安徽省滁州市天长市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

这是一份安徽省滁州市天长市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，直线 l1//l2//l3 ，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截， AB=5 ， AC=11 ， EF=4 ，则 DE 的长为（ ）
A．2B．3C．4D．103
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（ ）
A．45B．35C．34D．43
4．把函数 y=(x−1)2+2 的图象向右平移1个单位长度，平移后的图象的函数解析式为（ ）
A．y=(x−2)2+2B．y=x2+2C．y=(x−1)2D．y=(x−1)2+3
5．如图， AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点E， BE=1 ， CD=6 ，则 AE 的长度为（ ）
A．10B．9C．5D．4
6．若双曲线 y=kx （ kBP ），如果 AB 的长度为 10cm ，那么较短线段 BP 的长度为（ ）
A．(5+5)cmB．(10−5)cmC．(55−5)cmD．(15−55)cm
8．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20mB．10mC．20mD．﹣10m
9．如图，已知 △ABC ， △DCE ， △FEG ， △HGI 是四个全等的等腰三角形，底边 BC ， CE ， EG ， GI 在同一直线上，且 AB=4 ， BC=2 ，连接 AI 交 FG 于点Q，则 QI 的值为（ ）
A．4B．103C．3D．83
10．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对角线BD，EG都在直线l上，将正方形ABCD沿着直线l从点D与点E重合开始向右平移，直到点B与点G重合为止，设点D平移的距离为x， AB=2 ， EH=22 ，两个正方形重合部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．已知反比例函数 y=kx 的图象经过 (−2，4) ，则k的值为 ．
12．若 a3=b4=c5 ，根据比例的性质，则 a+b+cc= ．
13．如图，在 ⊙O 中， AB ， AC 是弦，O在 ∠BAC 的内部， ∠ABO=25° ， ∠ACO=35° ，则 ∠BOC= ．
14．如图，在矩形 ABCD 中， AB=2 ， BC=4 ，点M，N分别在边 AD 和 BC 上.沿 MN 折叠四边形 ABCD ，使点A，B分别落在 A1 ， B1 处，得四边形 A1B1MN ，其中点 B1 在 DC 上，过点M作 ME⊥BC 于点E.连接 BB1 ．（1） MNBB1 的值为 ；（2）当 B1 为 DC 中点时， AM 的大小为 ．
三、解答题
15．计算： 8−4cs45°+(−1)2000+|2−1| ．
16．如图，在 △ABC 中点D，E，F分别在 AB ， BC ， AC 边上， DE//AC ， EF//AB .
（1）求证： △BDE∼△EFC ；
（2）若 AFFC=12 ， △EFC 的面积是20，求 △ABC 的面积.
17．如图所示的平面直角坐标系中， △ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−3，2)，B(−1，3)，C(−1，1) ，请按如下要求画图：
⑴以坐标原点O为旋转中心，将 △ABC 顺时针旋转90°，得到 △A1B1C1 ，请画出 △A1B1C1 ；
⑵以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出 △ABC 的位似图形 △A2B2C2 ，使它与 △ABC 的位似比为 2： 1 ．
18．如图，在 △ABC 中 ∠C=90° ， ∠B=30° ， AD 是 ∠BAC 的平分线，与 BC 相交于点D，且 AB=43 ，求 AD 的长．
19．如图，反比例函数 y=kx 的图象与一次函数 y=ax+b 的图象交于点A，B，点B的纵坐标是 −1 ，过点A作 AC⊥x 轴于点C，且 OC=1 ， △AOC 的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数表达式；
（2）若点D是反比例函数图象上一点，且到点A，C的距离相等，求点D的坐标．
20．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图， MN 为立柱的一部分，灯臂 AC ，支架 BC 与立柱 MN 分别交于A，B两点，灯臂 AC 与支架 BC 交于点C，已知 ∠MAC=60° ， ∠ACB=15° ， AC=40cm ，求支架 BC 的长.（结果精确到 1cm ，参考数据： 2≈1.414 ， 3≈1.732 ， 6≈2.449 ）
21．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E，延长线ED交AB得延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF= 42 ，求tan∠EAD的值．
