三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之二次函数 (1)

这是一份三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之二次函数 (1)，共42页。
A．c＝4B．c＝﹣4C．c≤4D．c≥﹣4
2．（2023•大连模拟）已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
3．（2023•太平区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0B．b＝2aC．9a+3b+c＜0D．8a+c＝0
4．（2022•于洪区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示．则下列结论错误的是（ ）
A．抛物线过原点B．abc＝0
C．4a+b＝0D．a﹣b+c＜0
5．（2022•沈阳二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；④b＞1．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2022•建昌县一模）若二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
7．（2022•铁岭模拟）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x+2）2+5B．y＝3（x+2）2﹣5
C．y＝3（x﹣2）2+5D．y＝3（x﹣2）2﹣5
8．（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2）B．（−43，0）
C．（0，2）或（−43，0）D．以上都不正确
9．（2021•中山区一模）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
A．﹣1B．3C．4D．0
二．填空题（共7小题）
10．（2023•立山区二模）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．
11．（2023•锦州二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c，且a≠0）的图象与x轴的一个交点为 （﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②若抛物线上两点坐标分别为（﹣2，y1），（2，y2），则y1＝y2；
③b2﹣4ac＞0；
④3a+c＝0，其中正确的结论有 （填序号即可）．
12．（2023•立山区一模）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 ．
13．（2022•甘井子区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y=−32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为 ．
14．（2022•皇姑区校级模拟）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，﹣3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点时（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a﹣b+c＞4m+n；⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4．
上述六个结论中，其中正确的结论是 （填写序号即可）．
15．（2021•锦州二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（1，0）；④若B（−52，y1），C（−12，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2.其中正确的结论是 .（填写代表正确结论的序号）
16．（2021•沈北新区一模）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的是 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•兴隆台区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
18．（2023•锦州二模）近年来国家出台政策要求电动车上牌照，“保安全、戴头盔”出行．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔．在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（42≤x≤72）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩．请问这种头盔的售价定为多少元时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少元？
19．（2023•锦州二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−14x2+bx+c的图象与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（8，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D的坐标为（0，4），P是x轴下方抛物线上的一个动点，连接AC，BD，PD，PB．若S△PBD=32S△AOC，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是第四象限内的定点，Q为y轴上一个动点，则5PQ+CQ是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
​
20．（2022•兴城市二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与直线AC交于点E，若DE＝EA，求点D的坐标；
（3）如图2，直线BD交直线AC于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2022•元宝区校级二模）如图，抛物线y=−12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D为抛物线上一点，且点D与点C关于对称轴对称，求四边形ABCD的面积．
（3）点D为直线AC上方抛物线上一动点．
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，请直接写出点D的坐标．
22．（2021•葫芦岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y=−34x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．
辽宁三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总---二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2023•营口一模）抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A．c＝4B．c＝﹣4C．c≤4D．c≥﹣4
