+云南省昆明市嵩明县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份+云南省昆明市嵩明县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2023年7月30日昆明市召开第七届运动会，其中会徽“团结奋进之花”如图所示，它的整体造型如一朵盛开的鲜花，又好似充满异域风情的神秘图，融入了石榴花、汗水、黑颈鹤、奔跑冲刺、民族舞蹈等元素，下列元素中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.近期，昆明儿童门诊就诊比例中，流感、腺病毒、呼吸道合胞病毒已排到肺炎支原体之前.其中甲型H1N1流感病毒的直径约为0.0000000081米，0.0000000081用科学记数法表示为( )
A. 8.1×10−9B. 0.81×10−9C. 8.1×10−8D. 81×10−10
3.长为10，7，5，4的四根木条，选择其中三根组成三角形，不能构成三角形的是( )
A. 10，7，5B. 10，7，4C. 10，5，4D. 7，5，4
4.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 32B. 40C. 5D. 1.5
5.下列计算中正确的是( )
A. a2⋅a6=a12B. (a3)4=a7C. (−2a)3=−2a3D. a7÷a5=a2
6.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
7.如图，在△ABC中，∠C=90∘，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D.若CD=5，AB=12，则△ABD的面积是( )
A. 60B. 30C. 22D. 13
8.下列各式中成立的是( )
A. 2a÷ 6a= 33(a>0)B. (a−1)0=0
C. (2 2)2=4D. (−23)2=−23
9.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC.下列条件中不能判断△ABE≌△ACD的是( )
A. ∠ADC=∠AEB
B. BE=CD
C. AD=AE
D. ∠B=∠C
10.若分式|x|−2x+2的值为0，则x的值为( )
A. ±2B. 0C. −2D. 2
11.如图，一艘船从A处出发，匀速向正北方向航行30海里至点B，从A处测得一礁石C在北偏西15∘的方向上，从B处测得礁石C在北偏西30∘的方向上.如果这艘船沿此航线继续航行，则礁石与船的最短距离是海里.( )
A. 10
B. 15
C. 20
D. 30
12.若关于x的方程axx−1=x−21−x+1无解，则a的值为( )
A. 0或1B. 0C. 1D. −1或0
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
13.若 x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
14.因式分解：x3−4x=______.
15.如图，AB=AC=10，BC=6，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△BCD的周长为______ .
16.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内且点A(4,3)，连接OA，在y轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则符合条件的点P有______ 个.
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算： 8+ 32× 116− 12；
(2)化简：(2x+y)(2x−y)+(8x3y−4xy3)÷2xy.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−x，其中x=(14)−1.
19.(本小题6分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
(2)在x轴上存在一点P，使点P到A、B两点的距离之和最小，请直接写出P点的坐标.
20.(本小题6分)
如图，AB⊥BF，DC⊥CE，AF=DE，BE=CF.求证：AB=DC.
21.(本小题6分)
如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠C=60∘，∠BED=65∘，求∠ABC和∠BAC的度数.
22.(本小题7分)
2023年11月26日，云南丽江至香格里拉铁路正式开通运营.丽香铁路起自丽江市玉龙纳西族自治县丽江站，接入迪庆藏族自治州香格里拉市香格里拉站.至此，云南省迪庆藏族自治州结束了不通铁路的历史.开通前，乘坐大巴车从丽江至香格里拉，全长为175km.丽香铁路开通后，铁路全长140km；高铁的平均速度是大巴车平均速度的2倍.大巴车和高铁同时从丽江出发前往香格里拉，大巴车行驶的时间比高铁行驶的时间晚1.5h到达香格里拉.求大巴车和高铁的平均速度是多少？
23.(本小题8分)
图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)图2中阴影部分的正方形面积为______ (用含a，b的式子表示).
(2)观察图2，下列三个代数式(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系是______ .
(3)根据(2)中得到的等量关系，若x，y为任意实数，且x−y=4，xy=3，求x+y的值.
(4)如图3，点C是线段AF上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AF=5，两正方形的面积和S1+S2=19，则图中阴影部分面积______ .
24.(本小题9分)
数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”.几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中∠BFE大小的例子.
(1)【特例探究】
如图①，在等边△ABC中，点D，E分别是线段AC，AB上的点，且AE=CD，BD与EC交于点F.猜想：BD ______ CE(选填“>”、“10，长是4、7、10的木条能构成三角形，故B不符合题意；
C、5+47，长是5、4、7的木条能构成三角形，故D不符合题意．
故选：C.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4.【答案】C
【解析】解：A、 32= 16×2=4 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
B、 40= 4×10=2 10，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C、 5是最简二次根式；
D、 1.5= 32= 62，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：C.
