昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试卷及参考答案

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数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，，则
A．B．C．D．
2．复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为，则
A．B．C．D．
4．在中，点满足，则
A．B．
C．D．
5．某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，，则下列说法错误的是
A．若该八名选手成绩的第百分位数为，则
B．若该八名选手成绩的众数仅为，则
C．若该八名选手成绩的极差为，则
D．若该八名选手成绩的平均数为，则
6．已知函数，若存在，使得方程有三个不等的实根，
，且，则
A． B． C． D．
7．若将函数的图象平移后能与函数的图象重合，则称函数和互为“平行函数”．已知，互为“平行函数”，则
A．B．C．D．
8．第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的．如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止．则所作的所有三角形的面积和为
A．
B．
C．
D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．在正四棱柱中，已知与平面所成的角为，则
A．B．与平面所成的角为 C．D．平面
10．已知圆，直线，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，当最大时，则
A．直线的斜率为1B．四边形的面积为
C．D．
11．古希腊数学家托勒密（Ptlemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为．例如圆
心角所对弦长等于60个度量单位，即．则
A．
B．若，则
C．
D．（）
12．已知函数，则
A．当时，有2个零点
B．当时，有2个零点
C．存在，使得有3个零点
D．存在，使得有5个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点（）在角
终边上，且，则的值可以是 .（写一个即可）
14．春节前夕，某社区安排小王、小李等5名志愿者到三个敬老院做义工，每个敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一个敬老院，且这5名志愿者全部安排完，则所有不同的安排方式种数为 .（用数字作答）
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为 ．
16．已知球的表面积为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则该正四棱锥体积的最大值为 ．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在中，，，.
（1）求的面积；
（2）如图，，，求.
18．（12分）
记为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
求数列的前项和.
19．（12分）
如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，．
（1）证明：平面平面；
（2）是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由．
20．（12分）
聊天机器人（chatterbt）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
（1）求一个问题的应答被采纳的概率；
（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.
21．（12分）
已知是椭圆的右焦点，点在不过原点的直线上，交于，两点.当与互补时，，.
（1）求的方程；
（2）证明：为定值.
22．（12分）
已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.