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】抛物线与x轴有一个交点，y＝0的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，
∴方程x2+4x﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1•（﹣c）＝0，
∴c＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系是解题的关键．
2．（2023•大连模拟）已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令y＝0得：
0＝﹣（x﹣1）2+4，
解得x＝3或x＝﹣1（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩是3m，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，理解题意，能把二次函数问题转化为一元二次方程问题是解决问题的关键．
3．（2023•太平区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0B．b＝2aC．9a+3b+c＜0D．8a+c＝0
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】由抛物线的开口向下，对称轴−b2a=1，抛物线交y轴的正半轴，判断a，b、c与0的关系，得到b＝﹣2a，abc＜0，即可判断A、B；
根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断C；
根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0）以及b＝﹣2a，得到4a+4a+c＝0，即可判断D．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故A、B错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故C错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．（2022•于洪区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示．则下列结论错误的是（ ）
A．抛物线过原点B．abc＝0
C．4a+b＝0D．a﹣b+c＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝2及抛物线的对称性可判断选项A，C，由c＝0可判断选项B，由x＝﹣1时y＞0可判断选项D．
【解答】解：∵抛物线经过（4，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线经过（0，0），选项A正确．
将（0，0）代入y＝ax2+bx+c得c＝0，
∴abc＝0，选项B正确．
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=2，
∴b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，选项C正确．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
5．（2022•沈阳二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；④b＞1．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据开口方向，对称轴位置，与y轴的交点位置判断①；根据对称轴对应的数值的取值范围判断②；结合图象，再根据m的取值范围判断③；根据二次函数的图象过点（1，2）得a+b+c＝2，再根据当x＝﹣1时，y＜0，得a﹣b+c＜0．根据这两个式子通过变换判断④．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵对称轴在x轴正半轴，
∴−b2a＞0，
∴a，b异号，
∴b＞0．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0．
∴abc＜0．故①错误；
②∵抛物线与x轴的交点的横坐标为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．
∴0＜12（x1+x2）＜1，即抛物线的对称轴直线0＜−b2a＜1．
∴0＜b＜﹣2a
∴2a+b＜0．故②正确；
③当x＝m时，y1＝am2+bm+c，
当x＝1时，y2＝2．
∵1＜m＜2，
∴点（m，y1），（1，2）都在对称轴的右侧，
根据抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小可得y1＜2，即am2+bm+c＜2．整理得，am2+bm＜2﹣c．故③正确；
④∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，2），
∴a+b+c＝2，
∴﹣a﹣b﹣c＝﹣2．
∵由图象可得，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴﹣2b＜﹣2．解得b＞1．故④正确．
综上所述，②③④都正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与性质，其中熟知：抛物线开口向上（下），在对称轴的左侧，y随x的增大而减小（增大），在对称轴的右侧，y随x的增大而增大（减小）是解题的关键．
6．（2022•建昌县一模）若二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】C
【分析】二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个交点，则其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据Δ＝0得到关于m的方程，解之即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个交点，
∴方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与x轴交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．
7．（2022•铁岭模拟）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x+2）2+5B．y＝3（x+2）2﹣5
C．y＝3（x﹣2）2+5D．y＝3（x﹣2）2﹣5
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是：y＝3（x+2）2﹣5；
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8．（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2）B．（−43，0）
C．（0，2）或（−43，0）D．以上都不正确
【考点】二次函数综合题．
【答案】A
【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使△PMN的周长最小，MN的长度一定，所以只需（PM+PN）取最小值即可．
