三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之一元二次方程

这是一份三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之一元二次方程，共18页。

A．（30+2x）（15+x）＝392B．（30﹣2x）（15﹣x）＝392
C．（30+x）（15+2x）＝392D．（30﹣x）（15﹣2x）＝392
2．（2021•和平区二模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤﹣1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤﹣1且m≠0
3．（2021•西市区校级模拟）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
4．（2021•黑山县模拟）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
5．（2021•皇姑区一模）某公司2019年5月份营业额为60万元，7月份营业额达到100万元，设该公司这两个月的月平均增长率为x．应列方程是（ ）
A．60（1+x）＝100
B．60（1+x）2＝100
C．60（1+x）+60（1+x）2＝100
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝100
6．（2022•浑南区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
7．（2022•龙港区二模）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围（ ）
A．k≥﹣1B．k≤﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
8．（2022•朝阳模拟）若关于x的一元二次方程mx2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．4B．0C．0或4D．1或4
9．（2023•朝阳县三模）若关于x的一元二次方程x2+2m＝4有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m≤2C．m≥0D．m＜0
10．（2023•黑山县二模）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1＝2xB．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0
二．填空题（共7小题）
11．（2021•海城市模拟）若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
12．（2021•连山区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是 ．
13．（2021•大连模拟）若关于x的方程x2﹣5x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，则k满足的条件为 ．
14．（2021•沈北新区一模）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为 ．
15．（2022•本溪模拟）已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
16．（2022•顺城区模拟）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是 ．
17．（2023•大连一模）若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0的一个根是1，则c的值是 ．
三．解答题（共5小题）
18．（2021•苏家屯区二模）永佳超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
19．（2021•沈阳模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
20．（2022•法库县模拟）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
21．（2022•和平区模拟）商场销售某种冰箱．每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时．平均每天能售出8台：而当销售价每降低50元时．平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，这时每天销售的冰箱是多少台？
22．（2023•大连模拟）某商场将进价为每盒20元的商品以每盒36元售出，平均每天能售出40盒．经市场调查发现：当售价每降低1元时，平均每天就可以多销售10盒．商场要使这种商品每天的利润达到750元，并希望尽快减少库存，应将每盒的售价定为多少元？
三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•和平区二模）如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．（30+2x）（15+x）＝392B．（30﹣2x）（15﹣x）＝392
C．（30+x）（15+2x）＝392D．（30﹣x）（15﹣2x）＝392
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（30﹣2x）米、宽为（15﹣x）米的矩形，利用种植的面积＝合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（30﹣2x）米、宽为（15﹣x）米的大矩形，
依题意得：（30﹣2x）（15﹣x）＝392．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2021•和平区二模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤﹣1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤﹣1且m≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，
∴，
解得：m≥﹣1且m≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0列出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
3．（2021•西市区校级模拟）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【考点】根的判别式．
【专题】常规题型；一元二次方程及应用；运算能力；模型思想．
【答案】B
【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，则可求得答案．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a＞﹣1且a≠0，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
4．（2021•黑山县模拟）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】A
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
5．（2021•皇姑区一模）某公司2019年5月份营业额为60万元，7月份营业额达到100万元，设该公司这两个月的月平均增长率为x．应列方程是（ ）
A．60（1+x）＝100
B．60（1+x）2＝100
C．60（1+x）+60（1+x）2＝100
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝100
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题；应用意识．
【答案】B
【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该公司这两个月的月平均增长率为x，
根据题意，得60（1+x）2＝100．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
6．（2022•浑南区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【考点】根的判别式．
【答案】C
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，即可得方程4﹣4m＝0，解此方程即可求得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＝0，
∴m＝1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，注意若一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ＝0．
7．（2022•龙港区二模）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围（ ）
A．k≥﹣1B．k≤﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据判别式的意义得到b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0且k≠0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0且k≠0，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；也考查了因式分解法解一元二次方程．
8．（2022•朝阳模拟）若关于x的一元二次方程mx2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．4B．0C．0或4D．1或4
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】由已知先确定m≠0，再由方程根的情况，利用判别式Δ＝（﹣m）2﹣4m＝0，求解m即可．
【解答】解：∵mx2﹣mx+1＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝0，
∴m＝0或m＝4，
又∵m≠0，
∴m＝4，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
