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安徽省桐城市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷
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这是一份安徽省桐城市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知 AB 是 ⊙O 的弦， ⊙O 的半径为r，下列关系式一定成立的是（ ）
A．AB>rB．AB2．如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为 (2，4) ， OP 与x轴正半轴的夹角为 α ，则 sinα 的值为（ ）
A．12B．32C．55D．255
3．已知 a：b：c=2：4：5 ，则 3a−2b−cb 的值为（ ）
A．74B．−74C．47D．−47
4．下列说法正确的是（ ）
A．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．等弦所对的弧相等
5．已知二次函数 y=−(x−2)2+3 ，且 −1≤x≤1 ，下列说法正确的是（ ）
A．此函数的最大值为3B．当 x=−1 时，函数有最大值-6
C．函数y的取值范围是 2≤y≤3D．函数y的取值范围是 −6≤y≤2
6．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，若坡面CD的长度为 62 米，则斜坡AB的长度为（ ）
A．43B．63C．65D．24
7．如图， △ABC 中， ∠CAB=2∠B，AB 的垂直平分线交 AB 于E，交 BC 于D，若 AC=6 ， BC=9 ，则 BD 的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．已知二次函数 y=x2+(a+2)x+a （ a≠0 的常数）的图象顶点为P，下列说法正确的是（ ）
A．点P只能在第三象限B．点P只能在第四象限
C．点P在x轴上方D．点P在直线 y=−1 的下方
9．如图， AB 是 ⊙O 的弦，过点O作 OC⊥AB 于E交 ⊙O 于C，过点A作 ⊙O 的切线 AD 交 BC 的延长线于D，连接 AC ， OA ．下列结论中，错误的是（ ）
A．AC 平分 ∠BAD
B．∠ACD=∠O
C．DA2=DC⋅DB
D．若 ∠OAC=65° ，则 ∠D=125°
10．如图， △OAC 按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上， OA 边在x轴上， OA=8 ， AC=4 ，把 △OAC 绕点A按顺时针方向转到 △OAC′ ，使得点 O′ 的坐标是 (4，43) ，则在这次旋转过程中线段 OC 扫过部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．6πB．8πC．10πD．12π
二、填空题
11．写出一个既是轴对称图形又是中心对称图形的几何图形，这个图形可以是 ．
12．如图， BC 是 ⊙O 的直径，点A是 ⊙O 外一点，连接 AC 交 ⊙O 于点E，连接 AB 并延长交 ⊙O 于点D，若 ∠A=35° ，则 ∠DOE 的度数是 ．
13．若点 P(a，b) 在抛物线 y=−2x2+2x+1 上，则a-b的最小值为 ．
14．如图，在 ⊙O 的内接四边形 ABCD 中， AB=AD，∠C=120° ，点E在弧 AD 上，连接 OD 、 OE 、 AE 、 DE ．
（1）∠AED 的度数为 ．
（2）当 ∠DOE=90° 时， AE 恰好为 ⊙O 的内接正n边形的一边，则n的值为 ．
三、解答题
15．如图，点A在反比例函数 y=10x 的图象上，过点A作y轴的平行线交反比例函数 y=kx(k<0) 的图象于点B，点C在y轴上，若 △ABC 的面积为8，求k的值．
16．如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F ，若 ΔAEF 的面积为1，求平行四边形 ABCD 的面积．
17．如图，由若干个边长为1的小正方形组成的网格中，已知格点线段 AB （端点是网格线的交点）和格点 O ．
（1）以点 O 为位似中心，画出线段 AB 的位似图形线段 A1B1 ，使线段 A1B1 与线段 AB 的相似比为2；
（2）以点 A1 为旋转中心，画出线段 A1B1 绕点 A1 顺时针旋转90°得到的线段 A1B2 ．
18．已知抛物线 y=ax2+kx−k+2 可由抛物线 y=−2x2 平移得到，且经过点 (−4，−10) ．
（1）确定 a，k 的值；
（2）试确定该抛物线的顶点坐标．
19．如图， △ABC 是 ⊙O 的内接三角形．
（1）用尺规作图确定圆心O的位置；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 ∠A=45°，BC=10 ，试确定 ⊙O 的半径．
20．如图，在某居民楼 AB 楼顶悬挂“大国点名，没你不行”的横幅 BC ，在距楼底A点左侧水平距离 30m 的D点处有一个斜坡，斜坡 DE 的坡度 i=1：2.4，DE=26m ，在坡底D点处测得居民楼楼顶B点的仰角为 45° ，在坡顶E点处测得居民楼楼顶横幅上端C点的仰角为27°（居民楼 AB ，横幅 BC 与斜坡 DE 的剖面在同一平面内），则横幅 BC 的高度约为多少?（结果精确到0.1 ，参考数据： sin27°=0.45，cs27°=0.89，tan27°=0.51 ）
21．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在 △ABC 中， ∠A=48° ， CD 是 △ABC 的完美分割线，且 AD=CD ，求 ∠ACB 的度数．
（2）如图2，在 △ABC 中， AC=2 ， BC=2 ， CD 是 △ABC 的完美分割线，且 △ACD 是以 CD 为底边的等腰三角形，找出 CD 与 BD 的关系．
22．如图，抛物线 y=−12x2+x+4 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴方程；
（2）若点M是该抛物线在第一象限部分上的一动点，且 S△OBM=2S△OCM ，求点M的坐标．
23．如图1， AB 是 ⊙O 的直径，点C，D都在半圆 ACB 上，且 ∠ABD=∠CBD ，过D作 BC 的垂线，垂足为E．
（1）求证： DE 与 ⊙O 相切；
（2）若 DE=6 ， BE=9 ．求 AB 的长．
（3）如图2，过点B作 ⊙O 的切线 BF 交 DE 的延长线于点F，求证： EF⋅AB=CB⋅BF ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：若 AB 是 ⊙O 的直径时， AB=2r ，
若AB不是 ⊙O 的直径时 AB<2r ，无法判定AB与 r 的大小关系．
观察选项，只有选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据直径是最长的弦进行解答即可。
2．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，
∵P(2，4)，
∴OE=2，PE=4，
∴OP=22+42=20=25，
∴sinα=PEOP=425=255.
