三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之三角形

这是一份三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之三角形，共39页。

A．α+2βB．2α+β
C．2β+α或α+12βD．2α+β或2β+α
2．（2023•锦州二模）如图，点A在直线l上，（1）过点A作射线AM；（2）以点A为圆心，以任意长为半径作弧交直线l于点B，交射线AM于点C；（3）在射线CM上取一点D，以点D为圆心，以AB长为半径作弧交射线DM于点E；（4）以点E为圆心，以CB长为半径作弧交前面的弧于点F；（5）作直线DF，连接BD．若∠EDF＝54°，∠ADB＝30°，则∠1的度数为（ ）
​
A．54°B．80°C．82°D．84°
3．（2023•鞍山二模）如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD．下列结论正确的是（ ）
​
A．∠BOD＝∠BB．∠AOC＜∠DC．∠BOD＝∠C+∠DD．∠AOC＝∠A+∠C
4．（2022•甘井子区校级模拟）如图，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
5．（2022•振兴区校级二模）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
6．（2022•兴城市二模）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．75°B．105°C．120°D．135°
7．（2021•中山区一模）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．40°B．55°C．70°D．110°
8．（2021•普兰店区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D、E、F分别在线段AB、AC、BC上，且BD＝2AD，DE⊥DF，则DEDF=（ ）
A．13B．12C．33D．36
二．填空题（共7小题）
9．（2023•铁西区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AE平分∠CAB，与BC相交于点E，F是AC的中点，G为AE中点，则GF＝ ．
10．（2023•大石桥市模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积 ．
11．（2023•新抚区模拟）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 ．
12．（2022•元宝区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 ．
13．（2022•铁东区三模）如图，小明想测量池塘两端A，B间的距离，为了安全起见，小明借助全等三角形的知识，用了这样一个间接测量A，B间的距离方法：在地上取一点可以直接到达A点和B点的点C，测得AC长20m，BC长为20m，在AC的延长线上找一点D，使得CD长为20m，在BC的延长线上找一点E，使得CE长为20m，又测得此时D和E的距离为25m，根据小明的数据，可知A，B之间的距离为 m．
14．（2022•浑南区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF＝3，△OAB的周长是14，则AC+BD＝ ．
15．（2021•顺城区一模）如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么FGAG= ．
三．解答题（共7小题）
16．（2023•锦州二模）【问题情境】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E是AB上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE．
【初步尝试】
（1）∠ACD与∠BCE之间的数量关系 ；
【深入探究】
（2）如图2，点F在边BC上，且DF＝DC，CE与DF相交于点G．
①求证：DF⊥CE；
②探究线段CF与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在线段AB两侧的延长线上，且AD＝BE，连接CD，CE．点F在边BC的延长线上，且DF＝DC，EC的延长线与DF相交于点G．若AC＝3，AD=2，请直接写出CG的长度．
​
17．（2023•皇姑区模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC中点，∠MDN＝60°，∠MDN的两边DM，DN分别与直线AB，AC交于点E，F，DE＝DF，连接EF．
（1）如图1，当点E，F分别在AB，AC上时，猜想△DEF形状是 三角形；线段AE、AF、AB的数量关系是 ．
（2）如图2，当点E，F分别在AB，CA延长线上时，上述两个结论成立吗？若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，AB＝6．
①连接AD，直接写出S△AED﹣S△AFD＝ ．
②当EB＝BD时，求AF的长．
​
18．（2022•甘井子区校级模拟）已知等腰三角形ABC，∠F＝2∠ABC，CD＝kBD，∠FGC＝α．
（1）如图1，当k＝1时，
①探究DG与CE之间的数量关系；
