天津市第五十五中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份天津市第五十五中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是
A．B．C．D．
2．（3分）一个不透明的袋子里装有6个红球和3个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为
A．B．C．D．2
3．（3分）如图，中，弦与交于点，点为中点，，，则的度数是
A．B．C．D．
4．（3分）用配方法解方程，变形后的结果正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）关于二次函数的图象，下列说法中错误的是
A．抛物线开口向下
B．抛物线的顶点坐标是
C．抛物线与轴有两个交点分别是和
D．当，和，是抛物线上的点，则当时，则
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则边的对应点的坐标是
A．B．
C．或D．或
7．（3分）如图，设计一长，宽的彩旗，图中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度比为，若使彩条所占面积是彩旗的，设竖彩条宽度为 ，则根据题意可列方程为
A．
B．
C．
D．
8．（3分）在同一平面直角坐标系内二次函数与一次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，，是的切线，、为切点，为的直径，弦，则下列选项错误的是
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在中，，，，若四边形的面积为16，则的面积是
A．4B．C．2D．
11．（3分）如图，在的内切圆（圆心为点与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是
A．点、、、四点共线
B．点是三条角平分线的交点
C．若是等边三角形，则
D．若，则
12．（3分）如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间．下列结论中：①；②；③；④，则正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．（3分）半径为6的圆内接正三角形的边长为 ．
14．（3分）不透明袋子中装有3个球，其中有2个绿球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出2个球，则两个都取到绿球的概率为 ．
15．（3分）抛物线有最 点（填“高”或“低” ，这个点的坐标是 ；把这个抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到的新抛物线是 ．
16．（3分）如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则的度数是 ．
17．（3分）如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点、均在格点上．点是圆与格线的交点，为边上的一个格点，过点作于点．
（Ⅰ）线段的长度为 ；
（Ⅱ）请用无刻度直尺在网格中作出外接圆的圆心；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（Ⅲ）请用无刻度直尺在网格中作出过点的圆的切线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
三、解答题
19．（Ⅰ）用适当方程解一元二次方程：；
（Ⅱ）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求值及方程的解．
20．如图，是的直径，，延长交于点，弦于点，且．
（Ⅰ）求和度数大小；
（Ⅱ）若，求和的长．
21．如图，在中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．
（Ⅰ）求证：是的切线；
（Ⅱ）若，，求的长．
22．如图，在矩形中，为边中点，连接，过点作交于点，交于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，时，求的长度．
23．如图，在中，，，，点是边上由向运动（不与点、重合）的一动点，点的速度是，设点的运动时间为 ，过点作的平行线交于点，连接．
（Ⅰ）线段 ；线段 ；（请用含的代数式表示）
（Ⅱ）当为何值时；
（Ⅲ）在点的运动过程中，是否存在某一时刻的值，使得的面积有最大值？若存在，请求出的值，并计算最大面积；若不存在，请说明理由．
24．将等腰直角放置在平面直角坐标系中，点，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针旋转，旋转角为，点，旋转后的对应点为，．
（Ⅰ）如图1，当轴时，则旋转角 ；可以看作是绕点 顺时针旋转 后得到的；直线与所夹角为 ．
（Ⅱ）如图2，当旋转角时，点，，恰好共线，求的各边长．
（Ⅲ）将（Ⅱ）中的旋转，当旋转角为何值时的面积最大值？最大值是多少？（直接写出结果）．
25．如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点为线段上一动点．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积；
（Ⅲ）当取最小值时，求此时点的坐标及的最小值．
参考答案
一、选择题
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项、、都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）一个不透明的袋子里装有6个红球和3个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为
A．B．C．D．2
【分析】根据题目中总的球的个数和红球个数，可以计算出从袋中任意摸出一个球是红球的概率．
解：由题意可得，
从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故选：．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
3．（3分）如图，中，弦与交于点，点为中点，，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】由三角形外角定理求得的度数，再由圆周角定理可求的度数．
解：
，
，
，
，
点为弧中点，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
4．（3分）用配方法解方程，变形后的结果正确的是
A．B．C．D．
【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出选项．
解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
5．（3分）关于二次函数的图象，下列说法中错误的是
A．抛物线开口向下
B．抛物线的顶点坐标是
C．抛物线与轴有两个交点分别是和
D．当，和，是抛物线上的点，则当时，则
【分析】根据二次函数的性质对、、选项进行判断；利用抛物线与轴的交点问题，通过解方程得到抛物线与轴的交点坐标，从而可对选项进行判断．
解：．由得抛物线开口向下，所以选项不符合题意；
．抛物线的顶点坐标为，所以选项不符合题意；
．时，，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，，所以选项符合题意；
．抛物线的对称轴为，则当时，，所以选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则边的对应点的坐标是
A．B．
C．或D．或
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是或，