故答案为：D
【分析】如图，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，由P的坐标得出OE=2，PE=4，再利用勾股定理求解OP的值，即可得出sinα 的值 。
3．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由a：b：c=2：4：5，
设a=2x，b=4x，c=5x．
∴3a−2b−cb = 3×2x−2×4x−5x4x=6x−8x−5x4x=−7x4x = −74 ，
故答案为：B．
【分析】利用设k法，将a、b、c用同一个字母表示，再代入计算即可。
4．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，符合题意；
B、平分弦的直径不一定垂直于弦，也不一定平分弦所对的弧，不符合题意；
C、垂直于半径，且过半径外端点的直线是圆的切线，不符合题意；
D、等弦所对的弧不一定相等，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理、切线的判断、圆心角、弧、弦的关系分别进行判断即可。
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 y=−(x−2)2+3 的对称轴为：x=2，又二次函数的二次项系数小于0，
∴二次函数 y=−(x−2)2+3 ，在x<2时，y随x的增大而增大；在x≥2时，y随x的增大而减小；
又∵−1≤x≤1 ，∴当 −1≤x≤1 时，二次函数 y=−(x−2)2+3 ，y随x的增大而增大；
当x=-1时，函数取最小值：y=-6；当x=1时，函数取最大值：y=2；
∴二次函数 y=−(x−2)2+3 的取值范围：-6≤y≤2；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，∴BE=CF．
∵背水坡CD的坡比i=1：1，CD= 62 米，
∴CF=DF= 22 CD=6（米），∴BE=CF=6米，
又∵斜坡AB的坡比i=1：2= BEAE ，∴AE=2BE=12（米），
∴AB= AE2+BE2=122+62=65 （米），
故答案为：C．
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，利用坡面CD的长度为 62 米，求出CF的长，再利用斜坡AB的坡比i=1：2，求出AE的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=2∠B，
又∵∠CAB=2∠B，
∴∠ADC=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴CDAC=ACBC ，
∴CD=AC2BC=4 ，
∴BD=BC-CD=9-4=5，
故答案为：C．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB，根据等腰三角形的性质得出∠DAB=∠B，证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质得出CD，结合图形计算即可。
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】设二次函数y=x2+ (a+2) x+a (a为常数)的图象顶点P (m，n)，
m=−a+22 ，n= 4a−(a+2)24=−a2+44
∵a2>0，
∴a2+4>4，
∴n=- a2+44 ＜-1，
即点P在直线y=-1的下方，
故答案为： D．
【分析】根据二次函数的顶点坐标计算可判断出答案。
9．【答案】D
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC ，
∴∠OAC=∠OCA ，
∵AD 是 ⊙O 的切线，
∴OA⊥AD ，
∴∠OAC+∠DAC=90° ，
∵OC⊥AB ，
∴∠OCA+∠BAC=90° ，
∴∠BAC=∠DAC ，即 AC 平分 ∠BAD ，选项A不符合题意；
由垂径定理得 AC=BC ，
∴AC=BC ，
∴∠CAB=∠CBA ，
∴∠ACD=∠CAB+∠CBA=2∠CBA ，
∵∠O=2∠CBA ，
∴∠ACD=∠O ，选项B不符合题意；
∵∠BAC=∠DAC，∠CAB=∠CBA ，
∴∠DAC=∠DBA ，
∵∠D=∠D ，
∴△DAC∽△DBA ，
∴DADB=DCDA ，
∴DA2=DC⋅DB ，选项C不符合题意；
∵∠OAC=65° ， ∠OCA=65°，∠CAD=90°−65°=25° ，
∴∠CAB=∠CBA=25° ， ∠ACD=50° ，
∴∠D=180°−25°−50°=105° ．选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用弦切角定理得到∠B=∠DAC，由垂径定理得到∠B=∠BAC从而可以判断A；利用三角形外角性质得到∠ACD和∠B的关系，利用圆周角定理得到∠O和∠B的关系，然后判断选项B；由∠B=∠DAC，∠D=∠D判定出△DAC∽△DBA，然后判断选项C；结合前面过程中所得结论求出∠D判断选项D。
10．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】过 O′ 作 O′M⊥OA 于M，则 ∠O′MA=90° ，
∵点 O′ 的坐标是 (4，43) ，
∴O′M=43 ， OM=4 ，
∵AO=8 ，
∴AM=8−4=4 ，
由旋转的性质得 AO′=8 ，
∴AM=12AO′ ，
∴∠AO′M=30° ，
∴∠O′AM=60° ，即旋转角为 60° ，
∴∠CAC′=∠OAO′=60° ．
∵把 △OAC 绕点A按顺时针方向旋转到 △O′AC′ ，
∴S△OAC=S△O′AC′ ，
∴阴影部分的面积：
S=S扇形OAO′+S△O′AC′−S△OAC−S扇形CAC′=S扇形OAO′−S扇形CAC′=60π⋅82360−60π⋅42360=8π ．
故答案为：B．
【分析】过 O′ 作 O′M⊥OA 于M，则 ∠O′MA=90° ，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图象得出阴影部分的面积S=S扇形OAO'+S△O'AC'−S△OAC−S扇形CAC'=S扇形OAO'−S扇形CAC'，分别求出即可。