然后，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（如图2）．
【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的一点，
∴−p−2=−31=−1−p+q，
解得p=−6q=−4．
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5，
∴M（﹣3，5）．
∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）．
设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则5=3a+t1=−a+t，
解得a=1t=2，
故该直线的解析式为y＝x+2．
当x＝0时，y＝2，即P（0，2）．
同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（−43，0）．
如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长=42+MN；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长=210+MN；
所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．
故选：A．
【点评】本题为二次函数的综合题．在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方．
9．（2021•中山区一模）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
A．﹣1B．3C．4D．0
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】D
【分析】由图表可知，x＝0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．
【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，
∴此函数图象的对称轴为直线x=0+22=1．
∴这个被蘸上了墨水的函数值是0，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
10．（2023•立山区二模）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 −154 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】−154．
【分析】根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m−12）2−154，
∴当m=12时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n=−154，
故答案为：−154．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．（2023•锦州二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c，且a≠0）的图象与x轴的一个交点为 （﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②若抛物线上两点坐标分别为（﹣2，y1），（2，y2），则y1＝y2；
③b2﹣4ac＞0；
④3a+c＝0，其中正确的结论有 ①③④ （填序号即可）．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】①③④．
【分析】根据抛物线的开口方向得a＜0，抛物线的对称轴可得b＝﹣2a＞0，抛物线与y轴交点位置得c＞0，以此可判断①；由抛物线过点（﹣1，0）得a+c＝b，则a+2c＝b+c＜0，﹣b＞0，以此可判断②；由抛物线过点（﹣1，0）得a﹣b+c＝0，将b＝﹣4a代入得c＝﹣5a，以此可判断③；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象画出y＝|ax2+bx+c|的图象，即可判断④当x1＜x2，不能判断y1和y2的大小关系，以此即可求解．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，故④正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＞0，故③正确；
∵对称轴为直线x＝1.1﹣（﹣2）＝3，2﹣1＝1，
a＜0，离对称轴越近越大，
∴3＞1，
∴y1＜y2，故②错误．
综上，正确的说法有①③④共3个．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系是解题关键．
12．（2023•立山区一模）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 x1＝﹣3，x2＝1 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】x1＝﹣3，x2＝1．
【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【解答】解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1）的横坐标，即x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
13．（2022•甘井子区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y=−32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为 72 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
∵抛物线y=−32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，
∴CD＝2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），
∴h=2c+22=c+1，
∴抛物线y=−32[x﹣（c+1）]2+k，
把点C（c，2）代入得，2=−32[c﹣（c+1）]2+k，
解得，k=72，
故答案为72．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．（2022•皇姑区校级模拟）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，﹣3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点时（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a﹣b+c＞4m+n；⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4．
上述六个结论中，其中正确的结论是 ①②⑥ （填写序号即可）．
【考点】二次函数与不等式（组）；根的判别式；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】①②⑥．