故选：．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
7．（3分）如图，设计一长，宽的彩旗，图中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度比为，若使彩条所占面积是彩旗的，设竖彩条宽度为 ，则根据题意可列方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据横、竖彩条的宽度，可得出剩余部分可合成长为，宽为的矩形，结合彩条所占面积是图案面积的三分之一，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
解：若设每个横彩条的宽度为 ，则每个竖彩条的宽度为 ，剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）在同一平面直角坐标系内二次函数与一次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
解：、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、二、四象限，且与二次函数交于轴正半轴的同一点，
故正确；
、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，
故错误；
、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，
故错误；
、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，
故错误；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据、的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
9．（3分）如图，，是的切线，、为切点，为的直径，弦，则下列选项错误的是
A．B．C．D．
【分析】由圆周角定理，切线的性质，垂径定理可得出答案．
解：．，则，又因为，故正确；
．因为弦，根据垂径定理以及圆周角定理即可得出；
．根据垂径定理，得弧弧，则，再根据弦切角定理，得，正确；
．证出，故符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了垂径定理、切线的性质以及圆周角定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在中，，，，若四边形的面积为16，则的面积是
A．4B．C．2D．
【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得到，同理得到，设，则，，利用已知条件列出方程解答即可得出结论．
解：，
，，．
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
．
的面积是4．
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（3分）如图，在的内切圆（圆心为点与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是
A．点、、、四点共线
B．点是三条角平分线的交点
C．若是等边三角形，则
D．若，则
【分析】根据基本尺规作图、三角形的内切圆与内心的定义、三角形的外心、等边三角形的性质逐项判断即可．
解：连接，．
圆为的内切圆，
点为三个内角平分线的交点，
由尺规作图可知，为的平分线，
射线一定过点，
是的切线，
，不一定垂直，
，，，不一定共线．
故选项错误，不符合题意；
由题意知，圆为的外接圆，
点是三条垂直平分线的交点，
故选项错误，不符合题意；
若是等边三角形，则点，分别为，的中点，
为的中位线，
，
故选项正确，不符合题意；
，，
，
，
，
故选项错误，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查作图基本作图、三角形的内切圆与内心、三角形的外心、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
12．（3分）如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间．下列结论中：①；②；③；④，则正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
【分析】①②根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得，符号和关系，与轴交点判断的取值范围，③利用当为1，时，对应的值进行判断对错，④依据顶点坐标可以判断出系数与关系式．
解：①函数图象开口向上，
，
对称轴在轴右侧，与异号，
，
函数图象与轴交负半轴，
，故，正确
②顶点坐标，对称轴，
，，
点关于对称轴对称点为，
当时，，得，
，
，
，错误．
③当时，，，正确．
④当，时，，
，，
，
，
，
，即，错误．
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，函数图象对称性性质的使用，解题关键是找到各个系数与顶点坐标之间的关系．
二、填空题
13．（3分）半径为6的圆内接正三角形的边长为 ．
【分析】首先根据题意作出图形，然后由垂径定理，可得，，再利用三角函数求得的长，继而求得答案．
解：如图：是等边三角形，过点作于，连接，，
，
是等边三角形，
，
，
，
半径为6，即，
，
，
即直径为6的圆的内接正三角形的边长为：．
故答案为：．
【点评】此题考查了正多边形和圆的性质、垂径定理以及三角函数等知识．注意掌握数形结合思想的应用．
14．（3分）不透明袋子中装有3个球，其中有2个绿球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出2个球，则两个都取到绿球的概率为 ．
【分析】找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．
解：袋子中共有3个球，其中绿球有2个，
从袋子中随机取出2个球，它是绿球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．
15．（3分）抛物线有最 高 点（填“高”或“低” ，这个点的坐标是 ；把这个抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到的新抛物线是 ．
【分析】根据函数的解析式判断出其开口方向及最大值，根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
解：，
抛物线开口向下，有最高点，顶点坐标为
把这个抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到的新抛物线是，
故答案为：高，，．
【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象平移的规律是解题的关键．
16．（3分）如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则的度数是 ．
【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用平角定义求解即可．
解：如图，
，
，
，
，
，
旋转，
，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键．
17．（3分）如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ．
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理即可得到结论．
解：在正方形中，，
，
，
，
，
，
，
，
如图，取的中点，连接，，
是的中点，，
，
在中，；
在中，，
的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点、均在格点上．点是圆与格线的交点，为边上的一个格点，过点作于点．