11．【答案】圆
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的几何图形为圆．
故答案为：圆．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
12．【答案】110°
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED=∠ABC，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∵∠AED+∠DEO+∠OEC=∠A+∠AED+∠ADE= 180° ，
∴∠DEO= ∠A=35° ，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠DEO= 35° ，
∴∠DOE= 180°−2×35°= 110° ，
故答案为：110°．
【分析】连接DE，构造直角三角形和圆内接四边形，推出△ADE∽△ACB，得出∠AED=∠ABC，由OD=OE，得出∠ODE的度数，由此得出 ∠DOE 的度数 。
13．【答案】−98
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵点 P(a，b) 在抛物线 y=−2x2+2x+1 上，
∴−2a2+2a+1=b ，
∴a−b=2a2−a−1 = 2(a−14)2−98 ，
∵2>0，
∴当a= 14 时，a-b有最小值，最小值为 −98 ，
故答案为： −98 .
【分析】把点P的坐标代入 y=−2x2+2x+1 上，求得−2a2+2a+1=b，进而得出a−b=2a2−a−1，化成顶点式a−b=2a2−a−1 = 2(a−14)2−98 ，根据二次函数的性质可得出。
14．【答案】（1）120°
（2）12
【知识点】圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】（1）连接 BD ，
∵四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180° ，
∵∠C=120° ，
∴∠BAD=60° ，
∵AB=AD ，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠ABD=60° ，
∵四边形 ABDE 是 ⊙O 的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180° ，
∴∠AED=120° ；
（2）连接 OA ，
∵∠ABD=60° ，
∴∠AOD=2∠ABD=120° ，
∵∠DOE=90° ，
∴∠AOE=∠AOD−∠DOE=30° ，
∴n=360°30°=12 ．
【分析】（1）连接 BD ，证明 △ABD 是等边三角形，推出∠ABD=60°，可得结论；
（2）求出∠AOE的度数，可得结论。
15．【答案】解：连接 OA ， OB ．
∵AB//y 轴，
∴S△OAB=S△ABC=8 ，
∴12×|10|+12|k|=8 ，
解得 k=±6 ，
∵k<0 ，
∴k=−6 ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】根据平行线的性质得出 S△OAB=S△ABC=8 ， 列出关于K的方程，并根据图象所在的象限求得K即可。
16．【答案】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD ，
∴ΔAEF∼ΔCDF ，
∵点 E 是 AB 的中点，
∴AFFC=AECD=AEAB=12 ，
∴SΔAEFSΔCDF=(12)2=14 ，
∵ΔAEF 的面积为1，
∴SΔCDF=4SΔAEF=4，SΔADF=12SΔCDF=2 ，
∴SΔACD=SΔADF+SΔCDF=6 ，
∴平行四边形 ABCD 的面积= 2SΔACD=12 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由 AB//CD ，得出 ΔAEF∼ΔCDF ，由点 E 是 AB 的中点，得出相似比；
根据ΔAEF 的面积为1，得 SΔCDF=4，SΔADF=2 ，因此 SΔACD=6 ，可得平行四边形 ABCD 的面积为12。
17．【答案】（1）解：如图可知：∵ 小正方形为边长为1；
∴OA=13 ， OB=17 ；又线段 A1B1 与 AB 的相似比2；
∴OA1=213=2OA ， OB1=217=2OB ；且 A1 在 OA 所在直线的延长线上， B1 在 OB 所在直线的延长线上；
∴∠AOB=∠A1OB1
∴ΔAOB∼ΔA1OB1
∴ 可得点 A1 和点 B1 ；连接 A1 和 B1 ，即可；
（2）解：由题可知：作 A1C⊥B1C ，可得直角三角形 A1CB1 ；
然后对直角三角形 A1CB1 绕 A1 旋转 90° ；
可得：直角三角形 A1B2D
∴ 可得点 B2 ；连接 A1 和 B2 ，即可；
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据画位似图形的一般步骤画图；
（2）构造特殊三角形 A1CB1 ，由图形的旋转得到线段的旋转。
18．【答案】（1）解：∵抛物线 y=ax2+kx−k+2 可由抛物线 y=−2x2 平移得到，
∴a=−2 ，
∵抛物线 y=−2x2+kx−k+2 经过点 (−4，−10) ，
∴−10=−2×(−4)2−4k−k+2 ，解得 k=−4 ；
（2）解：由（1）得 y=−2x2−4x+6=−2(x2+2x)+6=−2(x+1)2+8 ，
∴该抛物线的顶点坐标是 (−1，8) ．
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】（1）根据平移前后二次项的系数不变求得a，然后代入点 (−4，−10) 即可求出K的值。
（2）将解析式化为顶点式求解。
19．【答案】（1）解：如图：点O即为所求作．
（2）解：连接 CO 并延长交 ⊙O 于点D，连接 BD ，则 ∠D=∠A=45° ，