②探究BE，CG与CE之间的关系（用含α的式子表示）．
（2）如图2，当k≠1时，探究BE，CG与CE之间的数量关系（用含k，α的式子表示）．
19．（2022•普兰店区二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC=214cm，BC＝7cm，CD平分∠ACB，过点D作DG⊥BC，垂足为G，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿边CB运动，同时，点Q从点C出发，沿CD﹣DB运动，点Q在CD段以每秒2cm的速度运动，在DB段以每秒1cm的速度运动，当点P与点B重合时，两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s），△CPQ与△DCB重叠部分图形面积为S（cm2）．
（1）请直接写出AB的长；
（2）求点Q到达D点时，点B和点Q的距离；
（3）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
20．（2021•大连二模）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点E在BC上，且EC＝AC．连接AE，F为AE的中点，CD⊥AB于D，过点E作EH∥CD交DF的延长线于点H，DH交BC于M．
（1）探究∠EAB和∠BCD之间的数量关系，并证明；
（2）求证：AD＝EH；
（3）若BC＝k•AC，求MCEB的值（用含有k的代数式表示）．
21．（2021•大连二模）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AF＝DE，CF∥BE，AB∥CD．求证BE＝CF．
22．（2021•立山区四模）如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板ABC，若测得斜边AB的两端点到桌面的距离分别为AD，BE．DE为8cm，BE＝3cm，求点A距离桌面的高度．
辽宁三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总---三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•大连模拟）如图，直线m∥n，BC为∠ABD的三等分线，∠DAB＝α，∠DBC＝β，则∠1的度数为（ ）
A．α+2βB．2α+β
C．2β+α或α+12βD．2α+β或2β+α
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由m∥n得到∠ABC＝∠BCD，∠ADC＝∠DAB＝α，分BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=13∠ABD和BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=23∠ABD两种情况求解即可．
【解答】解：如图，
∵m∥n，
∴∠ABC＝∠BCD，∠ADC＝∠DAB＝α，
当BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=13∠ABD时，∠BCD＝∠ABC＝2β，
∵∠1是△CDE的外角，
∴∠1＝∠BCD+∠ADC＝2β+α，
当BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=23∠ABD时，∠BCD=∠ABC=12β，
∵∠1是△CDE的外角，
∴∠1=∠ADC+∠BCD=α+12β，
综上，∠1的度数为2β+α或α+12β，
故选：C．
【点评】此题考查的是三角形内角和定理，涉及到平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
2．（2023•锦州二模）如图，点A在直线l上，（1）过点A作射线AM；（2）以点A为圆心，以任意长为半径作弧交直线l于点B，交射线AM于点C；（3）在射线CM上取一点D，以点D为圆心，以AB长为半径作弧交射线DM于点E；（4）以点E为圆心，以CB长为半径作弧交前面的弧于点F；（5）作直线DF，连接BD．若∠EDF＝54°，∠ADB＝30°，则∠1的度数为（ ）
​
A．54°B．80°C．82°D．84°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】作图题；三角形；尺规作图；推理能力．
【答案】D
【分析】根据作法判断∠BAC＝∠EDF＝54°，再根据三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，∠BAC＝∠EDF＝54°，
∵∠ADB＝30°，
∴∠1＝∠BAC+∠ADB＝54°+30°＝84°．
故选：D．
【点评】本题考查了尺规作图﹣作一个角等于已知角，三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．
3．（2023•鞍山二模）如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD．下列结论正确的是（ ）
​
A．∠BOD＝∠BB．∠AOC＜∠DC．∠BOD＝∠C+∠DD．∠AOC＝∠A+∠C
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：∵∠BOD＝∠A+∠B＝∠C+∠D，故C正确，A错误；