9．（2023•朝阳县三模）若关于x的一元二次方程x2+2m＝4有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m≤2C．m≥0D．m＜0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2m＝4即x2+2m﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（2m﹣4）＝16﹣8m＞0，
解得：m＜2．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
10．（2023•黑山县二模）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1＝2xB．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac可求出各方程的根的判别式Δ的值，取Δ＝0的选项即可得出结论．
【解答】解：A．x2+1＝2x，
变形为x2﹣2x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴方程x2+1＝2x有两个相等的实数根，选项A符合题意；
B．x2+1＝0，
∵a＝1，b＝0，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴方程x2+1＝0没有实数根，选项B不符合题意；
C．x2﹣2x＝3，
变形为x2﹣2x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
∴方程x2﹣2x＝3有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D．x2﹣2x＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
11．（2021•海城市模拟）若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m ．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根得到△≥0，即Δ＝1﹣4（﹣m）≥0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，
∴△≥0，
∴Δ＝1﹣4（﹣m）≥0，即m，
故答案为：m．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
12．（2021•连山区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是 k ．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据△的意义得到Δ＜0，即32﹣4×1×（﹣k）＜0，然后解不等式即可得到k的范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，即32﹣4×1×（﹣k）＜0，解得k．
故答案为k．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
13．（2021•大连模拟）若关于x的方程x2﹣5x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，则k满足的条件为 k ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣5）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣5）2﹣4k＞0，
解得k．
故答案为k．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（2021•沈北新区一模）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为 5000（1+x）2＝7500 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故答案为：5000（1+x）2＝7500．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
15．（2022•本溪模拟）已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜2且m≠1 ．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，根据△的意义得到m﹣1≠0，且Δ＞0，即4﹣4（m﹣1）＞0，解不等式组即可得到m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴m﹣1≠0，且Δ＞0，即4﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2，
∴m的取值范围是：m＜2且m≠1．
故答案为：m＜2且m≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
16．（2022•顺城区模拟）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是 k＜﹣1 ．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k＜﹣1．
【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，
∴Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＜0，k≠0，
解得：k＜﹣1．
故答案为：k＜﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
17．（2023•大连一模）若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0的一个根是1，则c的值是 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝1代入原方程得到2﹣3+c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入2x2﹣3x+c＝0得2﹣3+c＝0，
解得c＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
三．解答题（共5小题）
18．（2021•苏家屯区二模）永佳超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据每天的销售利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件商品盈利不少于25元，即可确定x的值．
【解答】解：设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
故x＝10为所求．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（2021•沈阳模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设年平均增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设每杯售价定为a元，由题意得关于a的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．
（2）设每杯售价定为a元，由题意得：
（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，
解得：a1＝21，a2＝20．
∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．
答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．
20．（2022•法库县模拟）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．
21．（2022•和平区模拟）商场销售某种冰箱．每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时．平均每天能售出8台：而当销售价每降低50元时．平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，这时每天销售的冰箱是多少台？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】20台．
【分析】设销售单价降低x元，则每台的销售利润为（2900﹣x﹣2500）元，平均每天的销售量为（84）台，利用每天销售冰箱获得的利润＝每台的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设销售单价降低x元，则每台的销售利润为（2900﹣x﹣2500）元，平均每天的销售量为（84）台，
依题意得：（2900﹣x﹣2500）（84）＝5000，
整理得：x2﹣300x+22500＝0，
解得：x1＝x2＝150，
∴84＝84＝20．
答：每天销售的冰箱是20台．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（2023•大连模拟）某商场将进价为每盒20元的商品以每盒36元售出，平均每天能售出40盒．经市场调查发现：当售价每降低1元时，平均每天就可以多销售10盒．商场要使这种商品每天的利润达到750元，并希望尽快减少库存，应将每盒的售价定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用每一盒的利润×销售的数量＝获得的利润列出方程解答即可．
【解答】解：设每盒商品降价x元，
根据题意，得（36﹣x﹣20）（40+10x）＝750，
整理得x2﹣12x+11＝0，
解得x1＝11，x2＝1，
因为要减少库存，
所以x＝11，
36﹣11＝25，
所以，应将每盒的售价定为25元．
【点评】此题考查一元二次方程应用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
考点卡片
1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
4．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
5．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/6 19:09:10；用户：组卷3；邮箱：zyb003@xyh.cm；学号：41418966

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