∴CD 是 ⊙O 的直径，
∴∠CBD=90° ，
∴∠DCB=45°=∠D ，
∴BC=BD=10 ，
由勾股定理得 CD=102+102=102 ，
∴⊙O 的半径为 52 ．
【知识点】尺规作图的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段AB的垂直平分线EF，作线段BC的垂直平分线MN，直线EF交MN与点O，点O即为所求；
（2）证明三角形BOC是等腰直角三角形，即可解决问题。
20．【答案】解：如图，作 EF⊥AB 于F，作 DG⊥EF 于G，
则 GF=AD=30m，AF=DG，∠CEF=27° ，
∵山坡 DE 的坡度 i=12⋅4=DGEG ，
∴EG=2.4DG ，
∵DE=26m，DE2+EG2=DE2 ，
∴AF=DG=10m，EG=24m ，
∴EF=EG+GF=54m ，
在 Rt△CEF 中， tan∠CEF=CFEF=tan27°≈0.51 ，
∴CF≈0.51×54=27.54m ，
∴AC=AF+CF=10+27.54=37.54m ，
又∵∠ADB=45°，∠A=90° ，
∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴AB=AD=30m ，
∴BC=AC−AB=37.54−30≈7.5m ．
答：广告牌 BC 的高度约为7.5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 作 EF⊥AB 于F，作 DG⊥EF 于G， 则 GF=AD=30m，AF=DG，∠CEF=27° ， 求出 AF=DG=10m，EG=24m ， 则 EF=EG+GF=54m ， 由三角函数定义求出 CF≈0.51×54=27.54m ， 则 AC=AF+CF=10+27.54=37.54m ， 证出 △ABD 是等腰直角三角形， 则 AB=AD=30m ， 求出BC即可。
21．【答案】（1）解：当 AD=CD 时，如图， ∠ACD=∠A=48° ．
∵△BDC∽△BCA ，
∴∠BCD=∠A=48° ，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96° ．
（2）解：结论： CD=2BD ．
∵△BCD∽△BAC ，
∴CDAC=BDBC ，
∴CDBD=ACBC=2
∴CD=2BD ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD=∠A=48°，再根据角的和差关系求出∠ACB即可．（2）利用△BCD∽△BAC，得 BCAC=BDBC ，可得结论．
22．【答案】（1）解：当 y=0 时，即 −12x2+x+4=0 ，
整理得 x2−2x−8=0 ，
解得 x1=−2，x2=4 ，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为 (−2，0) ，点B的坐标为 (4，0) ；
根据抛物线的对称性得，
对称轴方程为直线 x=1 ；
（2）解：当 x=0 时， y=4 ，
∴点C的坐标为 (0，4) ．
设点M的坐标为 (m，−12m2+m+4) ，
∵S△OBM=2S△OCM ，
∴12×4×(−12m2+m+4)=2×12×4×m ，
整理得 m2+2m−8=0 ，
解得 m1=2，m2=−4 （不合题意，舍去），
当 m=2 时， y=−12×22+2+4=4 ，
故点M的坐标为 (2，4) ．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)求出点A、B的坐标分别为(−2，0) 、(4，0) 即可求解；
（2）由S△OBM=2S△OCM ，得出12×4×(−12m2+m+4)=2×12×4×m ，即可求解。
23．【答案】（1）证明：连接 OD ，
∵OD=OB ，
∴∠ODB=∠OBD ，
∴∠OBD=∠CBD ，
∴∠ODB=∠CBD ，
∴OD//BE ，
∵BE⊥DE ，
∴OD⊥DE ，
∴DE 与 ⊙O 相切；
（2）解：在 RtΔBDE 中， DE=6 ， BE=9
由勾股定理得 BD=62+92=313 ，
∴AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90° ，
∵BE⊥DE ，
∴∠ADB=∠BED=90° ，
∵∠OBD=∠CBD ，
∴△ABD∼△DBE ，
∴EBDB=DBAB ，即 9313=313AB ，
解得 AB=13 ；
（3）解：连接 AC ，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90° ，
∴∠CAB+∠CBA=90° ，
∵BF 是 ⊙O 的切线，
∴∠EBF+∠CBA=90° ，
∴∠CAB=∠EBF ，
∵BE⊥DE ，
∴∠BEF=∠ACB=90° ，
∴△ABC∽△BFE ，
∴CBEF=ABBF ，
∴EF⋅AB=CB⋅BF ．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接 OD ，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠OBD=∠CBD ，根据平行线的性质得出OD⊥DE ，即可得出DE 与 ⊙O 相切；
（2）由勾股定理求出BD的值，由AB 是 ⊙O 的直径，BE⊥DE ，证明△ABD∼△DBE ，即EBDB=DBAB ，即 9313=313AB ，从而得出AB 的长；
（3）连接 AC ，由AB 是 ⊙O 的直径，BF 是 ⊙O 的切线及BE⊥DE ，证明△ABC∽△BFE ，即CBEF=ABBF ，即可证明EF⋅AB=CB⋅BF ．
一、单选题
1．已知 AB 是 ⊙O 的弦， ⊙O 的半径为r，下列关系式一定成立的是（ ）
A．AB>rB．AB
A．12B．32C．55D．255
3．已知 a：b：c=2：4：5 ，则 3a−2b−cb 的值为（ ）
A．74B．−74C．47D．−47
4．下列说法正确的是（ ）
A．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．等弦所对的弧相等