（Ⅰ）线段的长度为 ；
（Ⅱ）请用无刻度直尺在网格中作出外接圆的圆心；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（Ⅲ）请用无刻度直尺在网格中作出过点的圆的切线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解；
（Ⅱ）如图，与网格线交于点，连接交一点，点即为所求；
（Ⅲ）延长交直线一点，利用网格特征作出的中点，作直线即可（可以证明，，由，推出，即，推出是切线）．
解：（Ⅰ）线段，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，点即为所求；
（Ⅲ）如图，直线即为所求．
【点评】本题考查作图复杂作图，勾股定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的射线 解决问题．
三、解答题
19．（Ⅰ）用适当方程解一元二次方程：；
（Ⅱ）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求值及方程的解．
【分析】（Ⅰ）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（Ⅱ）利用根与系数的关系可用表示出和的值，根据条件可得到关于的方程，可求得的值，再解方程即可．
解：（Ⅰ），
，
或，
，；
（Ⅱ）方程有两个实数根，，
，，
，
，
，
，
，
，
或，
，．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
20．如图，是的直径，，延长交于点，弦于点，且．
（Ⅰ）求和度数大小；
（Ⅱ）若，求和的长．
【分析】（Ⅰ）根据圆的有关性质求出，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，结合垂直的定义根据角的和差求解即可；
（Ⅱ）根据三角形内角和定理求出，即可判定，根据等腰三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求解即可．
解：（Ⅰ）如图，交于点，连接，
是的直径，弦于点，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（Ⅱ）如图，过点作于点，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理等知识，熟练运用圆周角定理、勾股定理、垂径定理是解题的关键．
21．如图，在中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．
（Ⅰ）求证：是的切线；
（Ⅱ）若，，求的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可证，可证，可得结论；
（2）由得到，由切线的性质推导出四边形是正方形，利用勾股定理求得，
再利用三角函数，代入数据解答即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：如图2，连接，过点作于，
．
又，
，
，
与相切于点，
，
又，，，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
或（不合题意，舍去）．
【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22．如图，在矩形中，为边中点，连接，过点作交于点，交于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，时，求的长度．
【分析】（Ⅰ）根据矩形的性质及直角三角形的性质推出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
（Ⅱ）根据矩形的性质及勾股定理求出，，再根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】（Ⅰ）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
；
（Ⅱ）解：四边形是矩形，，，
，，，
为边中点，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，在中，，，，点是边上由向运动（不与点、重合）的一动点，点的速度是，设点的运动时间为 ，过点作的平行线交于点，连接．
（Ⅰ）线段 ；线段 ；（请用含的代数式表示）
（Ⅱ）当为何值时；
（Ⅲ）在点的运动过程中，是否存在某一时刻的值，使得的面积有最大值？若存在，请求出的值，并计算最大面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出，再利用平行线分线段成比例定理，求出、即可解决问题；
（Ⅱ）依据得出比例式，进一步解答即可；
（Ⅲ）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
解：（Ⅰ）在中，，，，
，
，，
，
，
，，
．
故答案为：；；
（Ⅱ），
，
，
，
，
解得：或0（不合题意，舍去），
当时，；
（Ⅲ）由题意：，
，
时，的面积最大，最大值为．
【点评】本题考查三角形综合题、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
24．将等腰直角放置在平面直角坐标系中，点，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针旋转，旋转角为，点，旋转后的对应点为，．
（Ⅰ）如图1，当轴时，则旋转角 45 ；可以看作是绕点 顺时针旋转 后得到的；直线与所夹角为 ．
（Ⅱ）如图2，当旋转角时，点，，恰好共线，求的各边长．
（Ⅲ）将（Ⅱ）中的旋转，当旋转角为何值时的面积最大值？最大值是多少？（直接写出结果）．
【分析】（Ⅰ）由旋转可得，，进而得出平分，进一步得出结果；
（Ⅱ）作于，可得出△是等腰直角三角形，从而，进而得出，进一步得出结果；
（Ⅲ）可得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，从而推出当时，且离距离最大时，的面积最大，最大值为：．
解：（Ⅰ），，绕点顺时针旋转，点，旋转后的对应点为，，
，，
轴，
平分，
，
故答案为：，，90，90；
（Ⅱ）如图1，
作于，
由（Ⅰ）知：△是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
（Ⅲ）如图2，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当时，且离距离最大时，的面积最大，最大值为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是圆的集合定义．
25．如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点为线段上一动点．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积；
（Ⅲ）当取最小值时，求此时点的坐标及的最小值．
【分析】（Ⅰ）由待定系数法即可求解；
（Ⅱ），即可求解；
（Ⅲ）过点作直线使直线和轴负半轴的夹角为，过点作交于点，交轴于点，则，此时，为最小，则为最小，即可求解．
解：（Ⅰ）由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
则顶点的坐标为：，；
（Ⅱ）由点、的坐标的，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
故的最大值为：，
此时的面积；
（Ⅲ）过点作直线使直线和轴负半轴的夹角为，过点作交于点，交轴于点，
则，
此时，为最小，
则为最小，
在中，，，
则，则，
则，
则，
则的最小值为：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、点的对称性、面积的计算等，综合性强，难度适中．