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到−b2a=1，则可对①进行判断；由抛物线开口向上得到a＞0，则b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；利用x＝﹣1时，y1＜0，即a﹣b+c＜0，x＝4时，y2＝0，即4m+n＝0，则可对⑤进行判断；结合函数图象可对⑥进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵x＝﹣1时，y1＜0，即a﹣b+c＜0，
而x＝4时，y2＝0，即4m+n＝0，
∴a﹣b+c＜4m+n；所以⑤错误；
∵当1＜x＜4时，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4．所以⑥正确．
故答案为：①②⑥．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
15．（2021•锦州二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（1，0）；④若B（−52，y1），C（−12，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2.其中正确的结论是 ②③ .（填写代表正确结论的序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】②③．
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＜0，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数对②进行判断；利用抛物线的对称性对③进行判断；利用二次函数的性质对④进行判断．
【解答】解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3，0），而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为的横坐标为2×（﹣1）﹣（﹣3）＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），所以③正确；
∵B（−52，y1），C（−12，y2）为函数图象上的两点，又点C离对称轴近，
∴y1＜y2，故④错误．
∴②③正确，
故答案为：②③．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16．（2021•沈北新区一模）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的是 ①④ ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数的对称性与增减性等进行判断即可．
【解答】解：①由图象可知，x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此①正确；
②由图象可知，x＝﹣1时，y＝a+b+c＝0，因此②错误；
③由图象可知，函数图象与x轴有2个交点，因此b2﹣4ac＞0，因此③错误；
④∵对称轴为x＝1，B（﹣1，0），
∴A（﹣3，0），
∴y＞0时，﹣1＜x＜3，
∴④正确，
故答案为①④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•兴隆台区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；函数的综合应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC2＝50，MC2＝t2﹣10t+29，MB2＝t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，则50+t2﹣10t+29＝t2+9；当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，则50+t2+9＝t2﹣10t+29；当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，则t2﹣10t+29+t2+9＝50，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：a−b+5=525a+5b+5=0，
解得a=−1b=4，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得m=55k+m=0，
解得k=−1m=5，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1=23，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（23，659）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1=32，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（32，354）；
综上所述，当点D的坐标为（23，659）或（32，354）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题．
18．（2023•锦州二模）近年来国家出台政策要求电动车上牌照，“保安全、戴头盔”出行．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔．在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（42≤x≤72）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩．请问这种头盔的售价定为多少元时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣2x+200；
（2）这种头盔的售价定为71元时，月销售利润最大，最大月销售利润是1682元．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系为y＝ax+b，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据每天的利润＝单箱的利润×销量列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系为y＝akx+b，
根据题意得：50a+b=10055a+b=90，
解得：a=−2b=200，
∴y＝﹣2x+200；
故答案为：y＝﹣2x+200；
（2）设月销售利润是w元，
则w＝y（x﹣36﹣6）＝（﹣2x+200）（x﹣42）＝﹣2x2+284x﹣8400，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，有最大值；
当x=−b2a=−284−4=71时，w有最大值，
∴当x＝71时，w最大值＝−2×712+284×71+8400＝1682（元），
答：这种头盔的售价定为71元时，月销售利润最大，最大月销售利润是1682元．
【点评】本题考查了一次函数的解析式的运用和二次函数的应用以及销售问题的数量关系在解决实际问题是的运用，解答时根据题意建立函数关系是解答本题的难点和关键．