5．已知二次函数 y=−(x−2)2+3 ，且 −1≤x≤1 ，下列说法正确的是（ ）
A．此函数的最大值为3B．当 x=−1 时，函数有最大值-6
C．函数y的取值范围是 2≤y≤3D．函数y的取值范围是 −6≤y≤2
6．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，若坡面CD的长度为 62 米，则斜坡AB的长度为（ ）
A．43B．63C．65D．24
7．如图， △ABC 中， ∠CAB=2∠B，AB 的垂直平分线交 AB 于E，交 BC 于D，若 AC=6 ， BC=9 ，则 BD 的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．已知二次函数 y=x2+(a+2)x+a （ a≠0 的常数）的图象顶点为P，下列说法正确的是（ ）
A．点P只能在第三象限B．点P只能在第四象限
C．点P在x轴上方D．点P在直线 y=−1 的下方
9．如图， AB 是 ⊙O 的弦，过点O作 OC⊥AB 于E交 ⊙O 于C，过点A作 ⊙O 的切线 AD 交 BC 的延长线于D，连接 AC ， OA ．下列结论中，错误的是（ ）
A．AC 平分 ∠BAD
B．∠ACD=∠O
C．DA2=DC⋅DB
D．若 ∠OAC=65° ，则 ∠D=125°
10．如图， △OAC 按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上， OA 边在x轴上， OA=8 ， AC=4 ，把 △OAC 绕点A按顺时针方向转到 △OAC′ ，使得点 O′ 的坐标是 (4，43) ，则在这次旋转过程中线段 OC 扫过部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．6πB．8πC．10πD．12π
二、填空题
11．写出一个既是轴对称图形又是中心对称图形的几何图形，这个图形可以是 ．
12．如图， BC 是 ⊙O 的直径，点A是 ⊙O 外一点，连接 AC 交 ⊙O 于点E，连接 AB 并延长交 ⊙O 于点D，若 ∠A=35° ，则 ∠DOE 的度数是 ．
13．若点 P(a，b) 在抛物线 y=−2x2+2x+1 上，则a-b的最小值为 ．
14．如图，在 ⊙O 的内接四边形 ABCD 中， AB=AD，∠C=120° ，点E在弧 AD 上，连接 OD 、 OE 、 AE 、 DE ．
（1）∠AED 的度数为 ．
（2）当 ∠DOE=90° 时， AE 恰好为 ⊙O 的内接正n边形的一边，则n的值为 ．
三、解答题
15．如图，点A在反比例函数 y=10x 的图象上，过点A作y轴的平行线交反比例函数 y=kx(k<0) 的图象于点B，点C在y轴上，若 △ABC 的面积为8，求k的值．
16．如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F ，若 ΔAEF 的面积为1，求平行四边形 ABCD 的面积．
17．如图，由若干个边长为1的小正方形组成的网格中，已知格点线段 AB （端点是网格线的交点）和格点 O ．
（1）以点 O 为位似中心，画出线段 AB 的位似图形线段 A1B1 ，使线段 A1B1 与线段 AB 的相似比为2；
（2）以点 A1 为旋转中心，画出线段 A1B1 绕点 A1 顺时针旋转90°得到的线段 A1B2 ．
18．已知抛物线 y=ax2+kx−k+2 可由抛物线 y=−2x2 平移得到，且经过点 (−4，−10) ．
（1）确定 a，k 的值；
（2）试确定该抛物线的顶点坐标．
19．如图， △ABC 是 ⊙O 的内接三角形．
（1）用尺规作图确定圆心O的位置；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 ∠A=45°，BC=10 ，试确定 ⊙O 的半径．
20．如图，在某居民楼 AB 楼顶悬挂“大国点名，没你不行”的横幅 BC ，在距楼底A点左侧水平距离 30m 的D点处有一个斜坡，斜坡 DE 的坡度 i=1：2.4，DE=26m ，在坡底D点处测得居民楼楼顶B点的仰角为 45° ，在坡顶E点处测得居民楼楼顶横幅上端C点的仰角为27°（居民楼 AB ，横幅 BC 与斜坡 DE 的剖面在同一平面内），则横幅 BC 的高度约为多少?（结果精确到0.1 ，参考数据： sin27°=0.45，cs27°=0.89，tan27°=0.51 ）
21．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在 △ABC 中， ∠A=48° ， CD 是 △ABC 的完美分割线，且 AD=CD ，求 ∠ACB 的度数．
（2）如图2，在 △ABC 中， AC=2 ， BC=2 ， CD 是 △ABC 的完美分割线，且 △ACD 是以 CD 为底边的等腰三角形，找出 CD 与 BD 的关系．
22．如图，抛物线 y=−12x2+x+4 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴方程；
（2）若点M是该抛物线在第一象限部分上的一动点，且 S△OBM=2S△OCM ，求点M的坐标．
23．如图1， AB 是 ⊙O 的直径，点C，D都在半圆 ACB 上，且 ∠ABD=∠CBD ，过D作 BC 的垂线，垂足为E．
（1）求证： DE 与 ⊙O 相切；
（2）若 DE=6 ， BE=9 ．求 AB 的长．
（3）如图2，过点B作 ⊙O 的切线 BF 交 DE 的延长线于点F，求证： EF⋅AB=CB⋅BF ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：若 AB 是 ⊙O 的直径时， AB=2r ，
若AB不是 ⊙O 的直径时 AB<2r ，无法判定AB与 r 的大小关系．
观察选项，只有选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据直径是最长的弦进行解答即可。
2．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，
∵P(2，4)，
∴OE=2，PE=4，
∴OP=22+42=20=25，
∴sinα=PEOP=425=255.
