2024年中考数学压轴题之二次函数面积类问题（基础一）(解析)

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1．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=1，求点B的坐标．
【答案】（1）解：抛物线解析式为y=x(x−2)，即y=x2−2x
（2）解：因为y=x2−2x=(x−1)2−1，
所以抛物线的顶点坐标为(1，−1)，对称轴为直线x=−1；
（3）解：设B(t，t2−2t)，
因为S△OAB=1，
所以12×2×|t2−2t|=1，
所以t2−2t=1或t2−2t=−1，
解方程t2−2t=1得t1=1+2，t2=1−2，则B点坐标为(1+2，1)或(1−2，1)；
解方程t2−2t=−1得t1=t2=1，则B点坐标为(1，−1)，
所以B点坐标为(1+2，1)或(1−2，1)或(1，−1)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将点A、O的坐标代入y=x2+bx+c求出b、c的值即可；
（2）将二次函数的一般式化为顶点式y=x2−2x=(x−1)2−1，再求解即可；
（3）设B(t，t2−2t)，根据题意列出方程12×2×|t2−2t|=1，再求解即可。
2．如图，抛物线y=−x2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=−x+3经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC，PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）解：在 y=−x+3 中，令 x=0 得 y=3 ，令 y=0 得 x=3 ，
∴B(3，0) ， C(0，3) ，
把 B(3，0) ， C(0，3) 代入 y=−x2+bx+c 得：
−9+3b+c=0c=3 ，
解得 b=2c=3 ，
∴y=−x2+2x+3 ；
（2）解：过 P 作 PH//y 轴交 BC 于 H ，如图：
设 P(m，−m2+2m+3) ，则 H(m，−m+3) ，
∴PH=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m ，
∴S△PBC= 12PH·xB−xC= 12×(−m2+3m)×3= −32m2+92m=−32(m−32)2+278
∵ −32