∵∠AOC＝∠A+∠B＝∠C+∠D，故B、D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
4．（2022•甘井子区校级模拟）如图，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理．
【答案】C
【分析】由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段及角相等，再利用直角三角形两锐角互余得到∠B＝（180°﹣∠ADB）÷2答案可得．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝DB
∴∠B＝∠DAB
∵∠C＝90°，∠CAD＝20°
∴∠B＝（180°﹣∠C﹣∠CAD）÷2＝35°
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解．
5．（2022•振兴区校级二模）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】延长AF、BC交于点G，证明△ACF≌△GCF，根据全等三角形的性质得到CG＝AC＝7，AF＝FG，求出BG，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：延长AF、BC交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
在△ACF和△GCF中，
∠ACF=∠GCFCF=CF∠AFC=∠GFC=90°，
∴△ACF≌△GCF（ASA），
∴CG＝AC＝7，AF＝FG，
∴BG＝CG﹣CB＝3，
∵AE＝EB，AF＝FG，
∴EF=12BG＝1.5，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6．（2022•兴城市二模）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．75°B．105°C．120°D．135°
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【解答】解：如图，
∵∠2＝90°﹣45°＝45°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝105°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
7．（2021•中山区一模）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．40°B．55°C．70°D．110°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】C
【分析】先由平行线的性质得出∠ACB＝∠1＝70°，根据等角对等边即可得出∠BAC＝∠ACB＝70°．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠ACB＝∠1＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定以及三角形内角和定理，求出∠BAC＝70°是解题的关键．
8．（2021•普兰店区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D、E、F分别在线段AB、AC、BC上，且BD＝2AD，DE⊥DF，则DEDF=（ ）
A．13B．12C．33D．36
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】依据题意，过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，可证四边形DGCH是矩形，DH∥CG，DG∥CH，∠HDG＝90°，由题意，可设AC=3a，BC＝a，由平行线分线段成比例可得DH=13a，DG=233a，通过证明△DEH∽△DFG，可得DEDF=DHDG，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴可设AC=3a，BC＝a．
∵DH⊥AC，DG⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DGCH是矩形．
∴DH∥CG，DG∥CH，∠HDG＝90°．
∴DHBC=ADBC，DGAC=BDAB，且BD＝2AD，
∴DH=13a，DG=233a．
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠HDG＝90°．
∴∠HDE＝∠GDF，且∠DHE＝∠DGF＝90°．
∴△DEH∽△DFG．
∴DEDF=DHDG．
∴DEDF=13a233a=36．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
二．填空题（共7小题）
9．（2023•铁西区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AE平分∠CAB，与BC相交于点E，F是AC的中点，G为AE中点，则GF＝ 56 ．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】56．