故答案为：D
【分析】如图，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，由P的坐标得出OE=2，PE=4，再利用勾股定理求解OP的值，即可得出sinα 的值 。
3．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由a：b：c=2：4：5，
设a=2x，b=4x，c=5x．
∴3a−2b−cb = 3×2x−2×4x−5x4x=6x−8x−5x4x=−7x4x = −74 ，
故答案为：B．
【分析】利用设k法，将a、b、c用同一个字母表示，再代入计算即可。
4．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，符合题意；
B、平分弦的直径不一定垂直于弦，也不一定平分弦所对的弧，不符合题意；
C、垂直于半径，且过半径外端点的直线是圆的切线，不符合题意；
D、等弦所对的弧不一定相等，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理、切线的判断、圆心角、弧、弦的关系分别进行判断即可。
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 y=−(x−2)2+3 的对称轴为：x=2，又二次函数的二次项系数小于0，
∴二次函数 y=−(x−2)2+3 ，在x<2时，y随x的增大而增大；在x≥2时，y随x的增大而减小；
又∵−1≤x≤1 ，∴当 −1≤x≤1 时，二次函数 y=−(x−2)2+3 ，y随x的增大而增大；
当x=-1时，函数取最小值：y=-6；当x=1时，函数取最大值：y=2；
∴二次函数 y=−(x−2)2+3 的取值范围：-6≤y≤2；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，∴BE=CF．
∵背水坡CD的坡比i=1：1，CD= 62 米，
∴CF=DF= 22 CD=6（米），∴BE=CF=6米，
又∵斜坡AB的坡比i=1：2= BEAE ，∴AE=2BE=12（米），
∴AB= AE2+BE2=122+62=65 （米），
故答案为：C．
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，利用坡面CD的长度为 62 米，求出CF的长，再利用斜坡AB的坡比i=1：2，求出AE的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=2∠B，
又∵∠CAB=2∠B，
∴∠ADC=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴CDAC=ACBC ，
∴CD=AC2BC=4 ，
∴BD=BC-CD=9-4=5，
故答案为：C．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB，根据等腰三角形的性质得出∠DAB=∠B，证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质得出CD，结合图形计算即可。
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】设二次函数y=x2+ (a+2) x+a (a为常数)的图象顶点P (m，n)，
m=−a+22 ，n= 4a−(a+2)24=−a2+44
∵a2>0，
∴a2+4>4，
∴n=- a2+44 ＜-1，
即点P在直线y=-1的下方，
故答案为： D．
【分析】根据二次函数的顶点坐标计算可判断出答案。
9．【答案】D
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC ，
∴∠OAC=∠OCA ，
∵AD 是 ⊙O 的切线，
∴OA⊥AD ，
∴∠OAC+∠DAC=90° ，
∵OC⊥AB ，
∴∠OCA+∠BAC=90° ，
∴∠BAC=∠DAC ，即 AC 平分 ∠BAD ，选项A不符合题意；
由垂径定理得 AC=BC ，
∴AC=BC ，
∴∠CAB=∠CBA ，
∴∠ACD=∠CAB+∠CBA=2∠CBA ，
∵∠O=2∠CBA ，
∴∠ACD=∠O ，选项B不符合题意；
∵∠BAC=∠DAC，∠CAB=∠CBA ，
∴∠DAC=∠DBA ，
∵∠D=∠D ，
∴△DAC∽△DBA ，
∴DADB=DCDA ，
∴DA2=DC⋅DB ，选项C不符合题意；
∵∠OAC=65° ， ∠OCA=65°，∠CAD=90°−65°=25° ，
∴∠CAB=∠CBA=25° ， ∠ACD=50° ，
∴∠D=180°−25°−50°=105° ．选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用弦切角定理得到∠B=∠DAC，由垂径定理得到∠B=∠BAC从而可以判断A；利用三角形外角性质得到∠ACD和∠B的关系，利用圆周角定理得到∠O和∠B的关系，然后判断选项B；由∠B=∠DAC，∠D=∠D判定出△DAC∽△DBA，然后判断选项C；结合前面过程中所得结论求出∠D判断选项D。
10．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】过 O′ 作 O′M⊥OA 于M，则 ∠O′MA=90° ，
∵点 O′ 的坐标是 (4，43) ，
∴O′M=43 ， OM=4 ，
∵AO=8 ，
∴AM=8−4=4 ，
由旋转的性质得 AO′=8 ，
∴AM=12AO′ ，
∴∠AO′M=30° ，
∴∠O′AM=60° ，即旋转角为 60° ，
∴∠CAC′=∠OAO′=60° ．
∵把 △OAC 绕点A按顺时针方向旋转到 △O′AC′ ，
∴S△OAC=S△O′AC′ ，
∴阴影部分的面积：
S=S扇形OAO′+S△O′AC′−S△OAC−S扇形CAC′=S扇形OAO′−S扇形CAC′=60π⋅82360−60π⋅42360=8π ．
故答案为：B．