22．如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与x轴交于点 A(−1，0) ， B(3，0) 两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上在第一象限内的一动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 BC ， PB ， PC ，设 △PBC 的面积为S，求S与t的函数表达式，并求S最大时点P的坐标．
23．如图，正方形 ABCD 的边长为2，点P为 BC 边上一点，以 AP 为斜边在正方形 ABCD 内部作等腰直角三角形 APQ ，连接 AC 交 PQ 于点E，连接 DQ ．
（1）求证： △ACP∽△ADQ ；
（2）当点P为 BC 的中点时，
①求 PEPC 的值；
②求证： EQ=52DQ ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线 l1//l2//l3 ，
∴ABBC＝DEEF ，
∵AB=5 ， AC=11 ，
∴BC=AC−AB=11−5=6
又∵EF=4
∴56＝DE4 即： DE＝103
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得；ABBC＝DEEF，再将数据代入计算即可。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴AB=2CD=2×5=10，
∴Rt△ABC中，由勾股定理，
BC= 102−82=6 ，
∴tanA=68=34 ，
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，求出AB，再利用勾股定理求出BC，最后利用正切的定义求解即可。
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数解析式是 y=(x−1)2+2 ，根据函数解析式左加右减上加下减特点，向右平移1个单位长度解析式 y=(x−1−1)2+2 即 y=(x−2)2+2 ．
故答案为 y=(x−2)2+2 ．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设OC=OB=x，OE=OB-BE= x-1
∵在 ⊙O 中，AB⊥CD，AB是直径， CD=6
∴EC=DE=12CD=12×6=3 ，
∵在Rt △ OEC中，OC2=CE2+OE2，即x2=32+（x-1）2，
解得：x=5，
∴OE = x-1=4，
∴AE=OA+OE=5+4=9，
故答案为：B．
【分析】设OC=OB=x，OE=OB-BE= x-1，根据垂径定理可得EC=DE=12CD=12×6=3，再利用勾股定理列出方程求解即可。
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：y= kx （ ky2
故答案为：B.
【分析】根据k10
∴x1=15+55 （舍去），
x2=−b−Δ2a=30−5002=30−1052=15−55
∴x=15−55
即 BP=15−55
故答案为：D．
【分析】设较短线段 BP 的长度为 xcm ，则 AP=10−x ，根据黄金分割的性质可得APAB=BPAP，再将数据代入计算即可。
8．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y=﹣4代入y=﹣125​x2，
得x=±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB=20m．
即水面宽度AB为20m．
故选C．
【分析】根据题意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AP⊥BC垂足为P，
∵AB=AC，BC=2，
∴BP= 12 BC＝1，BC=CE=EG=GI=2，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得，AP2=AB2-BP2= 42-12=15 ，
在Rt△API中，PI= 72BC=7 ，根据勾股定理得 AI=AP2+PI2=15+72=8 ，
∵△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，
∴∠ACB=∠QGC，
∴QG∥AC，
∴△IGQ∽△ICA，
∴QIAI＝IGIC ，
∴QI8＝26 ，
∴QI= 83 ，
故答案为：D．
【分析】过点A作AP⊥BC垂足为P，根据题意得出BC=CE=EG=GI=2，BP= 12 BC＝1，从而利用勾股定理求得AP2=AB2-BP2= 42-12=15 ，再根据同位角相等推出QG∥AC，从而得出△IGQ∽△ICA，进而利用相似三角形的性质进行求解即可。
10．【答案】A
【知识点】函数的图象；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图（1），当0≤x≤2时，S= 12× DE2= 12 x2.
如图（2），当2＜x＜4时，正方形ABCD在正方形EFGH内部，
则 S= 12× DB2= 12×22=2 .