【分析】过点E作EH⊥AC于点H，根据角平分线的性质可得BE＝HE，∠BAE＝∠HAE，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，再证明△ABE≌△AHE（AAS），根据全等三角形的性质可得AH＝AB＝4，可得CHE＝1，设BE＝HE＝x，在Rt△CHE中，根据勾股定理列方程，求出BE的长，可得CE的长，根据三角形中位线定理可得GF=12CE，即可确定答案．
【解答】解：过点E作EH⊥AC于点H，如图所示，
则∠AHE＝90°，
∵∠ABC＝90°，AE平分∠CAB，
∴BE＝HE，∠BAE＝∠HAE，
∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=42+32=5，
在△ABE和△AHE中，
∠ABE=∠AHE∠BAE=∠HAEAE=AE，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴AH＝AB＝4，
∴CH＝1，
设BE＝HE＝x，
∵CE＝BC﹣BE＝3﹣x，
在Rt△CHE中，根据勾股定理得：12+x2＝（3﹣x）2，
解得x=43，
∴CE＝3−43=53，
∵F是AC的中点，G为AE中点，
∴GF是△AEC的中位线，
∴GF=12CE=56，
故答案为：56．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
10．（2023•大石桥市模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积 12 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】12．
【分析】过点M作ME⊥CD，垂足为E，先利用直角三角形斜边上的中线性质可得CM＝DM＝5，再利用等腰三角形的三线合一性质可得DE=12CD＝3，然后在Rt△DEM中，利用勾股定理求出EM的长，最后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：过点M作ME⊥CD，垂足为E，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，
∴CM＝DM=12AB＝5，
∴DE=12CD＝3，
在Rt△DEM中，EM=DM2−DE2=52−32=4，
∴△MCD的面积=12CD•EM=12×6×4＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．（2023•新抚区模拟）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为 2 ．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF=12AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12．（2022•元宝区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 5或13 ．
【考点】等腰直角三角形；旋转的性质；勾股定理．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】5或13．
【分析】分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，
∴AB=2AC＝4，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝AD=12AB＝2，∠ADC＝90°，
∵∠ADQ＝90°，
∴点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
CQ＝CP＝CQ′＝1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，
∴AQ=AD2+DQ2=22+12=5，
当点Q在DC的延长线上，
在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，
∴AQ′=AD2+DQ′2=22+32=13，
综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为5或13，
故答案为：5或13．
【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
13．（2022•铁东区三模）如图，小明想测量池塘两端A，B间的距离，为了安全起见，小明借助全等三角形的知识，用了这样一个间接测量A，B间的距离方法：在地上取一点可以直接到达A点和B点的点C，测得AC长20m，BC长为20m，在AC的延长线上找一点D，使得CD长为20m，在BC的延长线上找一点E，使得CE长为20m，又测得此时D和E的距离为25m，根据小明的数据，可知A，B之间的距离为 25 m．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】25．
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，根据∠ACB＝∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB＝DE，即可解题．
【解答】解：由题意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