【分析】过 O′ 作 O′M⊥OA 于M，则 ∠O′MA=90° ，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图象得出阴影部分的面积S=S扇形OAO'+S△O'AC'−S△OAC−S扇形CAC'=S扇形OAO'−S扇形CAC'，分别求出即可。
11．【答案】圆
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的几何图形为圆．
故答案为：圆．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
12．【答案】110°
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED=∠ABC，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∵∠AED+∠DEO+∠OEC=∠A+∠AED+∠ADE= 180° ，
∴∠DEO= ∠A=35° ，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠DEO= 35° ，
∴∠DOE= 180°−2×35°= 110° ，
故答案为：110°．
【分析】连接DE，构造直角三角形和圆内接四边形，推出△ADE∽△ACB，得出∠AED=∠ABC，由OD=OE，得出∠ODE的度数，由此得出 ∠DOE 的度数 。
13．【答案】−98
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵点 P(a，b) 在抛物线 y=−2x2+2x+1 上，
∴−2a2+2a+1=b ，
∴a−b=2a2−a−1 = 2(a−14)2−98 ，
∵2>0，
∴当a= 14 时，a-b有最小值，最小值为 −98 ，
故答案为： −98 .
【分析】把点P的坐标代入 y=−2x2+2x+1 上，求得−2a2+2a+1=b，进而得出a−b=2a2−a−1，化成顶点式a−b=2a2−a−1 = 2(a−14)2−98 ，根据二次函数的性质可得出。
14．【答案】（1）120°
（2）12
【知识点】圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】（1）连接 BD ，
∵四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180° ，
∵∠C=120° ，
∴∠BAD=60° ，
∵AB=AD ，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠ABD=60° ，
∵四边形 ABDE 是 ⊙O 的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180° ，
∴∠AED=120° ；
（2）连接 OA ，
∵∠ABD=60° ，
∴∠AOD=2∠ABD=120° ，
∵∠DOE=90° ，
∴∠AOE=∠AOD−∠DOE=30° ，
∴n=360°30°=12 ．
【分析】（1）连接 BD ，证明 △ABD 是等边三角形，推出∠ABD=60°，可得结论；
（2）求出∠AOE的度数，可得结论。
15．【答案】解：连接 OA ， OB ．
∵AB//y 轴，
∴S△OAB=S△ABC=8 ，
∴12×|10|+12|k|=8 ，
解得 k=±6 ，
∵k<0 ，
∴k=−6 ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】根据平行线的性质得出 S△OAB=S△ABC=8 ， 列出关于K的方程，并根据图象所在的象限求得K即可。
16．【答案】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD ，
∴ΔAEF∼ΔCDF ，
∵点 E 是 AB 的中点，
∴AFFC=AECD=AEAB=12 ，
∴SΔAEFSΔCDF=(12)2=14 ，
∵ΔAEF 的面积为1，
∴SΔCDF=4SΔAEF=4，SΔADF=12SΔCDF=2 ，
∴SΔACD=SΔADF+SΔCDF=6 ，
∴平行四边形 ABCD 的面积= 2SΔACD=12 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由 AB//CD ，得出 ΔAEF∼ΔCDF ，由点 E 是 AB 的中点，得出相似比；
根据ΔAEF 的面积为1，得 SΔCDF=4，SΔADF=2 ，因此 SΔACD=6 ，可得平行四边形 ABCD 的面积为12。
17．【答案】（1）解：如图可知：∵ 小正方形为边长为1；
∴OA=13 ， OB=17 ；又线段 A1B1 与 AB 的相似比2；
∴OA1=213=2OA ， OB1=217=2OB ；且 A1 在 OA 所在直线的延长线上， B1 在 OB 所在直线的延长线上；
∴∠AOB=∠A1OB1
∴ΔAOB∼ΔA1OB1
∴ 可得点 A1 和点 B1 ；连接 A1 和 B1 ，即可；
（2）解：由题可知：作 A1C⊥B1C ，可得直角三角形 A1CB1 ；
然后对直角三角形 A1CB1 绕 A1 旋转 90° ；
可得：直角三角形 A1B2D
∴ 可得点 B2 ；连接 A1 和 B2 ，即可；
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据画位似图形的一般步骤画图；
（2）构造特殊三角形 A1CB1 ，由图形的旋转得到线段的旋转。
18．【答案】（1）解：∵抛物线 y=ax2+kx−k+2 可由抛物线 y=−2x2 平移得到，
∴a=−2 ，
∵抛物线 y=−2x2+kx−k+2 经过点 (−4，−10) ，
∴−10=−2×(−4)2−4k−k+2 ，解得 k=−4 ；
（2）解：由（1）得 y=−2x2−4x+6=−2(x2+2x)+6=−2(x+1)2+8 ，
∴该抛物线的顶点坐标是 (−1，8) ．
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】（1）根据平移前后二次项的系数不变求得a，然后代入点 (−4，−10) 即可求出K的值。