19．（2023•锦州二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−14x2+bx+c的图象与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（8，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D的坐标为（0，4），P是x轴下方抛物线上的一个动点，连接AC，BD，PD，PB．若S△PBD=32S△AOC，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是第四象限内的定点，Q为y轴上一个动点，则5PQ+CQ是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
​
【考点】二次函数综合题．
【专题】数形结合；待定系数法；函数的综合应用；应用意识．
【答案】（1）抛物线的表达式为y=−14x2+x+8；
（2）P（10，﹣7）；
（3）5PQ+CQ存在最小值，5PQ+CQ的最小值是35．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为y=−14x2+x+8；
（2）过P作PH∥y轴交直线BD于H，求出C（0，8），S△AOC=12×4×8＝16；直线BD函数表达式为y=−12x+4，设P（m，−14m2+m+8），则H（m，−12m+4），知PH=−12m+4﹣（−14m2+m+8）=14m2−32m﹣4，根据S△PBD=32S△AOC，即得12×m×（14m2−32m﹣4）−12×（m﹣8）×（14m2−32m﹣4）=32×16，可解得P（10，﹣7）；
（3）由A（﹣4，0），C（0，8），得AC=42+82=45，sin∠ACO=OAAC=55，过P作PK⊥AC于K，交y轴于Q，过P作PT⊥y轴于T，可知PQ+KQ＝PQ+55CQ，由垂线段最短可知此时5PQ+CQ最小；由P（10，﹣7），sin∠QPT＝sin∠KCQ=55=TQPQ，得QT＝5，PQ＝55，CQ＝CT﹣QT＝10，即得KQ＝CQ•sin∠KCQ＝10×55=25，从而可得5PQ+CQ的最小值是35．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（8，0）代入y=−14x2+bx+c得：
−4−4b+c=0−16+8b+c=0，
解得b=1c=8，
∴抛物线的表达式为y=−14x2+x+8；
（2）过P作PH∥y轴交直线BD于H，如图：
在y=−14x2+x+8中，令x＝0得y＝8，
∴C（0，8），
∵A（﹣4，0），
∴S△AOC=12×4×8＝16；
由D（0，4），B（8，0）得直线BD函数表达式为y=−12x+4，
设P（m，−14m2+m+8），则H（m，−12m+4）；
∴PH=−12m+4﹣（−14m2+m+8）=14m2−32m﹣4，
∵S△PBD=32S△AOC，
∴12×m×（14m2−32m﹣4）−12×（m﹣8）×（14m2−32m﹣4）=32×16，
解得m＝10或m＝﹣4（舍去），
∴P（10，﹣7）；
（3）5PQ+CQ存在最小值，理由如下：
如图：
∵A（﹣4，0），C（0，8），
∴AC=42+82=45，
∴sin∠ACO=OAAC=55，
过P作PK⊥AC于K，交y轴于Q，过P作PT⊥y轴于T，
∴KQ＝CQ•sin∠KCQ=55CQ，
∴PQ+KQ＝PQ+55CQ，
由垂线段最短可知此时PQ+55CQ最小，而5PQ+CQ=5（PQ+55CQ），
∴此时5PQ+CQ最小；
∵P（10，﹣7），
∴PT＝10，
∵sin∠QPT＝sin∠KCQ=55=TQPQ，
∴QT＝5，PQ＝55，
∵C（0，8），
∴CT＝8﹣（﹣7）＝15，
∴CQ＝CT﹣QT＝15﹣5＝10，
∴KQ＝CQ•sin∠KCQ＝10×55=25，
∴PQ+KQ＝55+25=75，
∴5PQ+CQ=5×75=35．
∴5PQ+CQ的最小值是35．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积公式的应用，最短路径问题，锐角三角函数等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度，灵活应用锐角三角函数解决问题．
20．（2022•兴城市二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与直线AC交于点E，若DE＝EA，求点D的坐标；
（3）如图2，直线BD交直线AC于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）点D坐标为（2，22+1）；
（3）点D的坐标为（2，3），（1−31），（1+3，1），（﹣2，﹣5）．
【分析】（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入函数关系式，求出a、b的值，即可得出函数的解析式；
（2）先求出点C的坐标，求出AC的解析式，设点D（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用m表示出DE，EF，列出关于m的方程，解关于m的方程，得出m=2，或m＝3（不合题意，舍去），出点D的坐标即可；
（3）设点D的坐标为（t，﹣t2+2t+3）；当BD⊥AC，AD为对角线时，当AD⊥AC，AD为矩形的一条边时，当AD⊥DH，AD为条边时，分三种情况进行讨论，求出点D的坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点点A（3，0）和B（﹣1，0），
∴−9+3b+c=0−1−b+c=0，
∴b=2c=3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∵A（3，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
设点D（m，﹣m2+2m+3），
∴E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m，
∴EF＝﹣m+3，
∵A（3，0），C（0，3），
∴OA＝CO，
∴∠CAO＝45°，
∴AE＝EF÷sin45°=2（3﹣m），
∵DE＝AE，
∴﹣m+3m=2（3﹣m），
∴m=2，或m＝3（不合题意，舍去），
把m=2代入得y＝﹣（2）2+22+3＝22+1，
∴点D坐标为（2，22+1）；
（3）存在，设点D的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
当BD⊥AC，AD为对角线时，过点D作DF⊥x轴于点F，交AC于点E，如图，
根据（2）可知，∠CAO＝45°，
∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBH＝∠AEF＝45°，
∴∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝45°，
∴∠DBF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴DF＝BF，
即t﹣（﹣1）＝﹣t2+2t+3，
解得t＝2或t＝﹣1（舍去），
∴点D的坐标为（2，3）；
当AD⊥AC，AD为矩形的一条边时，过点D作DM⊥轴于点M，如图，
∵∠CAO＝45°，∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝45°，
∵∠DMA＝90°，
∴∠MDA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CMD＝∠MAD，
∴MD＝MA，
即﹣（﹣t2+2t+3）＝3﹣t，
解t＝﹣2或t＝3（舍去），
∴点D的坐标为（2，﹣5）；
当AD⊥DH，AD为条边时，过点D作DM⊥轴于点M，如图，
∵BDA＝∠DMB＝∠DMA＝90°，