AC=CD∠ACB=∠ECDBC=EC，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB，
∵DE＝25m，
∴AB＝25m．
故答案为：25．
【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC≌△DEC是解题的关键．
14．（2022•浑南区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF＝3，△OAB的周长是14，则AC+BD＝ 16 ．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件可以得到EF是△OAB的中位线，则AB＝2EF＝6．然后结合三角形的周长公式可以得到OA+OB＝8；最后结合平行四边形的对角线相互平分可以得到AC+BD＝2（OA+OB）．
【解答】解：如图，∵点E、F分别是线段AO、BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴AB＝2EF．
又∵EF＝3，
∴AB＝6．
∵△OAB的周长是14，
∴AB+OA+OB＝14，即6+OA+OB＝14，
∴OA+OB＝8．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA，BD＝2OB．
∴AC+BD＝2（OA+OB）＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
15．（2021•顺城区一模）如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么FGAG= 14 ．
【考点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】14．
【分析】由三角形的重心定理得出EGBG=12，DGAG=12，由平行线分线段成比例定理得出FGDG=EGBG=12，从而得到FGAG的值．
【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴EGBG=12，DGAG=12，
∵EF∥BC，
∴FGDG=GEBG=12，
∴FGAG=14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：DG＝1：2是解决问题的关键
三．解答题（共7小题）
16．（2023•锦州二模）【问题情境】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E是AB上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE．
【初步尝试】
（1）∠ACD与∠BCE之间的数量关系 ∠ACD＝∠BCE ；
【深入探究】
（2）如图2，点F在边BC上，且DF＝DC，CE与DF相交于点G．
①求证：DF⊥CE；
②探究线段CF与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在线段AB两侧的延长线上，且AD＝BE，连接CD，CE．点F在边BC的延长线上，且DF＝DC，EC的延长线与DF相交于点G．若AC＝3，AD=2，请直接写出CG的长度．
​
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）∠ACD＝∠BCE；
（2）①证明见解析；②CF=2BE．
（3）CG=81717．
【分析】（1）证明△ADC≌△BEC（SAS），由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠BCE．
（2）①证出∠DCF＝∠CFD．由（1）知∠ACD＝∠BCE，得出∠CGF＝∠ACD+∠DCF＝90°，则可得出结论；
②过点D作DH⊥CF于点H，DH交CE于点M，过点E作EN⊥BC于点N，则∠CNE＝∠DHF＝90°，证明△DHF≌△CNE（AAS），由全等三角形的性质得出HF＝EN，则可得出结论；
（3）过点D作DH⊥CF于点H，DH交CE于点M，过点E作EN⊥BC交CB延长线于点N，证明△ABC∽△DBH，由相似三角形的性质得出BABD=ACDH，求出DH＝4，证明△CFG∽△DCH，由相似三角形的性质得出CGDH=CFDC，则可得出答案．
【解答】（1）解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
又∵AD＝BE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴∠ACD＝∠BCE．
故答案为：∠ACD＝∠BCE；
（2）①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCF＝90°，
∵DF＝DC，
∴∠DCF＝∠CFD．
∵∠CGD＝∠BCE+∠CFD，
由（1）知∠ACD＝∠BCE，
∴∠CGF＝∠ACD+∠DCF＝90°，
∴DF⊥CE．
②解：CF=2BE．
理由：如图，过点D作DH⊥CF于点H，DH交CE于点M，过点E作EN⊥BC于点N，则∠CNE＝∠DHF＝90°，
在△DHF和△CNE中，
DF=CE∠HDF=∠ECN∠DHF=∠CNE，
∴△DHF≌△CNE（AAS），
∴HF＝EN，
∵∠ACB＝90°，∠CBE＝45°，
∴EN=22BE，
∴HF=22BE，
∴CF2=22BE，
∴CF=2BE．