如图（3），当4≤x≤6时，BG＝2﹣（x﹣4）＝6﹣x，
∴S= 12× BG2= 12(6−x)2．综上所述，选项A符合题意．
故答案为：A．
【分析】由题意可知，重合部分的形状是点或正方形，分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6讨论即可。
11．【答案】-8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将点 (−2，4) 代入 y=kx ，
得： 4=k−2
解得： k=−8
故答案为：-8．
【分析】将点（-2，4）代入函数解析式计算即可。
12．【答案】125
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设 a3=b4=c5 ＝k（k≠0），则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴a+b+cc= 3k+4k+5k5k= 125 ．
故答案是： 125 ．
【分析】设 a3=b4=c5 ＝k，可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，再将a、b、c代入计算即可。
13．【答案】120°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 AO ，
∵AO=BO，AO=CO
∴∠BAO=∠ABO=25°，∠CAO=∠ACO=35°
∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=25°+35°=60°
∵∠BOC=2∠BAC
∴∠BOC=2×60°=120°
故答案为：120°．
【分析】连接AO，根据等边对等角的性质可得∠BAO=∠ABO=25°，∠CAO=∠ACO=35°，即可得到∠BAC=∠BAO+∠CAO=25°+35°=60°，再利用同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。
14．【答案】12；138
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示：(1)矩形 ABCD 中，∠C=90°，
∵ME⊥BC
∴∠MNE+∠NME=90°，
由折叠的性质可得： MN⊥BB1
∴∠MNE+∠B1 BN=90°
∴∠NME=∠B1BC
又∠NEM=∠B1CB=90°
∴△MEN∽△BCB1，
∴MNBB1=MEBC
∵ME=AB=2，BC=4，
∴MNBB1=24=12 ，
(2)∵△MEN∽△BCB1
∴NEB1C=MEBC=12
∴NE=12B1C
当 B1 为 DC 中点时，
B1C= 12 DC，
则NE= 14 DC= 14×2 = 12 ，
设BN=x，则NC=4-x，B1N=x，
在Rt△B1NC中，由勾股定理可得
x2=(4-x)2+12
解得：x= 178 ，
∴AM=BE=BN-NE= 178−12=138 ，
故答案为（1） 12 ，（2） 138
【分析】（1）根据相似三角行判定方法可得出△MEN∽△BCB1，再根据相似三角形的性质和等量关系可得MNBB1 的值；
（2）由（1）知△MEN∽△BCB1，根据相似三角形的性质和勾股定理可得BN，再根据AM=BN-NE，可得AM的长。
15．【答案】解：原式 =22−4×22+1+2−1
=22−22+1+2−1
=2
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质及绝对值的性质化简，再计算即可。
16．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：∵AFFC=12 ，
∴FCAC ＝ 23 ，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴SΔEFCSΔABC ＝（ FCAC ）2＝（ 23 ）2＝ 49 ，
∴S△ABC＝ 94 S△EFC＝ 94 ×20＝45.
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，进而可得结论；
（2）由已知条件可得 FCAC ＝ 23 ，易证△EFC∽△BAC，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可.
17．【答案】解：（1） △A1B1C1 位置符合题意；用直尺画图
（2） △A2B2C2 位置符合题意；用直尺画图．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先找出点A、B、C绕点O旋转后的对应点A1、B1、C1，再连接即可；
（2）根据位似图形的定义作出位似图形即可。
18．【答案】解：∵∠C=90°，∠B=30° ， AB=43 ，
∴AC=23 ，
∵AD 平分 ∠BAC ， ∠BAC=60° ，
∴∠CAD=30° ，
∴cs30°=ACAD ，
AD=ACcs30°=2332=4 ，
∴AD 的长为4．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC，再根据角平分线的定义求出∠CAD，再利用解直角三角形求出AD即可。
19．【答案】（1）解：∵OC=1 ， S△AOC=1
∴12OC⋅AC=1 ， AC=2
∴A(1，2)
把 A(1，2) 代入 y=kx
得： 2=k1 则 k=2
∴y=2x
∵B点的纵坐标是 −1
∴−1=2x 解得： x=−2
∴B(−2，−1)
把 A(1，2) ， B(−2，−1) 代入 y=ax+b
2=a+b−1=−2a+b 解得： a=1b=1
所以得： y=x+1
（2）解：∵点D到A，C的距离相等
∴点D的纵坐标为1
把 y=1 代入 y=2x 得 x=2 .