根据最简二次根式的概念判断．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
5.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a6=a8，故A不符合题意；
B、(a3)4=a12，故B不符合题意；
C、(−2a)3=−8a3，故C不符合题意；
D、a7÷a5=a2，故D符合题意；
故选：D.
利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】B
【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
(n−2)⋅180∘=3×360∘，
解得n=8，
∴这个多边形为八边形．
故选：B.
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180∘，外角和等于360∘，根据内角和是外角和的3倍列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键.
7.【答案】B
【解析】解：过点D作DH⊥AB于点H，
由作图可知，射线AG为∠BAC的平分线，
∵∠C=90∘，
∴DH=CD=5，
∴△ABD的面积为12AB⋅DH=12×12×5=30.
故选：B.
过点D作DH⊥AB于点H，由作图可知，射线AG为∠BAC的平分线，则可得DH=CD=5，再利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图-基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：A、 2a÷ 6a= 2a6a= 13= 33(a>0)，故此选项符合题意；
B、(a−1)0=1(a≠1)，故此选项不符合题意；
C、(2 2)2=22×( 2)2=4×2=8，故此选项不符合题意；
D、 (−23)2=23，故此选项不符合题意；
故选：A.
根据二次根式的性质与化简，零指数幂运算法则、二次根式的乘方分别判断即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，零指数幂的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：A、在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠A=∠AAB=AC，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，故本选项不符合题意；
B、根据AB=AC，BE=CD和∠A=∠A不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；
C、在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠A=∠AAE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，故本选项不符合题意；
D、在△ABE和△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形可以用HL.
10.【答案】D
【解析】解：由分式|x|−2x+2的值为0，得
|x|−2=0且x+2≠0.
解得x=2，
故选：D.
根据分子为零，分母不为零分式的值为零，可得答案．
本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
11.【答案】B
【解析】解：过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
∵∠CBD=30∘，∠CAB=15∘，
∴∠BCA=15∘，
∴AB=CB=30海里，
∴CD=12BC=15海里，
故选：B.
过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，根据三角形外角关系可证明三角形ABC为等腰三角形，则AB=BC，再解直角三角形BCD即可求出礁石与船的最短距离．
本题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定、三角形外角的性质、方向角的定义，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．
12.【答案】A
【解析】解：去分母，得：ax=−(x−2)+x−1，
∴ax=1，
(1)当a=0时，原分式方程无解．
(2)x−1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程，可得：a=1.
综上，a的值为0或1.
故选：A.
首先将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中含x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况，求出a的值为多少即可．
此题主要考查了分式方程的求解问题，解答此题的关键是要明确分式方程无解的两种情况．
13.【答案】x≥−2
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．
【解答】
解：∵二次根式 x+2在实数范围内有意义，
∴被开方数x+2为非负数，
∴x+2≥0，
解得：x≥−2.
故答案为：x≥−2.
14.【答案】x(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：x3−4x
=x(x2−4)
=x(x+2)(x−2).
故答案为：x(x+2)(x−2).
15.【答案】16
【解析】解：∵MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=10+6=16.
故答案为：16.
先根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BCD的周长=AC+BC.
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
16.【答案】4
【解析】解：∵点A(4,3)，
∴OA= 42+32=5，
∵点P在y轴上，
∴设点P的坐标为(0,t)，
∴AP= (4−0)2+(3−t)2，
又∵△AOP是等腰三角形，
∴有三种情况：
①当OA=PA时，
则 (4−0)2+(3−t)2=5，
整理得：(3−t)2=9，
∴3−t=±3，
由3−t=3，解得t=0，
此时点P与原点O重合，故不合题意，舍去，
由3−t=−3，解得：t=6，
此时点P的坐标为(0,6)；
②当OA=OP时，
则|t|=5，
解得：t=5，或t=−5，
此时点P的坐标为(0,5)或(0,−5)；
③当OP=AP时，
则|t|= (4−0)2+(3−t)2，，
整理得：6t=25，
解得：t=256，
此时点P的坐标为(0,256).
综上所述：符合条件的点P有4个，其坐标分别是(0,6)或(0,5)或(0,−5)或(0,256).
故答案为：4.
先求出OA=5，设点P的坐标为(0,t)，则AP= (4−0)2+(3−t)2，根据△AOP是等腰三角形分三种情况进行讨论：①OA=PA，②OA=OP，③OP=AP，根据每一种情况求出点P的坐标即可得出符合条件的点P的个数．
此题主要考查了等腰三角形的性质，两点间的距离公式，理解题意，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是解决问题的关键，漏解是解决问题的易错点．
17.【答案】解：(1)原式=2 2+ 32×116− 22
=2 2+ 2− 22
=5 22；
(2)原式=4x2−y2+4x2−2y2
=8x2−3y2.