（2）将解析式化为顶点式求解。
19．【答案】（1）解：如图：点O即为所求作．
（2）解：连接 CO 并延长交 ⊙O 于点D，连接 BD ，则 ∠D=∠A=45° ，
∴CD 是 ⊙O 的直径，
∴∠CBD=90° ，
∴∠DCB=45°=∠D ，
∴BC=BD=10 ，
由勾股定理得 CD=102+102=102 ，
∴⊙O 的半径为 52 ．
【知识点】尺规作图的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段AB的垂直平分线EF，作线段BC的垂直平分线MN，直线EF交MN与点O，点O即为所求；
（2）证明三角形BOC是等腰直角三角形，即可解决问题。
20．【答案】解：如图，作 EF⊥AB 于F，作 DG⊥EF 于G，
则 GF=AD=30m，AF=DG，∠CEF=27° ，
∵山坡 DE 的坡度 i=12⋅4=DGEG ，
∴EG=2.4DG ，
∵DE=26m，DE2+EG2=DE2 ，
∴AF=DG=10m，EG=24m ，
∴EF=EG+GF=54m ，
在 Rt△CEF 中， tan∠CEF=CFEF=tan27°≈0.51 ，
∴CF≈0.51×54=27.54m ，
∴AC=AF+CF=10+27.54=37.54m ，
又∵∠ADB=45°，∠A=90° ，
∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴AB=AD=30m ，
∴BC=AC−AB=37.54−30≈7.5m ．
答：广告牌 BC 的高度约为7.5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 作 EF⊥AB 于F，作 DG⊥EF 于G， 则 GF=AD=30m，AF=DG，∠CEF=27° ， 求出 AF=DG=10m，EG=24m ， 则 EF=EG+GF=54m ， 由三角函数定义求出 CF≈0.51×54=27.54m ， 则 AC=AF+CF=10+27.54=37.54m ， 证出 △ABD 是等腰直角三角形， 则 AB=AD=30m ， 求出BC即可。
21．【答案】（1）解：当 AD=CD 时，如图， ∠ACD=∠A=48° ．
∵△BDC∽△BCA ，
∴∠BCD=∠A=48° ，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96° ．
（2）解：结论： CD=2BD ．
∵△BCD∽△BAC ，
∴CDAC=BDBC ，
∴CDBD=ACBC=2
∴CD=2BD ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD=∠A=48°，再根据角的和差关系求出∠ACB即可．（2）利用△BCD∽△BAC，得 BCAC=BDBC ，可得结论．
22．【答案】（1）解：当 y=0 时，即 −12x2+x+4=0 ，
整理得 x2−2x−8=0 ，
解得 x1=−2，x2=4 ，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为 (−2，0) ，点B的坐标为 (4，0) ；
根据抛物线的对称性得，
对称轴方程为直线 x=1 ；
（2）解：当 x=0 时， y=4 ，
∴点C的坐标为 (0，4) ．
设点M的坐标为 (m，−12m2+m+4) ，
∵S△OBM=2S△OCM ，
∴12×4×(−12m2+m+4)=2×12×4×m ，
整理得 m2+2m−8=0 ，
解得 m1=2，m2=−4 （不合题意，舍去），
当 m=2 时， y=−12×22+2+4=4 ，
故点M的坐标为 (2，4) ．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)求出点A、B的坐标分别为(−2，0) 、(4，0) 即可求解；
（2）由S△OBM=2S△OCM ，得出12×4×(−12m2+m+4)=2×12×4×m ，即可求解。
23．【答案】（1）证明：连接 OD ，
∵OD=OB ，
∴∠ODB=∠OBD ，
∴∠OBD=∠CBD ，
∴∠ODB=∠CBD ，
∴OD//BE ，
∵BE⊥DE ，
∴OD⊥DE ，
∴DE 与 ⊙O 相切；
（2）解：在 RtΔBDE 中， DE=6 ， BE=9
由勾股定理得 BD=62+92=313 ，
∴AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90° ，
∵BE⊥DE ，
∴∠ADB=∠BED=90° ，
∵∠OBD=∠CBD ，
∴△ABD∼△DBE ，
∴EBDB=DBAB ，即 9313=313AB ，
解得 AB=13 ；
（3）解：连接 AC ，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90° ，
∴∠CAB+∠CBA=90° ，
∵BF 是 ⊙O 的切线，
∴∠EBF+∠CBA=90° ，
∴∠CAB=∠EBF ，
∵BE⊥DE ，
∴∠BEF=∠ACB=90° ，
∴△ABC∽△BFE ，
∴CBEF=ABBF ，
∴EF⋅AB=CB⋅BF ．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接 OD ，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠OBD=∠CBD ，根据平行线的性质得出OD⊥DE ，即可得出DE 与 ⊙O 相切；
（2）由勾股定理求出BD的值，由AB 是 ⊙O 的直径，BE⊥DE ，证明△ABD∼△DBE ，即EBDB=DBAB ，即 9313=313AB ，从而得出AB 的长；
（3）连接 AC ，由AB 是 ⊙O 的直径，BF 是 ⊙O 的切线及BE⊥DE ，证明△ABC∽△BFE ，即CBEF=ABBF ，即可证明EF⋅AB=CB⋅BF ．
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