2024年中考数学压轴题之二次函数相似三角形存在性问题（一）（解析）

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（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点F与点D关于y轴对称，过点F作直线GF交抛物线于点H、M.点H在点M左侧，连接GD、DM、HD.设直线GF解析式为y=kx+b，是否存在实数k，使得△GHD与△DGM相似.若存在，请求出k值以及△DHM的面积，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：B（0，4）代入得：c=4，
由二次函数的图象和系数的关系：对称轴−b2a=−b2×23=52，b=−103，
∴y=23x2−103x+4；
（2）解：Rt△ABO中由勾股定理得：AB=32+42=5，
当四边形ABCD是菱形时：AD=AB=BC=5，
由平移性质得：D(2，0)，C(5，4)，
∵23×4−103×2+4=0，∴D在抛物线上.
∵23×25−103×5+4=4，∴C在抛物线上.
故C，D两点在抛物线上；
（3）解：D(2，0)，由对称得F(−2，0)，
设直线解析式为： y=kx＋b，代入F得
−2k+b=0，b=2k，
∴G(0，2k)；
当直线与二次函数相交时：设H(x1，y1)，M(x2，y2)，则H（x1，kx1+2k），M（x2，kx2+2k）
y=23x2−103x+4y=kx+2k，
2x2−10x+12=3kx+6k，
2x2−(10+3k)x+12−6k=0，①
Δ=(10+3k)2−8(12−6k)≥0，
x1，x2是方程①的解，由根与系数的关系得：x1+x2=10+3k2x1x2=6−3k；
当△GHD与△DGM相似时：
若GHGM=GDGD，则H、M重合，不符合题意；
若GHGD=GDGM，则GD2=GH⋅GM，
∵G(0，2k)，D(2，0) ，H（x1，kx1+2k），M（x2，kx2+2k），
∴4+4k2=x12+(kx1)2·x22+(kx2)2=1+k21+k2x1x2，
4(1+k2)=(1+k2)x1x2，
x1x2=4，6−3k=4，k=23.
当k=23时，2x2−12x+8=0，x2−6x+4=0，
x=6±202，x1=3−5，x2=3+5，
S△HDM= S△FDM －S△FDH=12×4×（y2-y1）=835
【解析】【分析】（1）将B（0，4）代入可得c=4，根据对称轴方程可得b的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）由勾股定理可得AB=5，当四边形ABCD是菱形时，AD=AB=BC=5，由平移的性质得D（2，0），C（5，4），然后代入抛物线解析式中验证即可；
（3）由对称性可得F（-2，0），易得G（0，2k），当直线与二次函数相交时，设H（x1，y1），M（x2，y2），则H（x1，kx1+2k），M（x2，kx2+2k），联立直线与抛物线解析式并结合根与系数的关系表示出x1+x2、x1x2，然后相似三角形的性质可得k的值，进而求出x的值，然后根据S△HDM= S△FDM-S△FDH进行计算.
2．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在×轴上．
（1）若抛物线过点P（0，14 ），求证：a=b2？；
（2）已知点P1（-2，1），P2（2，-1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y= 34 x+1与抛物线交于A，B两点，点M在直线y=n（n