（3）解：过点D作DH⊥CF于点H，DH交CE于点M，过点E作EN⊥BC交CB延长线于点N，
由（2）探究可得CF＝2CH＝2FH=2BE，
∵AD=2，
∴BE=AD=2，
∴CF＝2，CH＝FH＝1，
∵AC＝3，∠ACB＝90°，
∴BC＝AC＝3，AB＝32，BD＝42，
∵∠ACB＝∠DHC＝90°，∠ABC＝∠DBH，
∴△ABC∽△DBH，
∴BABD=ACDH，
∴3242=3DH，
∴DH＝4，
∴CD=CH2+DH2=17，
∴∠F＝∠DCF，
又∵∠DHC＝∠CGF＝90°，
.∴△CFG∽△DCH，
∴CGDH=CFDC，
∴CG4=217，
∴CG=81717．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17．（2023•皇姑区模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC中点，∠MDN＝60°，∠MDN的两边DM，DN分别与直线AB，AC交于点E，F，DE＝DF，连接EF．
（1）如图1，当点E，F分别在AB，AC上时，猜想△DEF形状是 等边 三角形；线段AE、AF、AB的数量关系是 AB ．
（2）如图2，当点E，F分别在AB，CA延长线上时，上述两个结论成立吗？若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，AB＝6．
①连接AD，直接写出S△AED﹣S△AFD＝ 934 ．
②当EB＝BD时，求AF的长．
​
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）等边，AE+AF=12AB；
（2）△DEF是等边三角形仍然成立，AE+AF=12AB不成立，理由见解析过程；
（3）①934；
②33+3．
【分析】（1）由“ASA”可证△ADF≌△HDE，可得DE＝DF，AF＝HE，可得结论；
（2）由“ASA”可证△ADF≌△HDE，可得DF＝DE，AF＝BH，可得结论；
（3）①由全等三角形的性质可得S△ADF＝S△HDE，由面积的和差关系可求解；
②由线段的和差关系可求解．
【解答】解：（1）如图1，取AB的中点H，连接AD，DH，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝60°，∠B＝∠C＝30°，
∵点H是AB的中点，
∴AH＝HD＝BH，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD＝DH＝AH，∠AHD＝∠DAF＝60°＝∠ADH＝∠EDF，
∴∠ADF＝∠HDE，
∴△ADF≌△HDE（ASA），
∴DE＝DF，AF＝HE，
∴△DEF是等边三角形，
∵AH=12AB，
∴AE+HE＝AE+AF=12AB，
故答案为：等边，AE+AF=12AB；
（2）△DEF是等边三角形仍然成立，AE+AF=12AB不成立，理由如下：
如图2，取AB的中点H，连接AD，DH，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵点H是AB的中点，
∴AH＝HD＝BH，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD＝DH＝AH，∠AHD＝∠DAC＝60°＝∠ADH＝∠EDF，
∴∠ADF＝∠EDH，∠FAD＝∠DHE＝120°，
∴△ADF≌△HDE（ASA），
∴DF＝DE，AF＝EH，
∴△DEF是等边三角形，
∵BH=12AB，
∴EH﹣BE＝AF﹣BE=12AB；
（3）①∵AB＝6，AD⊥BC，∠ABC＝30°，
∴AD＝3，DB＝33，
∴S△ABD=12×AD•BD=12×3×33=932，
∵△ADF≌△HDE，
∴S△ADF＝S△HDE，
∴S△AED﹣S△AFD＝S△AED﹣S△HDE＝S△ADH=12S△ABD=934，
故答案为：934；
②∵BE＝BD＝33，BH＝AH=12AB＝3，
∴AF＝HE＝BE+BH＝3+33．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．（2022•甘井子区校级模拟）已知等腰三角形ABC，∠F＝2∠ABC，CD＝kBD，∠FGC＝α．
（1）如图1，当k＝1时，
①探究DG与CE之间的数量关系；
②探究BE，CG与CE之间的关系（用含α的式子表示）．
（2）如图2，当k≠1时，探究BE，CG与CE之间的数量关系（用含k，α的式子表示）．
【考点】三角形综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；数据分析观念；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①DG=12CE；
②CG﹣CE•cs（180°﹣α）=12BE；
（3）（k﹣1）•CG+2k•csα•CE＝k•BE．
【分析】（1）①作DH＝DG，推导∠CHD∠BEC，∠B＝∠DCH，从而△CHD∽△BEC，从而求得；
②由①△CHD∽△BEC，推出DHCE=CHBE=CDBC=12，作DI⊥GH，cs∠DGI=12GHDH，进一步求得；
（2）由（1）的同样的方法，由特殊推出一般，方法不变．
【解答】解：（1）①作DH＝DG交AC于H，
∴∠DHG＝∠DGH＝∠AGF，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，
∵∠F＝2∠ABC，
∴∠F＝∠EAC，
∴点A、G、E、F共圆，
∴∠AGF＝∠AEF，
