人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称课时训练

这是一份人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称课时训练，共20页。试卷主要包含了如图，镜子中号码的实际号码是，已知点A等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．下列城市的地铁图标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．天津B．南京
C．深圳D．沈阳
2．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（ ）
A．80°或50°B．50°或20°C．80°或20°D．50°
3．如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，则∠C的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
5．如图，镜子中号码的实际号码是（ ）
A．2653B．3562C．3265D．5623
6．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．9cmB．13cmC．16cmD．10cm
7．已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
8．（2023秋•博罗县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
9．如图是一个小型的台球桌，四角分别是A，B，C，D四个球筐，桌面可以分成12个正方形小区域，如果将在点P位置的球沿着PQ的方向击球Q，那么球Q最终会落在（ ）
A．A筐B．B筐C．C筐D．D筐
10．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．55°B．56°C．57°D．58°
填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。
11．若P关于x轴的对称点为（3，a），关于y轴对称的点为（b，2），则P点的坐标为 ．
12．如图所示，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD＝ ．
13．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝ °．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是 ．
15．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为 ．
16．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△AnBnAn+1的边长为 ．
三、解答题（本题共6题，17题6分，18-19题8分，20-22题10分）。
17．已知P（a+1，b﹣2），Q（4，3）两点．
（1）若P，Q两点关于x轴对称，求a+b的值
（2）若点P到y轴的距离是3，且PQ∥x轴，求点P的坐标．
18．如图：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在y轴上画出点P，使PA+PC最小；
（3）求△ABC的面积．
19．如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AE＝6，求CE的长．
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
21．（2023秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
22．（2023•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
八年级上册第三单元检测卷（B卷）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．下列城市的地铁图标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．天津B．南京
C．深圳D．沈阳
【答案】D
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（ ）
A．80°或50°B．50°或20°C．80°或20°D．50°
【答案】A
【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，
②当这个角80°是顶角，
设等腰三角形的底角是x°，
则2x+80°＝180°，
解可得，x＝50°，
即该等腰三角形的底角的度数是50°；
故选：A．
3．如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．
故选：D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，则∠C的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝25°，
∴∠C＝∠B＝25°，
故选：B．
5．如图，镜子中号码的实际号码是（ ）
A．2653B．3562C．3265D．5623
【答案】C
【解答】解：根据镜面对称的性质，在镜子中的真实数字应该是：3265．
故选：C．
6．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．9cmB．13cmC．16cmD．10cm
【答案】A
【解答】解：∵△BDE由△BDC翻折而成，
∴BE＝BC＝7cm，DE＝CD，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣7＝3cm，
∴△AED的周长＝AE+（AD+DE）＝AE+AC＝3+6＝9cm．
故选：A．
7．已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【答案】B
【解答】解：∵A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，
∴a＝2014，b＝﹣2013
∴a+b＝1，
故选：B．
8．（2023秋•博罗县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝ME+EN，
即MN＝BM+CN．
∵BM+CN＝9
∴MN＝9，
故选：D．
故选：C．
9．如图是一个小型的台球桌，四角分别是A，B，C，D四个球筐，桌面可以分成12个正方形小区域，如果将在点P位置的球沿着PQ的方向击球Q，那么球Q最终会落在（ ）
A．A筐B．B筐C．C筐D．D筐
【答案】C
【解答】解：如图，球最后落入C筐．
故选：C．
10．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．55°B．56°C．57°D．58°
【答案】B
【解答】解：如图，延长AB至A′，使A′B＝AB，
延长AE至A″，使A″E＝AE，
则BC垂直平分AA′，DE垂直平分AA″，
∴AM＝A′M，AN＝A″N，
根据两点之间，线段最短，
当A′，M，N，A″四点在一条直线时，A′M+MN+NA″最小，
则AM+MN+AN的值最小，
即△AMN的周长最小，
∵AM＝A′M，AN＝A″N，
∴可设∠MAA′＝∠MA′A＝x，∠NAA″＝∠NA″A＝y，
在△AA′A″中，x+y＝180°﹣∠BAE＝180°﹣152°＝28°，
∵∠AMN＝∠MAA′+∠MA′A＝2x，∠ANM＝2y，
∴∠AMN+∠ANM＝2x+2y＝56°，
故选：B．
填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。
11．若P关于x轴的对称点为（3，a），关于y轴对称的点为（b，2），则P点的坐标为 ．
【答案】（3，2）
【解答】解：∵P关于x轴的对称点为（3，a），
∴点P的横坐标为3；
∵P关于y轴对称的点为（b，2），
∴点P的纵坐标为2，
∴P点的坐标为（3，2）．
故答案为：（3，2）．
12．如图所示，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD＝ ．
【答案】30°
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC．
∴∠DBC＝180°﹣2∠C＝40°
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
13．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝ °．
【答案】87
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠DBE＝∠ABC＝（180°﹣31°﹣∠A）＝（149°﹣∠A），
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∴∠DBE＝∠C，
∴∠DBE＝∠ABC＝（149°﹣∠A）＝∠C＝31°，
∴∠A＝87°．
补充：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠C＝∠DBC＝31°，
∵DB平分∠ABC，
∴∠DBA＝∠DBC＝31°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣2∠DBC＝87°，
故答案为：87．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是 ．
【答案】110°或70°
【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°＝70°．
故答案为：110°或70°．
15．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为 ．
【答案】
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
在△PFM和△QCM中，
，
∴△PFM≌△QCM（AAS），
∴FM＝CM，
∵AE＝EF，
∴EF+FM＝AE+CM，
∴AE+CM＝ME＝AC，
∵AC＝3，
∴ME＝，
故答案为：．
16．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△AnBnAn+1的边长为 ．
【答案】2n
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，
∵∠MON＝30°，
∵OA2＝4，
∴OA1＝A1B1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，
A4B4＝8B1A2＝16，
A5B5＝16B1A2＝32，
以此类推△AnBnAn+1的边长为 2n．
故答案为：2n．
三、解答题（本题共6题，17题6分，18-19题8分，20-22题10分）。
17．已知P（a+1，b﹣2），Q（4，3）两点．
（1）若P，Q两点关于x轴对称，求a+b的值
（2）若点P到y轴的距离是3，且PQ∥x轴，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵P，Q两点关于x轴对称，
∴a+1＝4，b﹣2＝﹣3，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴a+b＝3﹣1＝2；
（2）∵点P到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标为3或﹣3，
又∵PQ∥x轴，
∴点P的纵坐标为3，
∴P（3，3）或（﹣3，3）．
18．如图：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在y轴上画出点P，使PA+PC最小；
（3）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）如图所示，S△ABC＝S梯形BCDE﹣S△ACD﹣S△ABE
＝﹣﹣
＝12﹣2.5﹣3
＝6.5．
19．如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AE＝6，求CE的长．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝30°，
∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝BE，DE＝BE，
∴AE＝DE；
（2）解：∵∠A＝90°，AE＝6，∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE＝12，
∴CE＝BE＝12．
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
21．（2023秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
22．（2023•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
【答案】（1） AP＝2 （2）不会变
【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，
∴AP＝2；
（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE＝EF，
∵EB+AE＝BE+BF＝AB，
∴DE＝AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE＝3，
∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．