2024年中考数学压轴题之二次函数相似三角形存在性问题（二）（解析）

这是一份2024年中考数学压轴题之二次函数相似三角形存在性问题（二）（解析），共48页。试卷主要包含了如图1，已知抛物线的方程C1等内容，欢迎下载使用。

（1）如图1，当m＝1时，
①求该二次函数的解析式；
②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点Q，求 PQOQ 的最大值；
（2）如图2，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三形与△BOC相似.
【答案】（1）解：①由m＝1可知点C（0，﹣3），
∵ 抛物线与 x 轴交点为 A(−3，0) 、 B(1，0) ，
∴ 抛物线解析式为： y=a(x+3)(x−1) ，
将点 C(0，−3) 代入上式，得 a×3×(−1)=−3 ，
∴a=1 ，
∴ 抛物线的解析式为： y=(x+3)(x−1)=x2+2x−3 ；
②由①可知抛物线解析式为 y=x2+2x−3 ，则设 P(x，x2+2x−3) ，
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ，
由题意可得 −3k+b=0b=−3 ，
解得 k=−1b=−3 ，
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−x−3 ，
如图1，过点 P 作 PN⊥x 轴，交 AC 于 N ，则 PN//OC ，
∴ 点 N(x，−x−3) ，
∴PN=(−x−3)−(x2+2x−3)=−x2−3x ，
∵PN//OC ，
∴△PQN∽△OQC ，
∴ PQOQ=PNOC ，
∴ PQOQ=−x2−3x3=−(x+32)2+943 ，
∴ 当 x=−32 时， PQOQ 的最大值为 34 ；
（2）解： ∵y=mx2+2mx−3m=m(x+1)2−4m ，
∴ 顶点D坐标为 (−1，−4m) ，
如图2，过点D作 DE⊥x 轴于点 E ，则 DE=4m ， OE=1 ， AE=OA−OE=2 ，
过点D作 DF⊥y 轴于点 F ，则 DF=1 ， CF=OF−OC=4m−3m=m ，
由勾股定理得：
AC2=OC2+OA2=9m2+9 ，
CD2=CF2+DF2=m2+1 ，
AD2=DE2+AE2=16m2+4 ，
∵ΔACD 与 ΔBOC 相似，且 ΔBOC 为直角三角形，
∴ΔACD 必为直角三角形，
i) 若点 A 为直角顶点，则 AC2+AD2=CD2 ，
即： (9m2+9)+(16m2+4)=m2+1 ，
整理得： m2=−12 ，
∴ 此种情形不存在；
ii) 若点 D 为直角顶点，则 AD2+CD2=AC2 ，
即： (16m2+4)+(m2+1)=9m2+9 ，
整理得： m2=12 ，
∵m>0 ，
∴m=22 ，
此时，可求得 ΔACD 的三边长为： AD=23 ， CD=62 ， AC=362 ；
ΔBOC 的三边长为： OB=1 ， OC=322 ， BC=222 ，
两个三角形对应边不成比例，不可能相似，
∴ 此种情形不存在；
iii) 若点 C 为直角顶点，则 AC2+CD2=AD2 ，
即： (9m2+9)+(m2+1)=16m2+4 ，
整理得： m2=1 ，
∵m>0 ，
∴m=1 ，
此时，可求得 ΔACD 的三边长为： AD=25 ， CD=2 ， AC=32 ；
ΔBOC 的三边长为： OB=1 ， OC=3 ， BC=10 ，
∵ ADBC=ACOC=CDOB=2
∴ 满足两个三角形相似的条件，
∴m=1 .
综上所述，当 m=1 时，以A、D、C为顶点的三角形与 ΔBOC 相似.
【解析】【分析】（1）①由m=1可求出点C的坐标，利用点A，B的坐标设函数解析式为y=a（x+3）（x-1），将点C的坐标代入可求出a的值，即可得到抛物线的解析式；②利用待定系数法求出直线AC的函数解析式； 设 P(x，x2+2x−3)，过点P作PN⊥x轴交AC于点N，可证得PN∥OC，可得到点N（x，-x-3），由PN∥OC可证得△PQN∽△OQC，利用相似三角形的对应边成比例，可得到 PQOQ与x之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出其结果；
（2）将函数解析式转化为顶点式，得到点D的坐标；过点D作DE⊥x轴于点E，可得到DE，OE，AE的长，过点D作DF⊥y轴于点F，可得到FD的长，同时可表示出CF的长，利用勾股定理分别表示出AC2，CD2，AD2，利用△ACD和△BOC相似且△BOC是直角三角形，可分情况讨论：当点A为直角顶点时；当点D为直角顶点时，分别可得到关于m的方程，解方程取出符合题意的m的值；即可求出△ACD和△BOC的三边长；利用相似三角形的判定定理，作出判断；当点C为直角顶点时，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，利用相似三角形的性质可作出判断.
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c(ac≠0) 与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段 OA、OB、OC 的长满足 OC2=OA⋅OB ，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线 y=ax2+bx+2(a≠0) 为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C.且 OA=4OB
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为 AC 上方抛物线上的动点，过点P作 PD⊥AC ，垂足为D.
①求 PD 的最大值；
②连接 PC ，当 △PCD 与 △ACO 相似时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：令 y=ax2+bx+2(a≠0) 中x=0，则y=2，故OC=2，
设OB=x(x>0)，则OA=4OB=4x，
∵y=ax2+bx+2(a≠0) 为“黄金”抛物线，
∴OC2=OA⋅OB ，代入数据：
4=4x²，解得x=1(负值舍去)，
∴OB=1，OA=4，
∴B(1，0)，A(-4，0)代入 y=ax2+bx+2(a≠0) 中，
∴0=a+b+20=16a−4b+2 ，解得 a=−12b=−32 ，
∴抛物线的解析式为 y=−12x2−32x+2 .
（2）解：①过P点作PH⊥x轴于H点，交AC于E点，如下图所示：
则∠PDE=∠DHA=90°，∠PED=∠AEH，
∴∠P=∠CAO，
∴cs∠P=cs∠CAO=AOAC=425=255 ，
∴PDPE=255 ，即 PD=255PE
故要使得 PD 最大，只要PE最大即可，接下来求PE的最大值，
设直线AC的解析式为：y=mx+n，代入A(-4，0)、C(0，2)，
∴0=−4m+n2=n ，解得： m=12n=2 ，
∴直线AC解析式为： y=12x+2 ，
设 P(x，−12x2−32x+2) ，则 E(x，12x+2) ，
∴PE=(−12x2−32x+2)−(12x+2)=−12x2−2x=−12(x+2)2+2 ，
∵P为 AC 上方抛物线上的动点，
∴−4