∴∠DHG＝∠AEF，
∵∠CEB＝180°﹣∠AEF，
∠DHC＝180°﹣∠DHG，
∴∠DHC＝∠CEB，
又∠DCG＝∠B，
∴△CHD∽△BEC，
∴DHCE=CHBE=CDBC=12，
∴DG＝DH=12CE；
②由上得，
CH=12BE，DG=12CE，
∴CG﹣GH=12BE，
作DI⊥GH于I，
∵DG＝DH，
∴GI=12GH，
∴GI＝DG•cs∠DHG，
∴12GH=DG•cs∠DHG=12CE•cs∠DHG，
∴GH＝CE•cs∠DHG，
∴CG﹣CE•cs（180°﹣α）=12BE；
（2）作DH＝DG交CG的延长线于H，作DI⊥GH于I，
由（1）得，∠F＝∠CAE＝2∠ABC＝2∠BAC，
∴点A、G、F、E四点共圆，
∴∠H＝∠DGH＝∠AGF＝∠BCE，
∴△CHD∽△BEC，
∴CHBE=DHCE=CDBC=kk−1，
∴CH=kk−1•BE，
DH=kk−1•CE，
∴CG+2GI=kk−1•BE，
在Rt△DIG 中，GI＝DG•cs∠DGI＝DH•csα
=kk−1•CE•csα，
∴CG+2k⋅csαk−1⋅CE=kk−1•BE，
∴（k﹣1）•CG+2k•csα•CE＝k•BE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形相似等综合知识，解题的关键是构造三角形相似．
19．（2022•普兰店区二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC=214cm，BC＝7cm，CD平分∠ACB，过点D作DG⊥BC，垂足为G，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿边CB运动，同时，点Q从点C出发，沿CD﹣DB运动，点Q在CD段以每秒2cm的速度运动，在DB段以每秒1cm的速度运动，当点P与点B重合时，两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s），△CPQ与△DCB重叠部分图形面积为S（cm2）．
（1）请直接写出AB的长；
（2）求点Q到达D点时，点B和点Q的距离；
（3）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）354cm；
（2）5cm；
（3）S=12t2(0≤t≤3)−3210t2+32t+9210t(3＜t≤7)．
【分析】（1）根据勾股定理可得AB的长；
（2）设CG＝acm，则DG＝acm，BG＝（7﹣a）cm，证明△BDG∽△BAC，列比例式可得a的值，最后由勾股定理可得结论；
（3）分Q在CD和BD中，即0≤t≤3，3＜t≤7，根据三角形面积公式可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC=214cm，BC＝7cm，
∴AB=AC2+BC2=(214)2+72=354（cm）；
（2）∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵DG⊥BC，
∴∠CGD＝∠BGD＝90°，
∴△CGD是等腰直角三角形，DG∥AC，
∴DG＝CG，
设CG＝acm，则DG＝acm，BG＝（7﹣a）cm，
∵DG∥AC，
∴△BDG∽△BAC，
∴DGAC=BGBC，即a214=7−a7，
∴a＝3，
∴DG＝3cm，BG＝4cm，
∴BD=32+42=5cm，
∴点Q到达D点时，点B和点Q的距离是5cm；
（3）由勾股定理得：CD=32+32=32cm，
分两种情况：
①当0≤t≤3时，点Q在CD上，△CPQ与△DCB重叠部分图形是△CPQ，
如图1，过点P作PM⊥CD于M，则△PCM是等腰直角三角形，
由题意得：CP＝tcm，CQ=2tcm，
∴PM=22tcm，
∴S＝S△PCQ=12•CQ•PM=12•2t•22t=12t2；
②当3＜t≤7时，Q在BD上，△CPQ与△DCB重叠部分图形是△CPQ，
如图2，过点Q作QN⊥BC于N，
∵BQ＝CD+BD−2t＝32+5−2t，
sinB=QNBQ=ACAB，
∴QN32+5−2t=214354=35，
∴QN=92+15−32t5，
∴S=12•CP•QN=t2•92+15−32t5=−3210t2+32t+9210t；
综上，S关于t的函数解析式为：S=12t2(0≤t≤3)−3210t2+32t+9210t(3＜t≤7)．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的性质和判定，三角形面积，动点运动的问题，勾股定理，第三问的关键是分类讨论思想的运用，判断重叠图形变化的节点，根据重叠图形的形状得出S与t的关系式，注意数形结合思想的运用．
20．（2021•大连二模）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点E在BC上，且EC＝AC．连接AE，F为AE的中点，CD⊥AB于D，过点E作EH∥CD交DF的延长线于点H，DH交BC于M．
（1）探究∠EAB和∠BCD之间的数量关系，并证明；
（2）求证：AD＝EH；
（3）若BC＝k•AC，求MCEB的值（用含有k的代数式表示）．
【考点】三角形综合题．
【专题】综合题；三角形；图形的全等；图形的相似；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】（1）∠BCD＝∠EAB+45°，证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）CMBE=kk2−1．