【解析】(1)先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；
(2)先根据平方差公式和多项式除以单项式法则，然后合并同类项即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．也考查了整式的运算．
18.【答案】解：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−x
=x−1−1x−1⋅x(x−1)(x−2)2
=x−2x−1⋅x(x−1)(x−2)2
=xx−2，
当x=(14)−1=4时，原式=44−2=2.
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示：B1(−4,2)；
(2)如图所示，P(2,0).
【解析】(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
(2)作点A关于x轴的对称点，再连接A′B，与x轴的交点即为所求．
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
20.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
∵AB⊥BF，DC⊥CE，
∴∠B=∠C=90∘，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
AF=DEBF=CE，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，
∴AB=DC.
【解析】先证BF=CE，再证Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90∘，
又∵在△BDE中，∠BED=65∘，
∴∠DBE=180∘−(∠ADB+∠BED)=180∘−(90∘+65∘)=25∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=50∘，
在△ABC中，∠C=60∘，∠ABC=50∘，
∴∠BAC=180∘−(∠ABC+∠C)=180∘−(60∘+50∘)=70∘.
【解析】先根据AD是△ABC的高得∠ADB=90∘，再由三角形的内角和定理可求出∠DBE=25∘，然后根据角平分线的定义可求出∠ABC的度数，最后再由三角形的内角和定理求出∠BAC的度数即可．
此题主要考查了三角形的高，三角形的内角和定理，理解三角形的高，灵活利用三角形的内角和定理进行角度的计算是解决问题的关键．
22.【答案】解：设大巴车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度为2xkm/h，
根据题意得：175x−1402x=1.5，
解得：x=70，
经检验，x=70是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x=2×70=140，
答：大巴车的平均速度为70km/h，高铁的平均速度为140km/h.
【解析】设大巴车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度为2xkm/h，根据大巴车行驶的时间比高铁行驶的时间晚1.5h到达香格里拉．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】(a−b)2 (a+b)2=(a−b)2+4ab32
【解析】解：(1)由题意可知，阴影部分正方形的边长为(a−b)，
∴阴影部分的正方形面积为(a−b)2，
故答案为：(a−b)2.
(2)∵S阴影=(a−b)2=(a+b)2−4ab，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab，
故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab.
(3)根据(2)，得(x+y)2=(x−y)2+4xy，
∵x−y=4，xy=3，
∴(x+y)2=42+4×3=28，
∴x+y=± 28=±2 7.
(4)设正方形AMNC和BCFE的边长分别为m和n，
根据题意，得m+n=5，m2+n2=19，
将m+n=5等号的两边同时平方，得m2+2mn+n2=25，
∴mn=12(25−m2−n2)=3，
∴S△ABC=12mn=12×3=32，
故答案为：32.
(1)先用a和b表示出阴影部分正方形的边长，再由正方形面积公式表示出其面积即可；
(2)用两种方法表示阴影部分的面积：一种是(1)中的表示方法，另一种是用大正方形的面积减去4个全等的长方形的面积，二者相等，从而得到代数式(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系；
(3)利用(2)中得到等量关系解答即可；
(4)分别设正方形AMNC和BCFE的边长为未知数，将AF=5和S1+S2=19用这两个未知数表示出来，利用完全平方公式和三角形的面积公式求解即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式及正方形、长方形和三角形的面积公式是本题的关键．
24.【答案】=6050
【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠CAB=∠BCA=60∘，
∴∠CAE=∠BCD=120∘，
在△ACE和△CBD中，
AC=CB∠CAE=∠BCDAE=CD，
∴△ACE≌△CBD(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠CBD，
∴∠BFE=∠FCB+∠DBC=∠FCB+∠ECA=∠BCA=60∘；
故答案为：=，60；
(2)猜想：∠BFE=60∘，
理由如下：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠CAB=∠BCA=60∘，
∴∠CAE=∠BCD=120∘，
在△ACE和△CBD中，
AC=CB∠CAE=∠BCDAE=CD，
∴△ACE≌△CBD(SAS)，
∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60∘；
(3)∵OA=OC，∠AOC=80∘，
∴∠OCA=∠OAC=50∘，
∴∠CAE=∠BCD=130∘，
∵AC=BC，
∴△ACE≌△CBD(SAS)，
∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=50∘，
故答案为：50.
(1)根据等边三角形的性质可得∠CAE=∠BCD，证明△ACE≌△CBD(SAS)，得BD=CE，∠ACE=∠CBD，然后利用三角形的外角定义即可解决问题；
(2)证明方法同(1)即可解决问题；
(3)根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC=50∘，然后证明△ACE≌△CBD(SAS)，得∠ACE=∠CBD=∠DCF，然后利用三角形的外角定义即可解决问题．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角定义，解决本题的关键是得到△ACE≌△CBD.