∴D点坐标为 (2，1)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由OC=1 ， S△AOC=1，得出点A的横坐标为1，可求得a的纵坐标，确定反比例函数进行是利用反比例函数解析式求出点B的坐标，利用两点法求一次函数解析式；
（2）根据中点坐标公式可求出点D的纵坐标，在根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解。
20．【答案】解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，
∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，
∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∵AC=40cm，
∴在Rt△ACD中，AD= 12 AC=20cm，
∴CD= 402−202=203 cm，
∴在Rt△BCD中，BC= 2CD=206≈49 cm，
∴支架BC的长为49cm.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 过点C作CD⊥MN，垂足为D，根据三角形外角的性质求出∠ABC的大小，则∠ACD的大小可知，然后利用等腰直角三角形的性质、勾股定理，结合30°角所对的直角边等于一半等即可求出BC的长.
21．【答案】（1）解：直线 EF 与圆O相切
理由如下：连接 OD
∵AD 平分 ∠BAC
∴∠EAD=∠OAD
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=∠EAD
∴OD//AE
由 AE⊥EF ，得 OD⊥EF
∵点D在圆O上
∴EF 是圆O的切线
（2）解：由（1）可得，在 RtΔODF 中， OD=2 ， DF=42 ，
由勾股定理得 OF=OD2+DF2=6
∵OD//AE
∴ODAE=OFAF=DFEF
即 2AE=68=42ED+42 ，得 AE=83 ， ED=423
∴在 RtΔAED 中， tan∠EAD=DEAE=22
【知识点】切线的判定；平行线分线段成比例；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；（2）根据勾股定理得到 OF=OD2+DF2=6 ，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论．
22．【答案】（1）解：将点 A(−1，0) ， B(3，0) 代入 y=−x2+bx+c 得
0=−1−b+c0=−9+3b+c 解得 b=2c=3
∴抛物线解析式为 y=−x2+2x+3
（2）解：连接 OP ，
∵点P横坐标为t
∴点P纵坐标为 −t2+2t+3
y=−x2+2x+3
当 x=0 时， y=3 ， C(0，3) ， OC=3
B点坐标为 (3，0)∴OB=3
S=S△OBP+S△OCP−S△OBC=12×3⋅(−t2+2t+3) +12×3⋅t−12×3×3 =−32t2+92t
S=−32t2+92t=−32(t−32)2+278
∴当 t=32 时，S有最大值，把 t=32 代入 y=−t2+2t+3=154
∴点P的坐标为 (32，154) ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；
（2）连接 OP ，设点P纵坐标为（t， −t2+2t+3），由S=S△OBP+S△OCP−S△OBC，即可表示出s关于t的函数关系式，根据二次函数的性质求出s的最大值即可求出点p的坐标。
23．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形.
∴∠DAC=45° ， ACAD=2
∵△APQ 为等腰直角三角形
∴∠PAQ=45° ， APAQ=2
∴∠PAC=45°−∠CAQ ， ∠QAD=45°−∠CAQ
∴∠PAC=∠QAD ， APAQ=ACAD
∴△ACP∽△ADQ
（2）解：①解：∵∠APQ=45° ， ∠ACP=45°
∴APQ=∠ACP ， ∠PAC=∠PAC
∴△APE∽△ACP
∴PEPC=APAC
∵AB=2 ， BP=1
∴利用勾股定理得： AP=AB2+BP2=22+12=5 ， AC=AB2+BC2=22+22=22
∴PEPC=522=104 ．
②证明：∵PEPC=104 ， PC=1
∴PE=104
∵△APQ 是等腰直角三角形
∴PQ=cs45°AP=22AP=22×5=102 ，
∴EQ=PQ−PE=102−104=104
∴△ACP∽△ADQ
∴PCDQ=ACAD=2 ， DQ=12=22
∴EQDQ=10422=52
∴EQ=52DQ ．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由四边形 ABCD 为正方形，△APQ 为等腰直角三角形，得出∠PAQ=45° ， APAQ=2，∠PAC=45°−∠CAQ ， ∠QAD=45°−∠CAQ，∠PAC=∠QAD ， APAQ=ACAD，从而得出△ACP∽△ADQ；
（2）①先证出△APE∽△ACP，得出PEPC=APAC，由AB=2 ， BP=1，利用勾股定理得出AP、AC的值，即可得出PEPC 的值；②由PEPC=104 ， PC=1，得出PE的值，由△APQ 是等腰直角三角形，推出△ACP∽△ADQ，得出PCDQ=ACAD=2 ， DQ=12=22，即可得出EQ=52DQ ．