＝﹣2④∴x＝﹣2是原分式方程的解 ⑤