∴∠BDM+∠ADM＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠ADM＝∠DBM，
∴△BDM∽△DAM，
∴DM：AM＝BM：DM，即（﹣t2+2t+3）：（3﹣t）＝（t+1）：（﹣t2+2t+3），
解得t＝1+3或t＝1−3，
∴点D的坐标为（1+3，1）或（1−3，1）；
综上分析可知，点D的坐标为（2，3），（1−31），（1+3，1），（﹣2，﹣5）．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线，进行分类讨论，是解题的关键．
21．（2022•元宝区校级二模）如图，抛物线y=−12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D为抛物线上一点，且点D与点C关于对称轴对称，求四边形ABCD的面积．
（3）点D为直线AC上方抛物线上一动点．
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，请直接写出点D的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；图形的相似；解直角三角形及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=−12x2−32x+2；
（2）8；
（3）①45；②存在点D，D（﹣2，3）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明四边形ABCD为梯形，则四边形ABCD的面积=12（AB+CD）×CO，即可求解；
（3）①证明△EDM∽△EBN，则EDBE=−12m2−2m52=−15（m+2）2+45，即可求解；
②证明∠BAC＝∠CDG，则tan∠BAC＝tan∠CDG，即CODA=CRDR，进而求解．
【解答】解：（1）在y=12x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C（0，2），
∵y=−12x2+bx+c经过A、C两点，
0=−12×16−4b+cc=2，解得：b=−32c=2，
∴抛物线的函数表达式为y=−12x2−32x+2；
（2）在y=−12x2−32x+2中，令y＝0，得−12x2−32x+2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
∵点D与点C关于对称轴对称，点C（0，2），抛物线的对称轴为x=−32，
∴点D（﹣3，2），
则CD＝3，AB＝5，
∵AB∥CD，则四边形ABCD为梯形，
则四边形ABCD的面积=12（AB+CD）×CO=12×（5+3）×2＝8；
（3）①过D作DM∥y轴交AC于点M，过B作BN∥y轴交于AC于N，如图：
在y=12x+2中，令x＝1得y=52，
∴N（1，52），BN=52，
设D（m，−12m2−32m+2），则M（m，12m+2），
∴DM=−12m2−32m+2﹣（12m+2）=−12m2﹣2m，
∵DM∥y轴，BN∥y轴，
∴DM∥BN，
∴∠EDM＝∠EBN，∠EMD＝∠ENB，
∴△EDM∽△EBN，
∴DEBE=DMBN，
∴EDBE=−12m2−2m52=−15（m+2）2+45，
∵−15＜0，
∴当m＝﹣2时，DEBE取最大值，最大值为45；
②存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，理由如下：
过D作DG∥x轴，交y轴于R，交直线AC于G，如图：
∵DG∥x轴，
∴∠BAC＝∠DGC，
∵∠DCF＝2∠BAC，
∴∠DCF＝2∠DGC，
∵∠DCF＝∠DGC+∠CDG，
∴∠DGC＝∠CDG，
∴∠BAC＝∠CDG，
∴tan∠BAC＝tan∠CDG，即CODA=CRDR，
设D（t，−12t2−32t+2），
∴DR＝﹣t，OR=−12t2−32t+2，
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
∴CR＝OR﹣OC=−12t2−32t，
∴24=−12t2−32t−t，
解得t＝﹣2，
∴D（﹣2，3）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
22．（2021•葫芦岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y=−34x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y=−34x2−32x+3；（2）E（23，53）；（3）（﹣2，1）或（﹣2，3）或（﹣2，9）．
【分析】（1）求出A点坐标，将A、B点坐标代入y=−34x2+bx+c即可求解；
（2）设E（m，−34m2−32m+3），求得S△BDE＝＝2（m+2），S△ABE=34m2+32m，再由已知得到方程2（m+2）＝4（34m2+32m），求出m的值即可求E点坐标；
（3）先求出直线DE的解析式为y＝x+1，分三种情况讨论：①当P点与B点重合，此时△APQ为等腰直角三角形，则P（﹣2，3）；②过点Q作QM⊥AB交BA的延长线于点M，证明△PAB∽△AQM，设P（﹣2，t），则Q（t+12，t+32），分别求出PB＝t﹣3，AB＝2，AM=t+12，QM=t−32，再由三角形相似求出t即可求P点坐标；当PQ⊥AP时，AP∥DE，则直线AP的解析式为y＝x+3，即可求P点坐标．
【解答】解：（1）∵B（﹣2，3），矩形OABC，
∴A（0，3），
∵抛物线y=−34x2+bx+c经过点A和点B，
∴c=3−34×4−2b+c=3，
∴b=−32c=3，
∴y=−34x2−32x+3；
（2）∵D（﹣2，﹣1），
∴BD＝4，
设E（m，−34m2−32m+3），
∴S△BDE=12×4×（m+2）＝2（m+2），
∵AB＝2，
∴S△ABE=12×2×（3+34m2+32m﹣3）=34m2+32m，
∵S△BDE＝4S△ABE，
∴2（m+2）＝4（34m2+32m），
解得m＝﹣2或m=23，
∵E点在y轴由侧，
∴m=23，
∴E（23，53）；
（3）∵E（23，53），D（﹣2，﹣1），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
∴23k+b=53−2k+b=−1，
∴k=1b=1，
∴y＝x+1，
∴直线与y轴的交点为（0，1），
如图1，当P点与B点重合，Q点为（0，1），
此时△APQ为等腰直角三角形，
∴P（﹣2，3）；
如图2，过点Q作QM⊥AB交BA的延长线于点M，
∵∠PAQ＝90°，∠PBA＝90°，∠QME＝90°，
∴∠PAB＝∠AQM，
∴△PAB∽△AQM，
∴PBAM=ABQM，
设P（﹣2，t），
∵直线DE的解析式为y＝x+1，PQ⊥DE，
∴∠PDQ＝45°，
∴Q（t−32，t−12），
∴PB＝t﹣3，AB＝2，AM=t+12，QM=t+32−3=t−32，
∴t−3t+12=2t−32，
∴t＝1或t＝7，
∴P（﹣2，1）或（﹣2，7）；
如图3，当PQ⊥AP时，
∵∠PAQ+∠AQP＝90°，∠AQP+∠AQE＝90°，
∴∠APQ＝∠AQE，
∴AP∥DE，
∴直线AP的解析式为y＝x+3，
∴P（﹣2，1）；
综上所述：P点的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，3）或（﹣2，9）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键。x
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