【分析】（1）由CD⊥AB，∠ACB＝90°可得∠BCD＝∠CAD，而AC＝CE，∠ACE＝90°，知∠CAE＝∠CEA＝45°，故∠BCD＝∠CAD＝∠BAE+45°；
（2）连接CF，作FN⊥DF，垂足为点F，FN交CD于点N，作EG∥AD，EG与DH交于点G，证明△ADF≌△CNF（ASA），可得FN＝FD，从而∠FDN＝∠FND＝45°，而HE∥CD，故∠H＝∠FDN＝45°，由∠FGD＝∠ADF＝135°，∠AFD＝∠EFG，AF＝EF，即得△ADF≌△EGF（AAS），有EG＝AD，又∠H＝∠EGH＝45°得EH＝EG，即可证明AD＝EH；
（3）设AC＝CE＝m，BC＝km，则BE＝BC﹣CE＝（k﹣1）m，由△ACD∽△ABC得CDAD=BCAC=k，故CDEH=k，由△MCD∽△MEH有CMME=CDEH=k，ME=1kCM，而CM+ME＝CE，即得CM=kk+1CE=kk+1m，即可求出CMBE=kk2−1．
【解答】解：（1）∠BCD＝∠BAE+45°，证明如下：
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD，
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠CEA＝45°，
∴∠BCD＝∠CAD＝∠BAE+∠CAE＝∠BAE+45°；
（2）证明：连接CF，作FN⊥DF，垂足为点F，FN交CD于点N，作EG∥AD，EG与DH交于点G，如图：
∵∠ACE＝90°，F是AE的中点，
∴CF＝AF＝EF，CF⊥AE，
∴∠AFC＝∠CFE＝90°，
∵FN⊥DF，
∴∠DFN＝90°，
∴∠AFD+∠AFN＝∠AFN+∠CFN＝90°，
∴∠AFD＝∠CFN，
∵∠BCD＝∠BAE+45°，∠FCE＝45°，
∴∠BAE＝∠FCN，
∴△ADF≌△CNF（ASA），
∴FN＝FD，
又∵∠DFN＝90°，
∴∠FDN＝∠FND＝45°，
∵HE∥CD，
∴∠H＝∠FDN＝45°，
∵∠ADF＝∠ADC+∠FDN＝135°，EG∥AD，
∴∠FGD＝∠ADF＝135°，
又∵∠AFD＝∠EFG，AF＝EF，
∴△ADF≌△EGF（AAS），
∴EG＝AD，
∵∠EGH＝180°﹣∠EGF＝180°﹣135°＝45°，
∴∠H＝∠EGH＝45°，
∴EH＝EG．
∴AD＝EH；
（3）如图：
设AC＝CE＝m，BC＝km，
∴BE＝BC﹣CE＝（k﹣1）m，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠CAB，
∴△ACD∽△ABC
∴CDAD=BCAC=k，
由（2）知AD＝HE，
∴CDEH=k，
∵∠H＝∠FDN，∠HME＝∠DMC，
∴△MCD∽△MEH，
∴CMME=CDEH=k，
∴ME=1kCM，
又∵CM+ME＝CE，
∴CM+1kCM＝CE，即k+1kCM＝CE，
∴CM=kk+1CE，
而CE＝m，
∴CM=kk+1m，
∴CMBE=kk+1m(k−1)m=kk2−1．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及等腰直角三角形性质及应用、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
21．（2021•大连二模）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AF＝DE，CF∥BE，AB∥CD．求证BE＝CF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】见解析过程．
【分析】由“ASA”可证△ABE≌△DCF，可得BE＝CF．
【解答】证明：∵AF＝DE，
∴AF+EF＝DE+EF，
即AE＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A，
∵CF∥BE，
∴∠CFD＝∠BEA，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠DAE=DF∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．（2021•立山区四模）如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板ABC，若测得斜边AB的两端点到桌面的距离分别为AD，BE．DE为8cm，BE＝3cm，求点A距离桌面的高度．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用同角的余角相等，判断出∠CAD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，得出AD＝CE，CD＝3cm，即可得出结论．
【解答】解：由题意知，AC＝BC，∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB=90°∠CAD=∠BCEAC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE＝3cm，
∵DE＝8cm，
∴CE＝DE﹣CD＝5cm，
∴AD＝5cm，
即：点A距离桌面的高度为5cm．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD≌△CBE是解本题的关键。